Acadêmico(a) Turma: Capítulo 6: Funções

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1 1 Acadêmico(a) Turma: Capítulo 6: Funções Toda função envolve uma relação de dependência entre elementos, números e/ou incógnitas. Em toda função existe um elemento que pode variar livremente, chamado de variável independente, e os que estão relacionados a eles, variáveis dependentes. Existem diversas formas matemáticas de relação entre as variáveis independentes e dependentes. Como exemplo, temos que a área (A) de um círculo está associada ao seu raio (r) conforme a equação abaixo: A = π r 2 Ou seja, com a alteração do tamanho do raio do círculo, a área também será alterada. Nesse caso, a área A é uma função do raio r. A(r) = π r 2 Definição: Uma função matemática é uma relação entre dois conjuntos quaisquer que associa, a cada elemento de partida (domínio), um único elemento de um conjunto de chegada (contra-domínio). Os elementos do conjunto contra-domínio que são imagem de algum elemento do domínio constituem o conjunto imagem da função. Domínio: é o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), ou seja, a região do universo em que a função pode ser definida Imagem: é o conjunto dos valores das ordenadas (y) resultantes da aplicação da função f(x) Contra-domínio: é o conjunto que contém todas as imagens (ou saídas, ou elementos dependentes) possíveis para a função.

2 2 Figura 1. Representação das relações entre domínio (A) e imagem (B) para funções matemáticas. 6.1 Função sobrejetora, injetora e bijetora Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se, e somente se, a imagem for igual ao contradomínio. Em outras palavras, não pode sobrar elementos de B. Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto, não pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas. Função Bijetora: Quando a função f é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora, dizemos que f é uma função bijetora. Neste caso, você pode observar que não existe um elemento de B que não seja imagem de um elemento de A (f é sobrejetora); cada elemento de B é imagem de um único elemento de A (f é injetora). Sobrejetora Injetora Bijetora Figura 2. Representação de funções injetora, bijetora e sobrejetora.

3 3 6.2 Função par e Função ímpar Função par: A função é definida como par se f(x) = f( x). Os valores simétricos devem possuir mesma imagem. Exemplos: 1) f(x) = x 2 f(2) = 4 f( 2) = 4 2) f(x) = x 2 1 f(1) = 0 f( 1) = 0 3) f(x) = x4 f(1) = 14 = 1 ( 1)4 e f( 1) = = Logo f(x) = f( x) Função ímpar: A função é definida como ímpar se simétricos possuem imagens simétricas. f( x) = f(x). Valores Exemplos: 1) f(x) = 2x f(1) = 2 f( 1) = 2 2) f(x) = x f(1) = = 0,1 f( 1) = = 0, ) f(x) = 2x f(2) = 2 2 = 4 e f( x) = 2 ( 2) = 4 Logo f(x) = f(x) 6.3 Função Inversa A função y = f(x) define uma correspondência de x para y, isto é, dado o valor de x podemos obter o valor de y que lhe corresponde através da função f. A função inversa de f, que é indicada por f 1, define uma correspondência contrária, isto é, de y para x, e indicamos x = f 1 (y) Exemplos: 1) f(x) = x 2 1 f 1 (x) = x + 1 2) f(x) = 2x+3 3x 5 f 1 (x) = 3+5x 3x 2 3) f(x) = 7x + 4 f 1 (x) = x 4 7

4 4 6.4 Equação de primeiro grau Chama-se função do 1º grau ou função afim, a qualquer função f dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado de coeficiente linear, sendo a e b constantes, e o domino todos os reais. Coeficiente angular: a é dito coeficiente angular da reta, e se for positivo, a reta tem sentido crescente; caso contrário, decrescente. Coeficiente linear: da reta representado na função pela letra b, indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y). Observe na figura 3 que se b = 0, então o gráfico é uma reta passando pela origem, enquanto que se a = 0, o gráfico é uma reta paralela ao eixo x, interceptando o eixo y em b e, neste caso, é dita função constante. Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y = 0, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Equação da reta: y y 0 = a(x x 0 ) Exemplos: 1) f(x) = 1 x + 4 a = 1 ; b = ) f(x) = 3x + 5 a = 3; b = 5 3) f(x) = 2x + 8 a = 2; b = Gráfico da função Sua representação no plano cartesiano, figura 3, é uma reta que, de acordo com o valor do coeficiente a (positivo ou negativo), é inclinada para esquerda ou para direita. f(x) = ax + b

5 5 Figura 3: Gráfico da função f(x) = ax + b, para b= Equação de segundo grau Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Exemplo: 1) f(x) = 3x 2 4x + 1, onde a = 3. B = 2 e c= 1 2) f(x) = x 2 + 6x + 9, onde a = 1, b = 6 e c = 9 3) f(x) = x 2 8x + 16, onde a = a, b = 8 e c = Gráfico A representação de funções de segundo grau no plano cartesiano é uma PARÁBOLA que, Figura 4, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. O termo c, na função do 2º grau, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

6 6 Figura 4: Representação da função do segundo grau de acordo com o coeficiente a Raízes da função Ao transformar a função do segundo grau em uma equação do segundo grau, isto é f(x) = y = 0, a função assume três possibilidades de resultados de raízes, que pode vir a ser resolvida por Bháskara. 1º Possibilidade: se >0 a função possui duas raízes reais e distinta. Figura 5: Representação da função do segundo grau com >0. 2º Possibilidade: se =0 a função possui raízes iguais, ou uma única raiz.

7 7 Figura 6: Representação da função do segundo grau com =0. 3º Possibilidade: Se <0 a função não possui raízes reais. Figura 7: Representação da função do segundo grau com < Vérticie da função O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo ou o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos como: - Quando a > 0 (concavidade para cima) logo ponto de mínimo. - Quando a < 0 (concavidade para baixo) logo ponto de máximo. Xv = b 2a e Yv = 4a

8 Sinais da função Figura 8: Representação dos sinais da função de segundo grau de acordo com e coeficiente a Função Exponencial A função exponencial possui como principal característica que a parte variável representada por x se encontra no expoente. y = a x Exemplos: 1) f(x) = 2 x 2)f(x) = (3 + x) x Características da função exponencial: - Se a > 1 então f é crescente - Se 0 < a <1 então f é decrescente - Assíntota ao eixo x, ou seja, a função se aproxima do eixo x mas nunca irá encostar no eixo x. - Interceptará y no ponto (0,1), ou seja, cruzar o eixo y Gráfico da função A representação de uma função exponencial no plano cartesiano é de uma curva exponencial que, de acordo com o valor do coeficiente a, é crescente ou decrescente.

9 9 f(x) = a x Figura 9: Representação de uma função exponencial de acordo com o valor de a.

10 10 Lista de Exercícios 1. Determinar o domínio das seguintes funções definidas por: a) f(x) = x x 5 b) f(x) = x+2 2x c) f(x) = x x 2 4 d) f(x) = x 2x 1 2. (Faap) Durante um programa nacional de imunização contra uma forma virulenta de gripe, representantes do ministério da Saúde constataram que o custo de vacinação de "x" por cento da população era de, aproximadamente, f(x)=(150x)/(200-x) milhões de reais. a) Qual é o domínio da função f(x)? b) Para que valores de x, no contexto do problema, f(x) tem interpretação prática? c) Qual foi o custo para que os primeiros 50% da população fossem vacinados? d) Qual foi o custo para que os 50% restantes da população fossem vacinados? e) Qual a porcentagem vacinada da população, quando foram gastos 37,5 milhões de reais? f) Faça o gráfico da função, especificando sua parte relevante, tendo em vista a situação prática do problema em questão. 3. A temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus Celsius. Use o fato de que 0 ºC = 32 ºF e 100 ºC = 212 ºF para escrever uma função que forneça a conversão de temperatura de uma graduação para outra. Use a função obtida para converter 15 graus Celsius em graus Fahrenheit e 68 graus Fahrenheit em graus Celsius.

11 11 4. (Faap) A variação de temperatura y = f(x) num intervalo de tempo x é dada pela função f(x) = (m 2 9)x 2 + (m + 3)x + m 3. Calcule "m" de modo que o gráfico da função seja uma reta paralela ao eixo x. 5. (Fatec) Se f é uma função definida por f(x) = x 3 equivalente de f(x) f(1), para x 1. f(x 1) x 2 +3, então qual a expressão 6. (Faap) Durante um mês, o número y de unidades produzidas de um determinado bem e função do número x de funcionários empregados de acordo com a lei y = 50 x. Sabendo que 121 funcionários estão empregados, qual será o acréscimo na produção com a admissão de 48 novos funcionários? 7. (Fei) Se g(1 + x) = x, qual o valor de g(3)? x (Unesp) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada por: S(p) = p2/3 Onde p é a massa da pessoa em quilogramas. Considere uma criança de 8kg. Determine: a) a área da superfície corporal da criança; b) a massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar. (Use a aproximação 2 = 1,4.) 9. (Ufscar) Uma pesquisa ecológica determinou que a população (S) de sapos de uma determinada região, medida em centenas, depende da população (m) de insetos, medida em milhares, de acordo com a equação S(m) = 65 + m. A 8 população de insetos, por sua vez, varia com a precipitação (p) de chuva em centímetros, de acordo com a equação m(p) = 43p + 7,5. a) Expresse a população de sapos como função da precipitação. b) Calcule a população de sapos quando a precipitação é de 1,5cm.

12 (Unesp) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função: q(t) = q 0 2 ( 0,1) t. Sendo q 0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início? 11. (FGV) Seja a função f(x) = x 2. Qual valor de f(m + n) f(m n)? 12. (PUCRS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por: Qual o número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho? 13. (Fuvest) Qual função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria? 15. (Mackenzie-SP) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f( 1) = 3 e f(1) = 1. Qual o valor para f(3)? 16. (ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3 2 x2 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Qual é a medida da altura do líquido?

13 (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por y = x 2 mx + (m 1), onde m pertence ao conjunto dos Reais, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Qual o valor de y que essa função associa a x=2? 18. (ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, qual a concentração (em moles) após 2,5? Tempo (s) Concentração (mol/l) 1 3,00 2 5,00 3 1, (PUCMG) A temperatura, em graus Celsius no interior de uma câmara, é dada por f(t) = t 2 7t + A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0, a temperatura é de 10 C, qual tempo, em minutos, gasto para que a temperatura seja mínima? 20. Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula, m = 3 2t 3 t Assim sendo, qual o tempo máximo que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente?

14 (PUC SP-06) Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 250 mil litros? 22. Qual o coeficiente angular da reta dos pontos: a) A ( 1,3) e B ( 2,4) b) A (2,6) e B (4,14) 23. Construa o gráfico das funções abaixo: a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = 3x + 6 c) f(x) = x 2 + 6x + 9