INTERVALOS, INEQUAÇÕES E MÓDULO

Transcrição

1 Revisão de Pré-Cálculo INTERVALOS, INEQUAÇÕES E MÓDULO Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, outubro 2016 Direitos reservados. Permitida a reprodução desde que citada a fonte.

2 A Reta Real Para cada ponto da reta real corresponde um número real. A origem corresponde o número real zero, 0. Números positivos estão à direita da origem e números negativos, à esquerda, como mostrados na figura Ordem dos números reais - Desigualdades Sejam a e b dois números reais quaisquer. Símbolo Definição Geometria da Reta a<b a b é negativo a está à esquerda de b a b a b é negativo ou zero a está à esquerda de b ou coincide com b De maneira similar se define > (maior que) e (maior ou igual a) 2

3 Intervalos da Reta Intervalos são subconjuntos dos números reais (segmentos de reta). Sejam a e b números reais. Notação Desigualdade Tipo de Intervalo [ a, b ] a x b Fechado ( a, b ) a < x < b Aberto a e b são ditas as extremidades do intervalo (limitado). De maneira similar se define [a, b) e (a, b]. Desenho no próximo slide. 3

4 Dupla Desigualdade - observações a x b equivale a a x e x b (ambas as condições devem ser satisfeitas) Não se usa o sinal de > ou em duplas desigualdades como por exemplo a x b ou ainda a x b. Observe que a x b equivale a b x a JRRZ & ISMJ 4

5 Notação Intervalos não limitados - Semiretas Desigualdade ( a,+ ) x > a (-, b) x < b De maneira análoga se define [a, + ) e ( -, a]. O símbolo para infinito (não é um número real) tem por significado que o valor (em módulo) pode ser arbitrariamente grande (tão grande quanto se queira). 5

6 Conjuntos, Relações e Operações Sejam A e B dois conjuntos. Notação Leitura Equivalente A c B A está contido em B x ε A => x ε B A U B união de A e B x ε A ou x ε B A B interseção de A e B x ε A e x ε B Dois conjuntos são disjuntos se A B = Ø JRRZ & ISMJ 6

7 Desigualdades Propriedades Regra dos sinais se a.b < 0 então a e b têm sinais contrários. se a.b > 0 então a e b têm o mesmo sinal. O mesmo vale para o quociente a/b. Sejam a, b e r números reais positivos. a < b se e somente se a^r < b^r. 7

8 Desigualdades - Propriedades Sejam u, v, w, z e c números reais, variáveis ou expressões algébricas. 1. Transitiva Se u < v e v < w então u < w 2. Adição u < v se e somente se u + w < v + w. Se u < v e w < z então u + w < v + z 3. Multiplicação Se c >0 então u < v <=> u.c < v.c Se c < 0 então u < v <=> u.c > v.c As propriedades acima são verdadeiras se o símbolo < é substituído por. Existem propriedades similares para > e. 8

9 Inequação Linear Dados a (a 0) e b números reais, resolva para x (incógnita) a.x + b < 0 Resolução passo a passo 1. Some -b a desigualdade: a.x < - b 2. Divida por a considerando um dos dois casos 2.1 se a > 0: x < - b/a 2.2 se a < 0: x > b/a Inequação poderia ter sido formulada com >, ou. JRRZ & ISMJ 9

10 Inequação Quadrática Dados a (a 0), b e c números reais, resolva para x (incógnita) a.x 2 +b.x+c<0 Obs: alunos provavelmente vão resolver de forma gráfica, esboçando o gráfico da parábola e determinando os intervalos onde ela é negativa. Método do Varal 1o Passo: Fatore a expressão 2 o Passo: monte o diagrama para análise de sinal (varal). 10

11 Inequação Quadrática Exemplo: considere que a equação a.x 2 +b.x+c=0 tem duas raízes reais e distintas indicadas por r1 e r2. Fatoração da expressão: a.x 2 +b.x+c = a.(x r 1 )(x r 2 ) Diagrama de sinais (varal) considerando a > 0 (e r1 < r2). JRRZ & ISMJ 11

12 Inequação Polinomial i) Resolução alternativa: testar os valores da expressão em cada intervalo x < r1, r1 < x < r2, x > r2. Teorema (permanência do sinal): se um polinômio não tem raiz em um intervalo, então o sinal do polinômio é o mesmo em todos os pontos do intervalo. ii) o método do varal (e também o teste de valores) pode ser usado para resolver uma inequação polinomial de grau >= 2 (desde que se consiga fatorar o polinômio). 12

13 Exercícios 1) Considere os pontos a e b da reta real, a < b. a) Determine o ponto médio do segmento [a, b]. b) Determine os pontos que dividem este segmento em 3 partes iguais. 2) Determine todos os pontos cuja distância ao ponto 2 é igual ou menor que 4. 3) Mostre que se 0 < a < b então a² < b². 13

14 Inequações Exercícios 1) Resolva as seguintes inequações a) x (x -1) > 0. b) 1 x 2 x². c) 2 x² + x < 3. d) x² + x + 1 < 0. e) x³ x² 2x < 0. f) x³ x² x + 1 < 0. g) x³ 6x 4 > 0. h) x⁴ < x². Veja também o exemplo do Simmons, cap. 1, seção 2: x³ > x. 14

15 Exercícios 2) Para cada item, determine os valores de x para que a expressão seja positiva. x+1 x 3. x x 2 4 a) b) 3) Resolva a inequação 4) Para quais valores de x a expressão está definida (é um número real) a) b) 4 x ².. x 2 < x. x ² x

16 Módulo (ou valor absoluto) O módulo de um número real a é definido por a a a se a 0 se a 0 Observações: a 0 e a = 0 se e somente se a = 0. a b é igual a distância entre os pontos a e b da reta. JRRZ & ISMJ 16

17 Módulos e desigualdades Seja u uma expressão algébricas e a um número real com a I u I < a se e somente se a < u < a São os pontos u cuja distância a origem é menor que a 2. I u I > a se e somente se u < -a ou u > a. São os pontos u cuja distância a origem é maior que a. 17

18 Vizinhança de um ponto a Intervalo aberto de centro a e raio r: ( a r, a + r) ou a r < x < a + r ou x a < r São os pontos cuja distância ao ponto a é menor que r. De maneira similar pode-se definir vizinhança fechada de um ponto, vizinhança à esquerda e vizinhança a direita. Vizinhança própria: x a. JRRZ & ISMJ 18

19 Módulos - Exercícios do Simmons capítulo 1, seção 2 Exercício b resolvido em sala de aula. 19