Capítulo 3. Função afim. ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 3 Função afim 1.5 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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- André Igrejas
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1 Capítulo 3 Função afim 1.5
2 Função afim Uma função f: R R é função afim quando existem os números reais a e b tais que f(x) = ax + b para todo x R. Exemplos f(x) =, em que: a = e b = 6 g(x) = 7x, em que: a = 7 e b = 0 h(x) = 5, em que: a = 0 e b = 5 Os números reais a e b são os coeficientes da função afim
3 Casos particulares de função afim A função afim pode ser: constante n(x) = 5 g(x) = f(x) = 13 f(x) = Uma função f: R R é função constante se é definida por f(x) = b, com b R, para todo x do domínio. linear h(x) = 7x h(x) = 3x g(x) = 6x f(x) = x Uma função f: R R é função linear quando existe número real a, com a 0, tal que f(x) = ax, para todo x R
4 Valor de uma função afim Dada a função afim g(x) = x 1, vamos calcular g
5 Valor de uma função afim Dada a função afim f(x) = ax + b e conhecendo f( 1) = 7 e f(4) = 2, vamos determinar a lei de formação dessa função
6 Exercício resolvido R1. Dada a função afim f(x) = 10x + 35, calcular x para f(x) =
7 Gráfico da função afim Construção do gráfico Como exemplo, vamos construir o gráfico da função f(x) = 3x 2. x f(x)
8 Gráfico da função afim Construção do gráfico Como exemplo, vamos construir o gráfico da função f(x) = 3x 2. x f(x)
9 Exemplos de gráfico de função afim g(x) = 2x + 1 x g(x) Dois pontos distintos são suficientes para determinar uma reta
10 Exemplos de gráfico de função afim f(x) = 3 x f(x) 1 3 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x, por isso podemos traçá-la conhecendo um único ponto
11 Exemplos de gráfico de função afim h(x) = x x h(x) O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem (0,0)
12 Determinação de uma função a partir do seu gráfico Exemplo Dado o gráfico de uma função afim, vamos determinar a lei de formação dessa função
13 Exercício resolvido R2. Determinar o ponto de intersecção das retas correspondentes aos gráficos das funções afins f(x) = 4x + 11 e g(x) = x
14 Exercício resolvido R3. Um arquiteto pretende construir duas casas com piscina, uma ao lado da outra. Ele desenhou uma planta incluindo as duas casas vizinhas e está em dúvida sobre a medida de um dos lados de cada piscina, pois precisa construir as casas de modo que a área ocupada pela casa 2 e pela piscina 2 seja maior que a área ocupada pela casa 1 e pela piscina 1. Nessas condições, qual deve ser o valor de x?
15 Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença Vamos construir o gráfico da função
16 Exercício resolvido R4. Física. O movimento uniforme é caracterizado pelo fato de a velocidade do móvel ser constante. Por esse motivo, o espaço percorrido em intervalos iguais é sempre o mesmo. Assim, a função horária desse movimento é dada pela lei s(t) = s 0 + v t, em que s é a posição (em metro) do móvel no instante t (em segundo), s 0, o espaço inicial quando t = 0, e v, a velocidade constante (em m/s)
17 Exercício resolvido R4. Resolver os itens a seguir de acordo com o gráfico. a) Qual é a função horária do movimento correspondente ao gráfico? b) Quais são o domínio e o conjunto imagem dessa função? c) Qual será a posição do móvel após 10 segundos? d) Após quanto tempo o móvel estará na posição 120 metros?
18 Análise do gráfico da função afim Zero da função afim f(x) = 0 ax + b = 0 x =
19 Análise do gráfico da função afim Intersecção da reta com o eixo y: coeficiente b... com o eixo x: zero da função
20 Zero da função afim Exemplo Vamos determinar o zero da função f(x) = x onde a reta intercepta o eixo x. e o ponto
21 Crescimento e decrescimento de uma função afim f(x) = 2x
22 Crescimento e decrescimento de uma função afim f(x) = 2x
23 Crescimento e decrescimento de uma função afim f(x) = 2x 1 f(x) é crescente Quando aumentamos o valor x, os valores correspondentes de f(x) também aumentam
24 Crescimento e decrescimento de uma função afim g(x) = 3x
25 Crescimento e decrescimento de uma função afim g(x) = 3x
26 Crescimento e decrescimento de uma função afim g(x) = 3x + 1 g(x) é decrescente Quando aumentamos o valor x, os valores correspondentes de g(x) diminuem
27 Crescimento e decrescimento de uma função afim Função crescente (a > 0) x 2 > x 1 ax 2 + b > ax 1 + b, ou seja, f(x 2 ) > f(x 1 )
28 Crescimento e decrescimento de uma função afim Função decrescente (a < 0) x 2 > x 1 ax 2 + b < ax 1 + b, ou seja, f(x 2 ) < f(x 1 )
29 Utilizando o gráfico para o estudo do sinal da função afim Exemplo f(x) = 3x + 6 para x < 2 temos f(x) > 0, ou seja, a função é positiva para x < 2; para x = 2 temos f(x) = 0, ou seja, a função é nula para x = 2; para x > 2 temos f(x) < 0, ou seja, a função é negativa para x >
30 Utilizando o gráfico para o estudo do sinal da função afim Função crescente (a > 0) f(x) = 0 para x = f(x) > 0 para x > f(x) < 0 para x <
31 Utilizando o gráfico para o estudo do sinal da função afim Função decrescente (a < 0) f(x) = 0 para x = f(x) > 0 para x < f(x) < 0 para x >
32 Exercício resolvido R5. Determinar o valor de m para que o gráfico da função j(x) = ( 3 + 6m)x + 5 intercepte o eixo das abscissas no ponto (1, 0). R6. Dada a função afim f(x) = ( 3 + m)x + 7, discutir para quais valores de m a função é crescente, decrescente ou constante
33 Capítulo 4 Função quadrática
34 Função quadrática Uma função f: R R é função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 0, tal que f(x) = ax 2 + bx + c, para todo x real. Exemplos f(x) = 2x 2 + 3x 15, em que a = 2, b = 3 e c = 15 g(x) =, em que a =, b = 0 e c = 5 h(x) = x +, em que a =, b = 1 e c = 0 Os números reais a, b e c são os coeficientes da função quadrática
35 Valor de uma função quadrática Dada a função quadrática g(x) = 5x x 2, vamos calcular
36 Lei de formação de uma função quadrática Vamos determinar a lei de formação da função quadrática f. f(x) = ax 2 + bx + c, em que a, b e c R e a 0 Temos: f(0) = 2, f(2) = 12 e f(-1) =
37 Exercício resolvido R1. Dada a função quadrática g(x), calcular: a) g( ) b) x tal que g(x) = R2. Projeto. Uma peça metálica é construída conforme o molde de um setor circular. a) Escrever a lei que relaciona o raio desse setor e a área da figura. b) Considerando = 3,14, determinar o raio para que a área da peça seja igual a 25 cm
38 Gráfico da função quadrática Parábola Exemplo Gráfico da função quadrática h(x) = x 2 4x + 3 x h(x)
39 Gráfico da função quadrática Parábola Exemplo Gráfico da função quadrática h(x) = x 2 4x + 3 x h(x) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola
40 Gráfico da função quadrática Parábola Exemplo f(x) = x 2 9 x f(x)
41 Gráfico da função quadrática Parábola Exemplo g(x) = x 2 + 8x 12 x g(x)
42 Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c) Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. j(x) = 2x Como a = 2 > 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima
43 Concavidade da parábola (função f(x) = ax² + bx + c) Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Como, então a concavidade da parábola é voltada para baixo
44 Exercício resolvido R3. Seja a função quadrática f(x) = (m 3)x 2 + 2x m. a) Analisar a concavidade da parábola em função de m. b) Existe algum valor para m de modo que o gráfico da função passe pelo ponto (0, 3)?
45 O ponto em que a parábola intercepta o eixo y A parábola que representa a função f intercepta o eixo y no ponto (0, 1). A ordenada 1 desse ponto é o coeficiente c da função f
46 O ponto em que a parábola intercepta o eixo y A parábola que representa a função g intercepta o eixo y no ponto (0, 3). A ordenada 3 desse ponto é o coeficiente c da função g
47 O ponto em que a parábola intercepta o eixo y Considerando uma função quadrática cuja lei é f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0, as coordenadas do ponto onde a parábola intercepta o eixo y são (0, c)
48 Zeros da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c(a, b e c R e a 0) f(x) = 0 ax 2 + bx + c = 0 em que = b 2 4ac
49 Zeros da função quadrática Quando > 0, a função tem dois zeros reais distintos. e A parábola intercepta o eixo x em dois pontos:
50 Zeros da função quadrática Quando = 0, a função tem um zero real duplo. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto:
51 Zeros da função quadrática Quando < 0, a função não tem zeros reais. A parábola não intercepta o eixo x:
52 Zeros da função quadrática Exemplos a) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x 2 4x + 3 e os pontos em que a parábola intercepta o eixo x b) Vamos determinar os zeros da função f(x) = x 2 4x + 4 e os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. c) Vamos verificar se a função f(x) = x 2 4x 5 tem zeros reais e se a parábola correspondente intercepta o eixo x
53 Exercício resolvido R4. Considerando a função quadrática determinada por f(x) = 2x 2 6x k, para quais valores de k a função admite dois zeros reais distintos? R5. Determine k para que o gráfico da função quadrática f(x) = kx passe pelo ponto A(1, 5). R6. Determinar a lei da função quadrática com base no gráfico
54 Vértice do gráfico da função quadrática f(x) = x 2 4x + 3 x f(x)
55 Vértice do gráfico da função quadrática Eixo de simetria Quaisquer dois valores de x equidistantes de x V têm a mesma imagem. f(a) = f(b) = c
56 Vértice do gráfico da função quadrática Exemplos f(x) = x 2 6x 5 A equação do eixo de simetria é x =
57 Vértice do gráfico da função quadrática Exemplos f(x) = x 2 + 4x + 10 A equação do eixo de simetria é x =
58 Vértice do gráfico da função quadrática Exemplos f(x) = 3x 2 + 6x + 3 A equação do eixo de simetria é x =
59 Vértice do gráfico da função quadrática As coordenadas do vértice de uma parábola, gráfico da função cuja lei é f(x) = ax 2 + bx + c, são dadas por: x v = e y v =
60 Vértice do gráfico da função quadrática Exemplo Vamos calcular as coordenadas do vértice para g(x) = x 2 5x
61 Exercício resolvido R7. Sabendo que uma função quadrática tem como coordenadas do vértice da parábola (3, 4) e zeros 1 e 5, determinar a lei de formação dessa função
62 Construção do gráfico da função quadrática Pontos convenientes para a construção do gráfico de uma função quadrática:a ponto onde a parábola intercepta o eixo y, caso exista; ponto(s) onde a parábola intercepta o eixo x (zeros da função), caso exista(m); vértice
63 Construção do gráfico da função quadrática Exemplos Gráfico da função f(x) = x 2 4x + 3 coeficiente c: 3 ponto em que a parábola intercepta o eixo y: (0, 3) zeros da função: 1 e 3 pontos em que a parábola intercepta o eixo x: (1, 0) e (3, 0) x v = 2 e y v = 1 vértice da parábola: (2, 1)
64 Construção do gráfico da função quadrática Exemplos Gráfico da função h(x) = x coeficiente c: 4 ponto onde a parábola intercepta o eixo y: (0, 4) zeros da função: não há no conjunto dos reais a parábola não intercepta o eixo x x v = 0 e y v = 4 vértice da parábola: (0, 4) (2, 8) e ( 2, 8) pontos auxiliares
65 Estudo do sinal da função quadrática 1 o caso ( > 0) 2 o caso ( = 0) 3 o caso ( < 0) a > 0 a <
66 Estudo do sinal da função quadrática Exemplos a) Vamos estudar o sinal da função quadrática f(x) = x 2 + x 6. b) Vamos estudar o sinal da função g(x) = x 2 2x
67 Exercício resolvido R8. Determinar k real de modo que a função f(x) = x 2 5x + k seja positiva para todo x real
68 Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática y v é o valor mínimo da função. y v =
69 Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática y v é o valor máximo da função. y v =
70 Valor máximo ou valor mínimo da função quadrática Exemplo Vamos determinar o valor máximo (ou mínimo) da função
71 Exercício resolvido R9. Determinar k para que 1 seja valor mínimo da função quadrática y = (k 1)x 2 + kx +(k 2)
72 Exercício resolvido R10. Navegação. Durante uma situação de emergência, o capitão de um barco dispara um sinalizador para avisar a guarda costeira. A trajetória que o sinal luminoso descreve é um arco de parábola. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por: h(t) = 80t 5t 2, sendo h a altura do sinal, em metro, e t o tempo decorrido após o disparo, em segundo. a) Qual é a altura máxima que esse sinal luminoso pode atingir? b) Quantos segundos se passam, após o disparo, até o sinal luminoso atingir a altura máxima?
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