LISTA DE EXERCÍCIOS. Números Reais Geometricamente, Numericamente e Axiomaticamente

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS Matemática Básica Humberto José Bortolossi 07 Números Reais Geometricamente, Numericamente e Axiomaticamente [01] Determine os números reais x, y e z indicados pelas setas na reta numérica desenhada abaixo Observação: os intervalos foram subdivididos em partes iguais x y z [02] Determine os números reais x, y e z indicados pelas setas na reta numérica desenhada abaixo Observação: os intervalos foram subdivididos em partes iguais x y z [03] Na reta numérica abaixo, estão indicados quatro pontos: A, B, C e D Qual ponto corresponde ao número 2/5? A B C D [04] Na reta numérica abaixo, a = 2/3 e b = 3/10 O intervalo [a, b] encontra-se dividido em sete partes iguais Determine o valor de x indicado na figura Escreva sua resposta na forma de fração p/q, sendo p e q números inteiros e primos entre si (isto é, o máximo divisor comum entre p e q é igual a 1) a x b [05] Na reta numérica abaixo, a = 1/5 e b = 1/7 Determine o valor de x indicado na figura sabendo que o intervalo [a, x] encontra-se dividido em 11 partes iguais Escreva sua resposta na forma de fração p/q, sendo p e q números inteiros e primos entre si (isto é, o máximo divisor comum entre p e q é igual a 1) a b x 1

2 [06] Na reta numérica abaixo, a = 1/5 e b = 1/7 Determine o valor de x indicado na figura sabendo que o intervalo [x, b] encontra-se dividido em 11 partes iguais Escreva sua resposta na forma de fração p/q, sendo p e q números inteiros e primos entre si (isto é, o máximo divisor comum entre p e q é igual a 1) x a b [07] Demonstre todos os exercícios que foram indicados nas transparências usadas em sala de aula [08] Seguindo o modelo apresentado em sala de aula, resolva as equações abaixo indicando explicitamente qual axioma ou propriedade você usou em cada etapa (a) 2 x 5 = 1 (b) x (1 x) (5 6 x) = 0 (c) x 2 4 = (x 2) x 2 (d) x (x 2 4 x + 1) = x [09] No ensino médio você aprendeu que se a 0, então a solução (em x) da equação é a x + b = 0 x = b a Use os axiomas e as propriedades dos números reais para demonstrar este fato! Qual é a solução da equação a x + b = 0 se a = 0? [10] Seja M o conjunto das matrizes 2 2 com entradas reais munido com operações usuais de adição e multiplicação de matrizes: se a b r s A = e B =, c d t u então a + r b + s A + B = c + t d + u [ a r + b t a s + b u e A B = c r + d t c s + d u Quais das propriedades (C1), (C2), (C3), (C4), (C5), (C6) e (C7) que caracterizam um corpo são satisfeitas por M com as operações + e? [11] Quais das propriedades (C1), (C2), (C3), (C4), (C5), (C6) e (C7) que caracterizam um corpo são satisfeitas pelo conjunto N dos números naturais munido com as operações usuais de adição e multiplicação? [12] Quais das propriedades (C1), (C2), (C3), (C4), (C5), (C6) e (C7) que caracterizam um corpo são satisfeitas pelo conjunto Z dos números inteiros munido com as operações usuais de adição e multiplicação? [13] Quais das implicações abaixo são falsas? Ou elas são todas verdadeiras e temos uma prova de que 0 = 1? Para as implicações verdadeiras, indique o axioma ou a propriedade de número real que estão sendo usados ] x = 0 (1) = x (x 1) = 0 (2) = x 1 = 0 (3) = x = 1 2

3 [14] Quais das implicações abaixo são falsas? Ou elas são todas verdadeiras e temos uma prova de que 2 = 1? Para as implicações verdadeiras, indique o axioma ou a propriedade de número real que estão sendo usados x = 2 (1) = x (x 1) = 2 (x 1) (2) = x 2 x = 2 x 2 (3) = x 2 2 x = x 2 (4) = x (x 2) = x 2 (5) = x = 1 [15] Por que 2 x + 3 x = 5 x? [16] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa Caso ela seja verdadeira, indique qual propriedade algébrica [PA] dos números reais está sendo usada e, caso ela seja falsa, apresente um contraexemplo (a) x 2 = x x2 x = x x (b) = x 1 x 1 x 1 (c) = x 1 = x 1 x 1 = x 1 x 1 [17] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa Caso ela seja verdadeira, indique qual propriedade algébrica [PA] dos números reais está sendo usada e, caso ela seja falsa, apresente um contraexemplo (a) x 4 (x + 1) = x 2 (2 x + 3) x4 (x + 1) = x2 (2 x + 3) x 2 x 2 (b) = x 1 x 1 x 1 x + 1 = 1 (c) x + 1 = 1 = x 1 x 1 x 1 [18] Resolva as equações abaixo, indicando explicitamente qual axioma ou propriedade você usou em cada etapa Caso seja necessário, você pode usar (sem demonstração) o seguinte fato: a equação quadrática ax 2 + b x + c = 0, com a 0, possui soluções reais se, e somente se, = b 2 4 ac 0 Você também pode usar o fato de que, neste caso, as soluções são dadas por x 1 = b b 2 4 ac 2 a e x 2 = b + b 2 4 ac 2 a As demonstrações destes fatos serão dadas mais adiante no curso (a) (6 x + 4) (1 + x2 ) 2 (3 x x) x (1 + x 2 ) 2 = 0, (b) (2 x 1) (2 x 2) 2 x2 + 2 x 2 (2 x 2) 2 = 0, (c) 2 x (x 2)2 (16 x 2 ) (2 x 4) (x 2) 4 = 0, (d) 5 x 1 = 0 3

4 [19] Resolva a equação abaixo, indicando explicitamente qual axioma ou propriedade você usou em cada etapa ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) = 0 x x x x [20] Mostre que o conjunto Q( 2) = {a + b 2 a, b Q} com as operações usuais de adição de multiplicação de números reais é um corpo 4

5 Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas Você deve escrevê-las! [01] x = 0075, y = 005 e z = 0175 [02] x = 2575, y = 245 e z = 2325 [03] B [04] x = 41/105 [05] x = 37/35 [06] x = 107/175 [13] Apenas a implicação (2) é falsa! [14] Apenas a implicação (5) é falsa! [15] Pela propriedade distributiva, segue-se que 2 x + 3 x = (2 + 3) x = 5 x [16] (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Falsa [17] (a) Falsa (b) Verdadeira (c) Verdadeira [18] (a) S = { 1/2, 2} (b) S = {0, 2} (c) S = {8} (d) S = [19] S = {1, 2, 3, 4} Texto composto em L A TEX2e, HJB, 11/05/2015 5