FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 1

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.. Segundo o Instituto Português do Mar e da Atmosfera, sabe-se que: a probabilidade de chover no próximo sábado é 60% a probabilidade de chover no próximo domingo é % se não chover no sábado a probabilidade de chover no domingo passa para 0% (0).. Sendo A e B dois acontecimentos possíveis de um espaço de resultados S, mostre que p Temos = Lei de De Morgan = Prob. do ac. contrário = p pa Prob. da reunião de dois acontecimentos = p p A c.q.m. Outro processo: p = = p ().. Mostre que a probabilidade de não chover durante o fim de semana é %. = Sugestão: Se lhe for útil, pode utilizar a igualdade referida na questão anterior. Nesse caso, deverá começar por identificar claramente cada um dos acontecimentos A e B, no contexto da situação apresentada. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

2 Sejam os acontecimentos: A: chover no próximo sábado B: chover no próximo domingo É pedida a probabilidade de não chover no sábado e não chover no domingo, isto é, Sabemos que 60% 0, 6 ; pb % 0, p Portanto, pb A B A 0, p A e pb A 0% 0, 0, pb A 0, pb A 0, 0, 4 Assim, p pb A 0, 0 0, 0, 0 pb A B 0, 7 Portanto, usando a igualdade da questão anterior p = 0, 4 0, 0, 7 = 0, = % A probabilidade de não chover no fim de semana é % Outros processos: Começar por construir uma árvore (o mais simples) de probabilidades ou uma tabela (0).. Diga, justificando, qual dos valores seguintes representa a probabilidade de chover no sábado e não chover no domingo. (A) % (B) % (C) % (D) % De acordo com a identificação anterior, pretende-se Como temos Outro processo: p B,,, % ().4. Determine a probabilidade de chover apenas num dos dias do fim de semana. De acordo com a identificação feita em., pretendemos determinar Usando os dados das questões anteriores temos: = % % 4% Opção C Outro processo: Recorrer à árvore de probabilidades. A altura, em centímetros, dos alunos do.º ano de uma escola é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 70. (0).. Seja X a variável aleatória altura dos alunos do.º ano. p X 60, 7%. Admita que Indique, justificando, qual dos valores seguintes representa o desvio padrão da variável X. (A), (B) (C) 0 (D) Como temos uma distribuição normal N, N 70, com Sabemos que p X 9, 4% e p X, 7% Portanto, Opção B p X 60, 7% Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

3 (0).. Escolhe-se ao acaso um aluno do.º ano dessa escola. Considere os acontecimentos: A: o aluno escolhido é rapaz B: o aluno escolhido tem altura inferior a 70 centímetros Diga, justificando, qual dos seguintes é o acontecimento contrário de A B. (A) O aluno escolhido é rapariga ou tem altura inferior (ou igual) a 70 centímetros. (B) O aluno escolhido é rapariga ou tem altura superior (ou igual) a 70 centímetros. (C) O aluno escolhido é uma rapariga com altura inferior (ou igual) a 70 centímetros. (D) O aluno escolhido é uma rapariga com altura superior (ou igual) a 70 centímetros. O acontecimento contrário de A B é A B A B Portanto, A B significa que o aluno escolhido é rapariga ou tem altura superior (ou igual) a 70 centímetros (opção B)... Relativamente aos alunos do.º ano dessa escola, sabe-se ainda que: 4% dos alunos são rapazes; 0% dos alunos são raparigas com altura superior a 70 centímetros. Escolhe-se ao acaso um aluno do.º ano. (0)... Calcule a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga ou ter menos de 70 centímetros. Usando os acontecimentos identificados na questão anterior, temos 4%, 0 p B % e B 0% Pretendemos determinar Sabemos que p = p p = Portanto, só nos falta conhecer Como p, temos 0% 00% 4% 0% Portanto, B 00% 4% % 0% B % Outro processo: organizar os dados numa tabela de dupla entrada: A A Total B % % 0% B 0% 0% 0% Total 4% % 00% Desta forma, p = % + 0% - % = 0% Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

4 (0)... Calcule a probabilidade de o aluno escolhido ter altura superior a 70 centímetros sabendo que foi escolhido um rapaz. De acordo com a identificação feita atrás, pretendemos determinar pb A p B A Temos, pb A = = 0 % 4% = 4 9. A Mafalda tem três caixas com bolas de duas cores: brancas e vermelhas. As imagens seguintes mostram a constituição de cada caixa. Caixa Caixa Caixa (0).. A Mafalda escolheu aleatoriamente uma caixa e retirou, ao acaso, uma bola vermelha. Determine a probabilidade de essa bola ter sido tirada da caixa. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas. Pretendemos determinar a probabilidade de ter sido escolhida a caixa, C, sabendo que saiu bola vermelha. Contudo, a bola vermelha pode ter saído de qualquer uma das três caixas. pc V Assim, sendo V o acontecimento obter bola vermelha tem-se pc V pv pv pc V pc V pc V = 4 = 4 = p C V 0, = 0,0 ( c.d.) Portanto, ().. A Mafalda tirou, ao acaso, uma bola da caixa e outra da caixa. Seja X a variável aleatória número de bolas vermelhas obtidas. Entre as tabelas seguintes está a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. (A) (B) x i i p X x i 7 x 0 p X x i 0 (C) (D) x i 0 x i 0 p X x i 4 p X x i 4 Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 4/6 Versão

5 Diga qual é a tabela de distribuição da variável X, indicando, para cada uma das outras três uma razão (diferente) pela qual a rejeita. Como são tiradas duas bolas, o número de bolas vermelhas obtidas pode tomar os valores: 0, e. Assim X 0,,. Portanto, a tabela (A) não está correta. 4 4 Correto nas restantes tabelas 6 0 Temos p X 0 pv V pv pv p X p V V p V V Não pode ser (C) p X pv V Não pode ser a tabela (B) 6 0 Por exclusão, só a tabela D está correta. ().. Calcule o valor médio e o desvio padrão da variável X representada na tabela da opção A. Apresente os resultados na forma de dízima, com aproximação às centésimas. 7 4 Valor médio:, =,47 ( c.d.) 7 Desvio padrão:, 47, 47 =, 767, 966, 76 0, = 0,0 ( c.d.) ().4. Considere os acontecimentos: Sabendo que Y : a Mafalda passou uma bola da caixa para a caixa. Z : a Mafalda tirou uma bola vermelha da caixa. p Z Y, numa pequena composição, entre e 0 linhas, explique qual a cor da bola que a Mafalda passou da caixa para a caixa. Nota: Não aplique a fórmula da probabilidade condicionada. O valor pedido deverá resultar exclusivamente da interpretação de pz Y no contexto da situação descrita. pz Y representa a probabilidade de tirar uma bola vermelha da caixa sabendo que foi mudada uma bola da caixa para a caixa. Assim a caixa passou a ter 6 bolas, sendo este o número de casos possíveis. Ora, se esta probabilidade é significa que das bolas que agora estão na caixa são vermelhas. Portanto, há 6 bolas vermelhas na caixa (n.º de casos favoráveis). Portanto, como inicialmente a caixa tinha duas bolas brancas podemos concluir que a bola que passou de C para C é branca. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página /6 Versão

6 4. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Acerca de dois acontecimentos possíveis, A e B, de S sabe-se que: p B B (0) 4.. Diga, justificando adequadamente, entre que valores pode variar.?? Como temos Assim, B vem, ou seja, p A B p B p B Também é verdade que, ou seja, p Portanto, sabemos que. Assim, ou Como A B A Logo, () 4.. Diga, justificando, se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas: (A) Os acontecimentos A e B são incompatíveis; (B) Os acontecimentos A e B não são contrários; (C) Os acontecimentos A e B podem ser independentes. A e B são incompatíveis A B P A 0 Vimos que 0, portanto (A) é falsa. A e B são contrários A e A B S P A B Como P A 0 0 e P A, A, portanto (B) é verdadeira Ou, dois acontecimentos compatíveis nunca podem ser contrários, pois A P A B P A P B A e B são independentes Portanto, (C) é verdadeira. P A P A P A,, pois p A BOM TRABALHO Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A.º Ano Página 6/6 Versão