E-books PCNA. Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 INTERVALOS, INEQUAÇÕES E MÓDULO

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1 E-books PCNA Vol. 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 INTERVALOS, INEQUAÇÕES E MÓDULO

2 1 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 SUMÁRIO Apresentação Capítulo Intervalos, Inequações e Módulo Intervalos Intervalos Limitados Intervalos Não Limitados Inequações Propriedades da desigualdade Módulo Propriedades LISTA DE EXERCÍCIOS GABARITO Página 1

3 2 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 Apresentação Ao chegar à UFPA, você tem a possibilidade de cursar gratuitamente cursos de nivelamento em Ciências Básicas (Física, Química e Matemática). Assistindo às aulas no próprio ambiente em que cursará sua graduação, isso auxiliará você a adquirir o conhecimento necessário para enfrentar melhor o programa curricular do seu curso. Então seja Bem-vindo ao Curso de Nivelamento em Matemática Elementar do PCNA. Este é o segundo de uma série de cinco E-books que vão lhe acompanhar durante o curso, o professor utilizará este material como apoio às suas aulas e é fundamental que você o leia e acompanhe as atividades propostas. A série E-books PCNA-Matemática foi desenvolvida com o propósito de apresentar o conteúdo do curso de Matemática Elementar, fornecendo também ferramentas para facilitar o ensino e a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral que você irá encontrar em breve na sua graduação. Neste fascículo você irá encontrar o conteúdo de Intervalos, Inequações e Módulo. É bom lembrar que não se pode aprender Cálculo sem alguns pré-requisitos, que muitas das vezes não valorizamos por acharmos simples e descomplicados, todavia, atenção e compreensão se fazem necessária. Página 2

4 3 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 Capítulo 2 2. Intervalos, Inequações e Módulo 2.1. Intervalos Intervalos são trechos contínuos da reta numérica Intervalos Limitados Sejam a e b números reais com a <b: a) Intervalo aberto de a até b: Observe que, este intervalo é limitado por a e b, porém eles não pertencem ao intervalo. Assim, representamos na reta numérica com bolinha aberta e utilizamos os colchetes com abertura para fora para indicar que o intervalo é aberto. Caso, a e b pertencessem ao intervalo, veríamos o símbolo ou, para indicar que a ou b pertencem aos intervalos, além disso, na reta numérica a representação seria com bolinha fechada como veremos adiante. (a, b) = ]a, b[ = {x R a < x < b} a b b) Intervalo fechado de a até b Neste caso, a e b fazem parte do intervalo, tendo assim os símbolos e, indicando que x é maior que a e menor que b. Página 3

5 4 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 [a, b] = {x R a x b} Leia-se: x pertence aos reias, tais que, x maior que a e menor que b. a b c) Intervalo fechado em a e aberto em b: [a, b) = [a, b[ = {x R a x < b} a b d) Intervalo aberto em a e fechado em b (a, b] = ]a, b] = {x R a < x b} a b Intervalos Não Limitados Os intervalos não limitados são aqueles em que não há um limite definido previamente, por exemplo, o conjunto dos números reais maiores que 1. Temos apenas um dos limites Página 4

6 5 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 definidos. Quando pensamos em números maiores que 1, podemos imaginar qualquer número até o infinito. A noção de infinito é abstrata, mostra que existem tantos números maiores que 1 que não possível mensurar. Ao se deparar com + ou -, lembre-se que não são números, e sim notações para intervalos não limitados. a) Intervalo aberto de a até + (a, + ) = ]a, + [ = {x R x > a} a b) Intervalo fechado de a até + [a, + ) = {x R x a} a c) Intervalo aberto de até a (, a) = ], a[ = {x R x < a} a d) Intervalo fechado de até a Página 5

7 6 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 (, a] = ], a] = {x R x a} a Exemplo 1: Dado o intervalo represente-o na reta numérica a) ] 2, 5 ] b) [ 1, 2 ] c) ], 4 [ Página 6

8 7 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 Exemplo 2: Descreva o intervalo indicado na reta numérica: a) I = [ 2, + ) = {x R x 2} b) I = {x R x 1 OU 3 x < 6} 2.2. Inequações Inequação é uma expressão algébrica que contém sinal de desigualdade (< ; > ; ; ) Propriedades da desigualdade Sejam a, b, c, d números reais: 1) Somar ou subtrair um número qualquer em ambos os lados da inequação não altera o sinal da mesma. Exemplo 1: Se a < b então a + c < b + c. Como em: a = 2; b = 4; c = 3. Página 7

9 8 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 a < b 2 < 4 a + c < b + c 2 3 < < 1 Exemplo 2: Se a > b então a + c > b + c. Como em: a = 5 ; b = 4 ; c = 2. a > b 5 > 4 a + c > b + c > > 2 2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número POSITIVO, não altera o sinal da mesma. Exemplo 1: Se a < b e c > 0 então a. c < b. c e a c < b c. Como em: a = 4; b = 4; c = 2. a < b 4 < 4 Página 8

10 9 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 a c < b c 4 2 < < 8 a c < b c 4 2 < < 2 Exemplo 2: Se a > b e c > 0 então a. c > b. c e a c > b c. Como em: a = 4 ; b = 2; c = 2. a > b 4 > 2 a c > b c 4 2 > > 4 a c > b c 4 2 > > 1 3) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número NEGATIVO, resulta na inversão do sinal da desigualdade. b. c e Exemplo 1: Se a < b e c < 0 então a. c > a c > b c. Como em: a = 2; b = 4; c = 3. Página 9

11 10 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 a < b 2 < 4 a. c > b. c 2 ( 3) > 4 ( 3) 6 > 12 a c > b c 2 3 > > 4 3 Exemplo 2: Se a > b e c < 0 então a. c < b. c e a c < b c. Como em: a = 4; b = 2; c = 2. a > b 4 > 2 a. c < b. c 4 ( 2) < 2 ( 2) 8 < 4 a c < b c 4 2 < < 1 Obs.: As propriedades acima continuam válidas para as desigualdades não estritas e. 4) Desigualdade Triangular: x + y x + y Página 10

12 11 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 Exemplo 1: x = 4; y = ( 2) Obs.: x + y = x + y somente se x e y forem simultaneamente positivos ou negativos. 5) x a a x a Demonstração: Se x for positivo: x = x x a Se x for negativo: x = x x a x a Então: x a E x a, ou seja, a x a 6) x a x a ou x a Demonstração: Se x for positivo: x = x x a Se x for negativo: Página 11

13 12 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 x = x x a x a n 7) x n = { Então x a OU x a x se n for par x se n for impar 2 Exemplo 1: Se x = Exemplo 2: Se x = ( 2) = x = 2 = 2 = x = 2 = 2 Resolver uma inequação é determinar todos os valores da variável que torna verdadeira a mesma. Este conjunto de valores é chamado conjunto solução da inequação. O conjunto solução da inequação representa um trecho contínuo da reta numérica, ou seja, é um intervalo. Exemplo 1: Determine se os valores de x = 3; x = 0 e x = 2 são soluções da inequação x + 3 < 5x 1. Substituindo x = 3 na inequação: Página 12

14 13 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO < 5 ( 3) 0 < 15 Falso Substituindo x = 0 na inequação < 5 (0) 3 < 0 Falso Substituindo x = 2 na inequação: < 5 (2) 5 < 10 Verdadeiro Portanto x = 2 é uma das soluções da inequação Exemplo 2: Resolva as inequações abaixo e represente o conjunto solução na reta numérica: a) x + 3 < 5x 1 x 5x < 1 3 4x < 4 4 x > 4 x > 1 1 (1, + ) Página 13

15 14 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 b) 13 2x 3 5 S = {x R x > 1} Nesse caso, devemos separar em duas inequações, e realizar a interseção das soluções para que a solução seja válida para ambas as inequações. Interseção de dois intervalos é agrupar em um terceiro intervalo o que os dois intervalos têm em comum. Separando em duas inequações temos: A) 13 2x x B) 2x 3 5 2x 16 x 8 S A = {x 8} E (significa a interseção) 2x 8 x 4 S B = {x 4} x 8 x 4 S A S B [4, 8] Página 14

16 15 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 S = {x R 4 x 8} c) 3x Da propriedade 6 temos: 3x OU 3x Lembre-se que OU em matemática significa união. União, é agrupar em um mesmo intervalo as soluções das duas inequações. Resolvendo as inequações separadamente: A) 3x x 3 x 1 B) 3x x 7 x x 1-7/3-7/3 1 x 7 3 S A S B Página 15

17 16 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 (, 7 3] [1, + ) S = {x R x 7 3 ou x 1} d)(x 3) 4 16 (x 3) (x 3) 4 Da propriedade x x 3 2 x 3 2 E x 3 2 Lembre-se que E em matemática significa interseção. Resolvendo as inequações: A) x 3 2 x 5 B) 2 x 3 1 x x 1 5 x x 1 S A S B Página 16

18 17 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 S = {x R 1 x 5}S = [1, 5] e) 2x 5 < 3. Da propriedade 5) temos: 3 < 2x 5 < 3 Resolvendo sem separar as inequações: < 2x < < 2x < < x < < x < Página 17

19 18 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 S = {x R 1 < x < 4} f) 6 2x 7. Da propriedade 6 temos: A) 6 2x 7 2x 7 6 2x 13 x 13 2 B) 6 2x 7 2x 7 6 OU 2x 1 x /2-1/2-1/2 13/2 Página 18

20 19 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO Módulo S = {x R x 1 2 ou x 13 2 } A todo número real x associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, representado por x definido por: x, se x 0 x = { x, se x < 0 O módulo de um número positivo ou nulo é o próprio número 4 = 4 ; 0 = 0 O módulo de um número negativo é o oposto dele mesmo 3 = ( 3) = 3 ; 5 = ( 5 ) = 5 De acordo com a definição acima, para todo x R tem-se x 0, ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. Geometricamente, o módulo um número real é, na reta numérica, a distância entre este número e a origem R Página 19

21 20 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 O número -2 está a 2 unidades de medida à esquerda da origem. Assim, sua distância à origem é 2. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de -2 é 2, indicado por 2 = 2. O número 3 está a 3 unidades de medida à direita da origem. Assim, sua distância à origem é 3. Dizemos, então, que o módulo ou valor absoluto de 3 é 3, indicado por 3 = 3. Se considerarmos dois números reais x e y associados aos pontos X e Y na reta real, então x y corresponde a distância entre os dois pontos Propriedades 1) x 0 2) x = x 3) x. y = x. y 4) x/y = x / y com y 0 5) x = y se e somente se x = ± y n 6) x n = { x se n for par x se n for impar ; x R Observação: x ± y x ± y Página 20

22 21 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 Exemplos: 1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo, calcule: a) = 2 = 2 b) = 8 3 = 8 3 = 5 c) ( 2). 3 = 2. 3 = 2. 3 = 6 d) ( 3) 2 = 3 = 3 3 e) ( 3) 3 f) 2 x + 1 x 2 ( 3) = 3 quando x = 3 = 5 3 = 5 3 = 5 3 2) Sejam a = 10, b = 2 e c = 5, calcule as expressões: a) a 2. b = a 2. b = a. a. b = = 200 b) a c = a c = 10 5 = 10 5 = 2 2 c) c 2 3 d) c 3 = c = 5 = 5 = c = 5 3) Resolva as equações abaixo: a) x + 2 = 8 Página 21

23 22 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 se x x + 2 = (x + 2) = 8 x = 8 2 = 6 se x + 2 < 0 x + 2 = (x + 2) = 8 x + 2 = 8 x = 8 2 x = 10 Portanto x = 6 ou x = 10 b) 2x + 1 = 3. se (2x + 1) 0 2x + 1 = 2x + 1 = 3 2x + 1 = 3 2x = 3 1 2x = 2 x = 2 2 = 1 se (2x + 1) < 0 2x + 1 = ( 2x + 1) = 3 -(2x + 1) = 3 2x = 4 x = 4 2 2x + 1 = 3 x = 2 Portanto x = 1 ou x = 2 c) 4x + 1 = 5 2x Pela propriedade 5 temos: Página 22

24 23 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 4x + 1 = ±(5 2x) 4x + 1 = 5 2x 6x = 4 x = 2 3 4x + 1 = 5 + 2x 2x = 6 x = 3 Portanto x = 3 ou x = 2 3 d) x 2 = 8 x 2 = x = 8 se x 0 x = x = 8 x = 8 se x < 0 x = x = 8 x = 8 x = 8 Portanto x = 8 ou x = 8 Página 23

25 24 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Escreva na forma de intervalo cada representação geométrica dada abaixo. 2) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma de intervalo: a) {x R 6 x 10} b) {x R 1 < x 5} c) {x R x 4} d) {x R x < 1} 3) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma geométrica: a) [ 1, + ) 2 b) (0, 7] c) (, 3) d)[ 6, + ) Página 24

26 25 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 4) Sendo A=]-3,4[ e B =[-1,6[, calcule A B, A B, A B e B A. 5) Dados A = ]-3,2]; B = ]-1,4[ e C = (-, + ) determine: a) (A U C) B b) (B U C) A c) A B d) B C e) (C A) B f) A B 6) Resolva a seguinte inequação: a) 4x 43 2x 2 > 3x + 13 b) 2x 43 + x + 14 > x 12 + x c) x² + 1 < 2x² 3 5x 7) Resolva as equações: a) 5x 3 = 12 b) 3x + 2 = 5 x c) 3x + 1 = x 3 d) x 2 6x = 9 e) 2 x x = 2 f) x 2 + x 6 = 0 Página 25

27 26 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 8) Elimine o módulo: a) x x b) x + 2 x + 1 c) 2x 1 + x 2 d) x + x 1 + x 2 Página 26

28 27 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 1) a) ( 2, 3] b) [4, + ) c) (, 5) d) (0, 1) 2) a) [6, 10] b) ( 1, 5] c) [4, + ) d) (, 1) 3) a) [ 1 2, + ) - GABARITO b) (0, 7] - c) (, 3) - d)[ 6, + ) - 4) A B = ] 3, 6[ A B = [ 1, 4[ A B = ] 3, 1[ B A = [4, 6[ Página 27

29 28 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 5) a) B b) ], 3] ]2, + [ c) ] 3, 1] d) e) ]2, 4[ f) ] 1, 2] 6) a) S = {x R x < 58} b) S = {x R x > 17} c) S = 7) S = {x R x < 6 ou 1 x < 4 ou x 6} a) S = {x R x = 3 ou x = 9/5} b) S = {x R x = 3/4 ou x = 7/2} c) S = {x R x = 2 ou x = 1/2} d) S = {x R x = ou x = ou x = 3} e) S = {x R x = ±1/2} f) S = {x R x = 2 ou x = 2} 8) 2x 1, se x < 1 a) S = { 1, se 1 x 0} 2x + 1, se x > 0 1, se x < 1 b) S = { 2x 3, se 1 x 2} 1, se x > 2 Página 28

30 29 MATEMÁTICA ELEMENTAR CAPÍTULO 2 3x + 3, se x < 1/2 c) S = { x 1, se 1/2 x 2} 3x 3, se x > 2 3x + 3, se x < 0 x + 3, se 0 x 1 d) S = { } x + 1, se 1 < x 2 3x 3, se x > 2 Página 29