Módulo e Função Modular

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1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA-UERJ DISCIPLINA: MATEMÁTICA (FUNÇÕES) PROF S : QUARANTA / ILYDIO / 1 a SÉRIE ENSINO MÉDIO Módulo e Função Modular Função definida por mais de uma sentença Seja uma função f : R + R, onde f() =. O domínio dessa função é formado pelos reais não-negativos. Ao ser feito seu gráfico, tem-se apenas um pedaço da parábola. Agora considere uma outra função * f : R R, onde f() = -. O domínio dessa função é formado pelos reais negativos. Ao ser feito seu gráfico, tem-se apenas um pedaço da reta. As duas funções podem ser reunidas numa única função. Sua representação será feita da seguinte forma: f : R R f() = se se 0 < 0 Módulo ou valor absoluto de um número Dado um número real qualquer, o módulo desse número é uma operação que o torna positivo (eceto o zero). 5 = 5 5 = 5 0 = 0 0, = 0, 5 = 5 Possui um significado geométrico que é a distância desse número até o zero na reta real. 1

2 =, pois a distância do ao 0 vale. 6 = 6, pois a distância do -6 ao 0 vale 6. Generalizando para um número qualquer : se não for negativo ( 0) = se for negativo ( < 0) OBS: Note que a sentença acima indica que o módulo de um número qualquer será igual ao próprio número, se este número não for negativo e será igual ao seu simétrico, se o número for negativo. Epressões algébricas que possuem letra dentro do módulo podem ser substituídas por sentenças equivalentes que não têm módulo, desde que seja informado para que valores da letra a epressão equivalente é válida. Veja alguns eemplos: 5 se 5 0 se 5 5 = + 5 se 5 < 0 se < 5 Se = 7 então 7 5 = 7 5 Se = então 5 = + 5 = (se ) Se = 8 então 8 = 8 8 = + 8 (se < 4) Se = -1 então ( 1) 8 = ( 1) + 8 = para qualquer valor real de Propriedades do módulo: Se = - então ( ) = ( ) = O módulo de um número é igual ao módulo do seu simétrico. = O módulo do quadrado de um número é igual ao quadrado desse número. a b = b a O módulo da diferença de dois números é comutativo.

3 = O módulo de um n o é igual à raiz quadrada do seu quadrado. FUNÇÃO MODULAR Quando uma função é colocada dentro de um módulo, a função é denominada modular. Seu formato é dado por: y = f (). Esta função pode ser substituída por outras duas funções que são equivalentes à y = f() se f() for maior ou igual a zero função anterior:. y = f() se f() for menor que zero Serão dados alguns eemplos de funções modulares. Todas serão representadas por mais de uma sentença. E. 1: f() =. Para ser efetuada a construção gráfica, a função modular será y = se 0 desmembrada em duas: y = se < 0 D = R I = R + Observe que a função que estava dentro do módulo (no caso a função identidade y = ) foi mantida para valores de y positivos (acima do eio ). Já para valores negativos de y (abaio do eio ) a função foi rebatida em relação ao eio. Foi obtida uma nova função (y = -) simétrica à anterior em relação ao eio. Resumindo: a parte da função que estava em baio do eio foi refletida para cima do eio. Essa idéia valerá para todas as funções modulares. Daqui em diante, o gráfico da função modular será construído usando tal idéia. E. : f() = +. As funções equivalentes serão: + se se < D = R I = R + A função que estava dentro do módulo (y = + ) foi mantida para valores de maiores que (acima do eio ). Já para valores menores que (abaio do eio ), a função foi rebatida em relação ao eio. Foi obtida uma nova função (y = - - ) simétrica à anterior em relação ao eio.

4 Observe também que esta função foi deslocada de unidades para esquerda em relação à função anterior y =. + 1 se E. : f() = +. As funções equivalentes serão: 5 se < y = + y = + D = R, + OO I = [ ] Comparando com a função anterior y = +, constata-se um deslocamento para baio de unidades. Com isso a imagem passa a incluir números reais negativos. E. 4: f() = 6. As funções equivalentes serão: se se < A letra V mudou de inclinação uma vez que coeficiente angular (a = ) da função de primeiro grau que está dentro do módulo foi aumentado em relação às anteriores. D = R I = R + E. 5: f() = 4. As funções equivalentes serão: se ou se < < As partes da parábola y = 4 à direita do e à esquerda do - foram mantidas uma vez que tinham y não negativo ( acima ou no próprio eio ). Já a parte da parábola que estava situada entre - < < foi rebatida para cima, visto que tinham sinal negativo de y (abaio do eio ). 4

5 E. 6: f() = + +. As funções equivalentes serão: + 1 se 5 se < 1 se < Note que agora a função foi dividida em três partes. Uma reta crescente (a > 0) para valores de maiores ou iguais a, uma reta constante para entre - e e uma reta decrescente (a < 0) para valores de menores que -. EQUAÇÃO MODULAR Uma equação onde a variável esteja dentro de um módulo é denominada modular. Serão resolvidas algumas equações modulares. E. 1: = 7 = 7 ou = -7 E. : + 1 = = 5 = 5 1 = = 5 = = -6 Esta segunda parte poderia também ser resolvida como: + 1 = -5 ou = -6. E. : = 4 - = 4 = 4 + = 7/ - + = 4 - = 4 - = -1/ ou então fazendo = -4, que gera = -1 ou = -1/. E. 4: 5 1 = 8 Esta equação não possui solução uma vez que não pe possível que o módulo resulte num número negativo (-8) 5

6 E. 5: = 1 - = 1 = 1 + = 16 = ± = 1 = -1 + = -10 S = Poderia também fazer: = -1 ou ainda = -10, o que acarreta em solução vazia, no campo dos números reais. E. 6: + = 5 + = - 5 = 5 + = = - 5 = 5 - = / (esta solução não serve, pois o resultado de um módulo, no caso 5, deve ser maior ou igual a zero / ), logo teremos: S = {8} E. 7: = 0 Troca-se por y: y 5y + 6 = 0 y = ou y = = = ± = = ± E. 8: + + = = 4 = = 1,5 (não serve, pois deve ser maior que ) = 4 0 = -1 impossível - + = 4 - = 5 = -,5 (não serve, pois deve ser menor que -). Solução vazia. INEQUAÇÃO MODULAR Uma inequação onde a variável esteja dentro de um módulo é denominada modular. Serão resolvidas algumas inequações modulares. E. 1: > > - > < - A solução será a união desses dois intervalos: E. : - - A solução será a interseção desses dois intervalos: 6

7 E. : 5 < 6-5 < 6 < 11 < 5, < 6 - > 1 > -1/ A solução será a interseção desses dois intervalos: E. 4: ou A solução será a união desses dois intervalos: EXERCÍCIOS 1 - Calcule a) 7 c) 5 7 b) / 4 d) 7 4. Q do =- - Escreva, nos seguintes itens, uma sentença equivalente que não tenha módulo: a) com e) + 5 com b) 6 com < - f) + + com > - c) 4 com < 4 g) com d) 9 com - < < - Diga quais dos itens a seguir apresentam sentenças equivalentes. a) - d) 7 7 b) =9 = e) = 5 =5 c) 1 1 f) + 1 ( + 1) 4 - Qual o significado geométrico,utilizando a reta real, das seguintes epressões: a) c) + b) 5 d) Se f: é dada por f() =, calcule quando eistir: a) f(7) c) f(0) e) tal que f()=8 b) f(-4) d) f(4) f) tal que f()=- 7

8 6 - Seja f: a função dada por f()= a) Escreva f() sem utilizar módulo b) Calcule f(), f(7), f(-1) e f(5) usando a resposta do item a) 7 - Construa o gráfico das seguintes funções definidas de. +...se... 1 a) f()= 1...se... 1 < < 1...se... 1 b)f()= + c) f()= 6 g) f()= + 5 d) f()= h) f()= 6 + e) f()= + 4 i) f()= / f) f()= + 1 j) f()= Na função y= 10, definida de em,diga quais são os valores do domínio que possuem imagem 4. 9 Identifique o conjunto solução das equações. a) 7 = 10 b) + 9 = 1 c) = d) 7 = 5 + f) 5 = 6 + g) 4 + = 0 h) = 10 Quantas e quais são as raízes da equação: = 6? 11 Resolva as inequações: a) > 5 b) 1 7 c) 4 < 5 d) Que valores de satisfazem a inequação: < 4? 1 - (PUC) Para definir módulo de um número real posso dizer que: a) é igual ao valor de se é real b) é o maior valor do conjunto formado por e o oposto de c) é o valor de tal que d) é o oposto do valor de e) é o maior inteiro contido em 4 = e) 14 - (MACKENZIE) Seja f: a função dada por f()= + 1. O conjuntoimagem da função f é: a) { y / y } d) { y / y } b) { y / y } e) y / y c) { } 15 - (F.G.V.) Sejam e y números reais quaisquer. Assinale a afirmação correta: a) + y ( + y) / d) y > y b) + + y > y e) + y = + y 8

9 c) y ( y) / ) DESAFIO 1- Faça o gráfico de y= Sejam e y.complete a seguinte lacuna com >, <,, + y + y, ou =. Justifique. GABARITO 1-a) -11 b)11/4 c)7 d)0 -a)- b)--6 c)-+4 d)- +9 e) se... > se... 5 f) se se... < < g) se se... < 1..se... < - c, d, e, f 4-a) a distância de um n o até o zero b) a distância do 5 ao c) a distância de um n o até o - d) a distância do -5 até o zero 5-a)7 b)4 c)0 d)4 e)=8 ou =-8 f)não eiste 6-a)y= 15...se... 5 b)f()=9 f(7)=6 f(-1)=18 f(5)= se... < 5 7-em folha anea 8-= e =7 9-a)17 e - b)1,5 e -10,5 c) d)4/9 e 4/7 e)4/7 e -10/ f)-6, 1, - e - g)1, -1, - e h)0 e 4 10-não possui solução 11-a) > 4 ou < -1 b) DESAFIO c)- < < d)r 1- > 4 1-b 14-e 15-c 9