FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 3 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Considere as três proposições seguintes: a: A Ana é médica; b: A Ana é enfermeira; c: A Ana não é veterinária. (10) 1.1 Traduza simbolicamente cada uma das seguintes proposições: a) A Ana é médica ou é veterinária. R: a ~ c b) A Ana é médica se e só se não é enfermeira nem veterinária. R: a ~ b c (10) 1. Diga, justificando, qual é a negação da proposição: «A Ana não é enfermeira se e somente se é médica» (A) A Ana não é enfermeira nem médica; (B) A Ana não é enfermeira nem médica ou é enfermeira e médica; (C) A Ana é enfermeira se e somente se não é médica; (D) A Ana é enfermeira e não é médica ou é médica e não é enfermeira. Temos de negar a proposição ~ b a. Temos; ~ ~ b a ~ ~ b a a ~ b ~ ~ b a ~ a ~ b ~ b ~ a a b opção B Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/5 Versão 3

2 . Sendo p, q e r proposições elementares, considere a proposição: p q r ~ q (15).1 Mostre que a proposição dada é equivalente à proposição ~ q p ~ r. Temos: p q r ~ q ~ p q r ~ q ~ ~ p q r ~ q p q ~ r ~ q p ~ q q ~ q ~ r ~ q p q ~ r ~ q p ~ q V ~ r ~ q p ~ q ~ r ~ q ~ q p ~ r c.q.m. Outro processo: Construir uma tabela de verdade (10). Determine o valor lógico da proposição dada, sabendo que a proposição q é falsa. Como q F, substituindo temos p F r V F r V V V Outro processo: Usando ~ q p ~ r, que é equivalente à proposição dada. V Como q F, temos V p ~ r V, porque V é o elemento absorvente da disjunção Portanto, a proposição dada é verdadeira 3. Considere as proposições: a: Nem todos os números naturais são pares. b: Qualquer número inteiro não nulo e menor do que 1 é negativo. (15) 3.1 Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições e indique o seu valor lógico. a: x : x é ímpar é uma proposição verdadeira, pois há muitos números naturais ímpares. b: x, x 0 x 1 x 0, é uma proposição verdadeira. Ou x \ 0, x 1 x 0 (15) 3. Escreva a negação de cada uma das proposições dadas, em linguagem simbólica e em linguagem natural, sem utilizar o símbolo ~, nem a expressão «Não é verdade que». ~ a : ~ x : x é ímpar x, x é par Todos os números naturais são pares ~ b : ~ x, x 0 x 1 x 0 x, x 0 x 1 x 0 Existe pelo menos um número inteiro não nulo menor do que 1 e não negativo. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /5 Versão 3

3 4. Dados o conjunto U 1,, 4, 8, 16, 3 e as condições a x e a x : x é um quadrado perfeito. b x : x é um número primo. (10) 4.1 Defina o conjunto U em compreensão. b x, definidos por: Como todos os elementos de U são divisores de 3, o conjunto U é definido por: U x : x é divisor de 3 (15) 4. Classifique, em U, as condições: a x, b x e ax bx a x é possível em U, porque b x é possível em U, porque a x a 1, a 4 e 16. a são verdadeiras em U. b é verdadeira em U, isto é, é primo. b x é a conjunção de duas condições possíveis em U. A conjunção só é verdadeira quando as duas proposições são simultaneamente verdadeiras. Contudo, neste caso, as condições a x e U, podemos concluir que a condição ax bx Por exemplo, 4 4 a b V F F bx nunca são possíveis para o mesmo elemento de é impossível em U. (15) 4.3 Indique, justificando, o valor lógico das proposições: p : x U, ~ a x q : x U: a x b x p : x U, x não é quadrado perfeito é Falsa, pois 4 é quadrado perfeito (por exemplo). q : x U: x é número primo e quadrado perfeito é Falsa pois nenhum elemento de U é simultaneamente primo e quadrado perfeito. (10) 4.4 Indique, justificando, qual das condições abaixo é a negação da proposição q. (A) x U, x é quadrado perfeito x não é primo (B) x U, x não é quadrado perfeito x não é primo (C) x U, x é quadrado perfeito x não é primo (D) x U, x é quadrado perfeito x é primo Temos ~ x U: ax bx x U, ~ a x b x x U, ~ ax ~ bx x U, ax ~ bx, escrevendo a disjunção como uma implicação, opção A. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 3/5 Versão 3

4 5. Considere, em, os seguintes conjuntos definidos em compreensão. A x : x x 5 6 B x : 5 x 1 C x : 1 x 3 7 (15) 5.1 Represente em extensão, ou na forma de intervalo de números reais, cada um dos conjuntos. Conjunto A: x Assim, A 61, 5x6 0 x x x 6 x 1 Conjunto B: 5x 1 x 1 5 x 4 x Logo, B, x Conjunto C: 1 x x3 x3 7 x13 x 7 3 x 4 x 4 x 4 x 4 Portanto, C 44, (15) 5. Defina, sob a forma de intervalo de números reais ou união de intervalos disjuntos, cada um dos conjuntos: a) B C R: B C, 4, 4 4, b) A B \C R: A B \C = 6, 1, \ 4, 4 =, \ 4, 4 =, 4 c) C\ A R: C\ A = 4, 4\ 6, 1 = 4, 1 1, 4 (10) 5.3 Indique, justificando, qual das proposições seguintes é verdadeira: (A) x, xb x A Falsa, porque B A (B) x, x A x B Falsa, porque A B (C) x, x A x B Verdadeira, pois A B (D) x, x A x B Falsa, porque 8 A e 8 B, isto é, 6, 1, Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 4/5 Versão 3

5 6. Considere a proposição seguinte, definida no conjunto dos números naturais. «Se o quadrado de um número natural n é ímpar, então n é ímpar.» (5) 6.1 Escreva a proposição dada em linguagem simbólica. Temos, n, n é impar n é impar (15) 6. Indique o valor lógico da proposição dada, apresentando um contraexemplo, no caso de ser falsa, ou provando-a por contrarrecíproco, caso seja verdadeira. Esta implicação só é falsa se houver algum número par (não ímpar) cujo quadrado seja ímpar, pois só V F F. Por exemplo, é par, mas também é par ( não é contraexemplo) 10 é par, mas também 10 é par (10 não é contraexemplo) Estes exemplos apontam para a veracidade da proposição dada. Vejamos se a contrarrecíproca é verdadeira: Queremos provar que n, n é par n é par Ora, se n é par então n k, para algum k. n k 4k k e Assim, Portanto, n é par (porque é o dobro de k. k ). Como a contrarrecíproca é verdadeira, então a proposição dada é verdadeira. (15) 7. Utilize as propriedades da implicação para escrever em linguagem corrente, de duas formas distintas, uma proposição equivalente à proposição: «Se um paralelogramo tem as diagonais iguais, então é um retângulo». Sendo a e b as proposições elementares: a : Um paralelogramo tem as diagonais iguais; b : Um paralelogramo é um retângulo. Assim, a proposição dada traduz-se simbolicamente por a b. Como a b ~ a b, a proposição dada é equivalente a: «Um paralelogramo não tem as diagonais iguais ou é um retângulo». Também sabemos que a b ~ b ~ a, pelo que a proposição dada é equivalente a: «Se um paralelogramo não é retângulo, então não tem as diagonais iguais». BOM TRABALHO Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/5 Versão 3