Função Quadrática SUPERSEMI. 1)(Afa 2013) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y = f( x ),

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1 Florianópolis Professor: Erivaldo Santa Catarina Função Quadrática SUPERSEMI 1)(Afa 013) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y = f( x ), que tem como coordenadas do vértice (5, ) e passa pelo ponto (4, 3), também passará pelo ponto de coordenadas a) (1, 18) b) (0, 6) c) (6, 4) d) ( 1, 36) )(Ufpr 013) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 0 t t, sendo que 0 t 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) = N. a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 300 milhares de reais? 3)(Ufmg 013) Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plano cartesiano. Suponha que s t = t, t + 3t+ 10 e no instante t suas posições são dadas pelos pares ordenados ( ) ( ) sb ( t ) = ( t, t+ 9 ), respectivamente. Sabendo que os robôs começam a se mover em t = 0, a) DETERMINE o instante t em que o robô A se chocará com o robô B. b) Suponha que haja um terceiro robô C cuja posição é dada por ( ) = ( + ) A s t t, kt 11, em que k é um número real positivo. DETERMINE o maior valor de k para que a trajetória do robô C intercepte a trajetória do robô A. C

2 4)(Pucrj 013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação x 11 y = x+ 3 e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo. 6 6 Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. 5)(Ufsj 01) O gráfico da função f(x) = ax + bx + c é: Com relação a f(x), é INCORRETO afirmar que a) seu discriminante ( Δ ) é maior que zero. b) o vértice da parábola tem ordenada positiva. c) o coeficiente do termo quadrado (a) é positivo. d) as raízes da função quadrática são 0 e 3/.

3 6)(Ufpa 01) Um estudante, ao construir uma pipa, deparou-se com o seguinte problema: possuía uma vareta de miriti com 80 centímetros de comprimento que deveria ser dividida em três varetas menores, duas necessariamente com o mesmo comprimento x, que será a largura da pipa, e outra de comprimento y, que determinará a altura da pipa. A pipa deverá ter formato pentagonal, como na figura a seguir, de modo que a altura da região retangular seja 1 y, enquanto a da triangular 4 seja 3 y. Para garantir maior captação de vente, ele necessita que a área da superfície 4 da pipa seja a maior possível. A pipa de maior área que pode ser construída, nessas condições, possui área igual a a) 350 cm b) 400 cm c) 450 cm d) 500 cm e) 550 cm 7)(CFTMG 01) Na função f : {0,1,, 3} Z, definida por f(x) = x + x 5, a) o domínio de f(x) é Z. b) a imagem de x = 1 é igual a. c) o conjunto imagem de f(x) é {0, 1,, 3}. d) o conjunto imagem de f(x) é { 5,, 3, 10}.

4 8)(Espm 01) A figura em destaque representa o gráfico da função y = f(x). Assinale a alternativa que melhor se aproxima do gráfico da função y = f(x 1). a) d) b) e) c)

5 9)(Enem 01) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele? a) b) c) d) e)

6 10)(Insper 01) A área da região sombreada na Figura 1, limitada pelo gráfico da função f( x) = 9 x e pelos eixos coordenados, é igual a 18. Assim, a área da região sombreada na Figura, limitada pelo gráfico da função gx ( ) = x, pelo eixo x e pela reta de equação x = 3, é igual a a) 4,5. b) 6. c) 9. d) 1. e) 13,5. 11)(Uftm 01) As funções f(x) e g(x) são funções quadráticas reais, tais que: f(x) = x + x + e g(x) = x x. Considerando que os gráficos de f(x) e de g(x) são simétricos em relação ao eixo das abscissas, pode-se afirmar que a distância entre seus vértices é a) 1. b). c). d) 3. e) 3.

7 1)(Ufrn 01) Uma lanchonete vende, em média, 00 sanduíches por noite ao preço de R$ 3,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 0 sanduíches. Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é a) R$,50. b) R$,00. c) R$,75. d) R$,5. 13)(Afa 01) Considere f uma função quadrática de raízes reais e opostas. O gráfico de f intercepta o gráfico da função real g definida por gx ( ) = em exatamente um ponto. Se f( 3) = 4 e D f a) f( x) g( x) > 0, x R. ( ) = D( g) = R, então, é INCORRETO afirmar que b) o produto das raízes de f é um número ímpar. = admite valor máximo. c) a função real h definida por hx ( ) gx ( ) fx ( ) d) f é crescente x 1, +. 14)(Uff 01) Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam T o, e R o retângulo de vértices triângulo cujos vértices são os pontos (,0 ),(,0) e ( 0,3 ) ( ) ( ) x,0, x,0,0 x < <, e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de T. Determine o valor de x para o qual a área de R é máxima. Justifique sua resposta.

8 15)(Ime 01) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de ( )( ) variável real, ( ) x b x c ( x c)( x a) ( x a)( x b) f x = a + b + c, obtém-se f(x) ( a b)( a c) ( b c)( b a) ( c a)( c b) igual a: a) x ( a+ b+ c) x+ abc b) x + x abc c) x d) x e) x x+ abc

9 Gabarito: 01) a 0) a) C(t) = 30t + 600t + 50 b) t = 15h 03) a) 1+ 5 t =. b) O maior valor de k deverá ser 1. 04) a) -1 b) 5 05) b 06) d 07) d 08) b 09) d 10) c 11) c 1) c 13) a 14) 1 15) c

10 Resolução: Questão 01: Sendo V(x v, y v) o vértice de uma função polinomial do segundo grau dada por f(x) = ax + bx + c. Toda função polinomial do segundo grau pode ser escrita através de sua forma canônica f(x) = a (x x v) + y v. Portanto, f(x) = a (x 5) +. Como f(4) = 3, temos: a (4 5) = 3 a = 3. Logo, f(x) = (x 5) +. Portanto, o ponto (1, 18) pertence ao gráfico da função, pois (1 5) + = 18. Questão 0: a) C(t) = (0t t ) C(t) = 30t + 600t + 50 b) 300 = 30t + 600t + 50 Dividindo por 30, temos: 30t 600t + 50 = 0 t 0.t + 75 = 0 Resolvendo a equação, temos t = 15h (não convém) e t = 5h.

11 Questão 03: a) S A(t) = S B(t) t + 3t + 10 = t + 9 t t 1= 0 Resolvendo a equação, temos 1+ 5 t =. b) S A(t) = S C(t) S A(t) = S C(t) kt + 11 = t + 3t + 10 ( ) t + k 3 t + 1= 0 Para que k seja máximo, o delta deverá ser zero, pois assim a reta será tangente à parábola. (k 3) = 0 k 6k + 5 = 0, resolvendo a equação, temos: k = 1 ou k = 5 Se k = 1, temos t t + 1 = 0, logo t = 1 (válido) Se k = 5, temos t + t + 1 = 0, logo t = 1 (inválido) Portanto, o maior valor de k deverá ser 1.

12 Questão 04: a) Sabendo que D = (3, 0), vem xa = xd = 3. Além disso, como A pertence à parábola, temos y = f(x ) A A 3 11 = = 1. b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que yb = ya = 1. Assim, C x 11 x C + 3 = 1 x C 11x C + 4 = x = 8 C e, portanto, C = (8, 0). c) A área do retângulo ABCD é dada por (xc x D) f(x A) = (8 3) 1 5= u.a. Questão 05: [A] Verdadeira A parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos. [B] Falsa O vértice tem ordenada negativa. [C] Verdadeira A parábola tem concavidade para cima. [D] Verdadeira A parábola intersecta o eixo x nos pontos (0,0) e (3/,0).

13 Questão 06: Sabemos que x + y = 80 y = (x 40). Podemos dividir a pipa em um retângulo de base x e altura y, 4 e um triângulo de base x e altura 3y. 4 Assim sendo, temos que a área da pipa, em cm, é dada por: y 1 3y A = x + x = x y 8 5 = x (x 40) 4 5 = 500 (x 0). 4 Portanto, a pipa de área máxima que pode ser construída é obtida quando x e sua medida é 500cm. = 0cm, Questão 07: f(0) = = 5 f(1) = = f() = + 5 = 3 f(3) = = 10 Logo, o conjunto imagem de f(x) é { 5,, 3, 10}.

14 Questão 08: O gráfico da função sofrerá uma translação horizontal de uma unidade para a direita. Portanto, a alternativa [B] é a correta. Questão 09: P = r i P = k E r.i k E= r i E= k (como r e ka são constantes reais, temos uma função do segundo grau na variável i). Portanto, o melhor gráfico para que representa a relação pedida é o da alternativa D. Questão 10: Observando as figuras, concluímos que a área pedida será dada por: A = = 9.

15 Questão 11: Reescrevendo a lei de f sob a forma canônica, obtemos f(x) = (x + 1) + 1. Desse modo, o valor mínimo de f é 1 e, portanto, a distância pedida é 1 =. Questão 1: Se x é o número de aumentos de R$ 0,10, então serão vendidos (00 + 0x) sanduíches ao preço de (3 0,1x) reais. Desse modo, o lucro obtido pelo proprietário é dado por: L(x) = (3 0,1x)(00 + 0x) 1,5(00 + 0x) = (x + 10)(x 15). Então, o número de aumentos de R$ 0,10 que produz o maior lucro para o proprietário é: x= =,5 e, portanto, o resultado pedido é 3 0,1,5= R$,75. Questão 13: De acordo com a questão podemos desenhar o seguinte gráfico: Portanto, a única afirmação incorreta é a alternativa [A]: f( x) g( x) > 0, x, pois, para x = 0, f( x) g( x) = 0.

16 Questão 14: Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que: x 3 h 3.x = h= Considere A, a área do retângulo R. 3.x A = x. + 3 A = + 3x 6x b 6 xv = = = 1.a.( 3) Portanto, x = 1. Questão 15: Sabendo que f(a) = a, f(b) = b,f(c) = c e f(x) = x e que f(x) é um polinômio do segundo grau, logo f(x) = x.