UFF- EGM- GMA- Lista1 de Pré-Cálculo (7 páginas) LISTA 1

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1 UFF- EGM- GMA- Lista de Pré-Cálculo (7 páginas) 9- LISTA )Resolva, se possível, as equações, indicando em cada passo a propriedade algébrica dos números reais utilizada. i) ( + ) = ii) 5 = iii) + = iv) = v) ( ) + = vi) = vii) = ( ) viii) ( ) ( ) = )Resolva, se possível, as inequações, indicando em cada passo a propriedade de ordem dos números reais utilizada. i) 6 v) > ii) iii) + ( ) < iv) + + vi) + vii) + viii) + )Descubra a hipótese que falta sobre a ou/e b para tornar correta a equivalência abaio: )i) Determine a solução de. a b + b a b + b ii) Represente o conjunto solução de i) na reta orientada. iii) Interprete a inequação em i) no plano cartesiano. 5)a)Determine os valores de,tais que, a reta = + está abaio da parábola =. Faça um esboço dos dois gráficos no plano cartesiano. b)determine os valores de c, tais que a reta = + c possua algum ponto de interseção com a parábola =. Esboce. 6)Considere a desigualdade 5 5. i) Determine uma estimativa para usando a desigualdade acima. ii) Interprete a desigualdade dada no plano cartesiano. iii) Utilizando i) estime, isto é determine o menor valor de a, tal que a. 7)Considere o problema : Determinar os pontos da reta numérica cuja distância a - é maior do que. i) Resolva o problema geometricamente. ii) Apresente o problema acima utilizando símbolos e notação matemática. 8)Seja b, um número real fiado, mas arbitrário. Diga quantas soluções eistem para a equação b = b. 9)Se, determine o menor intervalo a que geométrico para o problema no plano cartesiano. = deve pertencer. Atribua um significado

2 UFF- EGM- GMA- Lista de Pré-Cálculo (7 páginas) 9- )Verifique se cada afirmativa abaio é falsa ou verdadeira. Se falsa, dê um contraeemplo, se verdadeira, demonstre-a. a) a < a >. b) a b a a b a. c) a < b a < a b. d) ab a b. e) a b > a b > a a. f) a b < b < a. g) a b < a = ou b < a. h) a < b a + < b + i) ab ab b )Complete e esboce na reta numérica. i) Se ( 5, ], então + pertence ao intervalo.... ii) > pertence ao intervalo.... iii) Se 5 < < <.... iv) Se < + <... e <.... ) Considere o número real ɛ >. a) Suponha ɛ <. Se < ɛ, mostre que < ɛ. b) Suponha < ɛ <. Se < ɛ, mostre que < ɛ. c) Suponha ɛ <. Se < ɛ 5, mostre que < ɛ. )Foi encontrada a seguinte resolução da equação =: Solução: Sabemos que = ( ) =. Logo, = =. Portanto, S=}. A solução está correta? Se não, identifique o erro! )Resolva: i) = ii) iii) 5 < iv) + < v) + + > )Estude o sinal das epressões : a) E() = b) E() = No curso de Cálculo I você verá que esse tipo de eercício está ligado à noção de continuidade de uma função num ponto.

3 UFF- EGM- GMA- Lista de Pré-Cálculo (7 páginas) 9-6)Determine o domínio das epressões: a) c) b) + + d) )Justifique se cada afirmativa abaio é falsa ou verdadeira. a) a + = b + a = b b) ( + ) = +, R c) ( + ) = +, < 8)Diga para quais valores de as identidades são verdadeiras. a) =. b) =. c) + = +. d) + b = + b, onde b > é uma constante.(dica: Olhe a demonstração da Propriedade.8.5 do teto.) 9)Escreva a definição de cada epressão, abrindo o(s) módulo(s), e esboce o gráfico no plano cartesiano. i) = + v) = + + ii) = iii) = iv) = vi) = + + )Resolva: i) ii) iii) <. ) Questões do eame de proficiência em Pré-cálculo-9: a)resolva a inequação ( + )( ) + ( + )( ) b)determine o domínio de cada epressão abaio, isto é, o maior subconjunto de R, onde cada uma pode ser calculada. + i) f() = + ii) g() = c)estude o sinal e esboce o gráfico de f() =, R..

4 UFF- EGM- GMA- Lista de Pré-Cálculo (7 páginas) 9- RESPOSTAS DA LISTA : ) i) S =, } ii) S = 5 ± iii) S = ) i) S = [, ] ii) S = (, ] [, + ) iii) S = (, ) (, ) iv) S = [, ) )a R, b (, ) (, + ). iv) S = } v) S =, ±} vi) S =, } v) S = (, ) (, + ) vii) S =,,,, } 5 viii) S =,, } vi) S = (, ) [ + 5, + ) vii) S = (, ) (, + ) viii) S = [, ] [, ] )i)s = (, ] } [, + ) ii) iii)s representa as abscissas dos pontos sobre os gráficos, tais que a parábola = está acima ou intersecta o gráfico de =.Veja a representação abaio: 5)a)S = (, + ). Esboço dos gráficos: 6 b)qualquer c. Para c = há um único ponto de interseção e para cada c < há dois pontos. 6)i) 5 7 5

5 UFF- EGM- GMA- Lista de Pré-Cálculo (7 páginas) 9-5 ii )É o conjunto das abscissas dos pontos em que o gráfico de = 5 está abaio ou fazendo interseção com a reta = 5. Veja a figura a seguir. =5 = 5 /5 iii) 7 5, a = /5 7)i)S = (, ) (, + ) ii)determine a solução da inequação + >. 8)Se b = S = R. Se b > S = ±}. Se b < S =. 9)S = [, ].O gráfico da reta = está entre as retas = e =, para [, ]. 5 5 ) a) (F ) : a =. b) (V ),pois se a = vale a igualdade. Se a,então a > e pela monotonicidade da multiplicação o resultado segue. c) (F ); a =. d) (F ); a =, b =. e) (V ).Observe que a. Pela monotonicidade da multiplicação a equivalência segue, já que a >. f) (F ); a = g) (V ), pela monotonicidade da multiplicação (prop...), segue que a b < a = ou b < a a = ou b < a, onde na última equivalência usamos a prop. do módulo.7.. h) (F); a = e b =. i) (V ). Se ab, multiplicando a inequação por b (> ), temos que ab b. Como b b, a conclusão segue.

6 UFF- EGM- GMA- Lista de Pré-Cálculo (7 páginas) 9-6 ) i) (-,5] ii) (, ) ou (, + ) iii) < 5 iv) + < 5 e <. ) Errada. Note que =. ) i) S =, } ii) S = R iii) S = (, + ) iv) S = ( 5, 5 + ) ( 5, 5 + ). 5)a)E() > (, ) (, + ). E() < (, ). E() = = ou =. b)e() > (, + ). E() = = ou = +. E() < (, ) ( +, ). 6)a)D = (, ] [, + ). b)d = (, ) ( +, + ). c)d = (, ] (, + ) [, + ). d) D = (, ] [, + ). 7)a)(V) Note que a + > e b + >. Assim a + = b + a + = b + a = b a = b, usando a prop..8.. b)(f) Tome como contra-eemplo =. A igualdade só vale para. c)(v) ( + ) = + = + = +, para <, onde usamos as prop..8. e.8.. 8)a), pela prop..8. para a, b b), pela prop..8. para a, b < c).para resolver a equação, abrimos em casos: se,a equação equivale a + = +, que vale para todo ; se < <, abrindo os módulos a equação equivale a + = + =. Como = / (, ), não há solução no intervalo (, ); se,abrindo os módulos a equação equivale a = + =, o que é absurdo, logo também não há solução em(, ]. d)=. Vimos na demonstração de.8.5 que a + b = a + b a = ou b =. Como b > por hipótese, segue que =. 9) 6 = + +, se /; i) =, se < /. /

7 UFF- EGM- GMA- Lista de Pré-Cálculo (7 páginas) 9-7 ii) =, se ou ;, se < <., se ou iv) = =, se < <., se ;, se <. +, se < <., se ; ( + ), se ou < vi) = + ( + ), se < <. + = ( ), se ou < ; ( ), se < < ; 5 ) i)s = (, ) (, ). ii)s = (, ] (, + ). iii)s = (, ] (, ) [5, ). [ ] [ 5 + ) 5 )a)s = (, ),, ii)s = [, ) (, + ) c) b)i)s = [, ) [, ] (, + ) SINAL:f() > em(, + ); f() < em(, ) e f() = em =.