Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema I Probabilidades e Combinatória. TPC nº 3 (entregar no dia )

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1 Escola Secundária com 3º ciclo. inis 2º no de Matemática Tema I Probabilidades e ombinatória TP nº 3 (entregar no dia ) Propósito do TP: rever os planos de trabalho números, 2 e 3 e preparar o primeiro Teste Para resolver o TP nº 3 precisa de saber: Resolver problemas de probabilidades depois de pensar qual o método que deve utilizar e analisando no fim o resultado. Fazer demonstrações utilizando propriedades das operações com acontecimentos e a axiomática das probabilidades. Resolver problemas de probabilidade condicionada e envolvendo acontecimentos independentes. Resolver problemas de distribuições de probabilidades. O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos:,, e O. Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus. Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo ( Rh ); se não possui este factor, diz-se Rhésus negativo ( Rh ). Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos seguinte forma: O Rh 40% 6,9% 2,9% 35,4% Rh e Rh estão repartidos da Rh 6,5%,2% 0,4% 6,7% Escolhido um português ao acaso qual é a probabilidade de o seu grupo sanguíneo ser.. ou?.2. Rh e não ser O.3. O, sabendo que é Rh.4. Rh, sendo 2. Uma formiga percorre num minuto um lado de um losango. ada vez que está num vértice escolhe aleatoriamente um dos lados para seguir. Partindo de, qual a probabilidade de que percorra os 4 lados nos primeiros 4 minutos? 3. Seja E o conjunto de resultados associados a uma experiência aleatória. Sejam e dois acontecimentos de P (E ) 3.. Prove que: p( ) p( ) = p( ) os alunos de uma turma sabe-se que: 0% são rapazes com óculos; 65% são raparigas ou usam óculos. Professora: Rosa anelas no Lectivo 20/202

2 Escolhe-se um aluno da turma ao acaso. Recorrendo à igualdade demonstrada em 3.. determine a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga. Sugestão: onsidere os acontecimentos: ser rapaz; usar óculos. 4. O professor lfredo leciona a disciplina de Matemática na Escola Secundária oavista. Numa das suas aulas, propôs duas tarefas aos alunos, no âmbito do tópico «istribuição de Probabilidades». Para a primeira tarefa, o professor mostrou aos alunos um dado cúbico, equilibrado, cuja planificação se representa na figura. No quadro, o professor apresentou uma tabela incompleta, que se reproduz a seguir, referente à distribuição de probabilidades da variável aleatória Y, que representa o «produto dos números saídos em dois lançamentos do dado cúbico». O professor lfredo pediu aos alunos que completassem a tabela. 4.. presente a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Y com os valores das probabilidades na forma de fracção. Para a segunda tarefa, o professor lfredo considerou a variável aleatória X, «altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária oavista, escolhido ao acaso». variável aleatória X segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio 70 centímetros. Na figura, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória X Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que classificassem cada uma delas como verdadeira ou como falsa. I) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a,60 metros do que ser superior a,80 metros. II) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre,60 metros e,70 metros ou de ser superior a,80 metros é maior do que 0,5. III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória X é 7 centímetros. O iogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira Elabore uma pequena composição, na qual justifique que o iogo classificou correctamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação. Professora: Rosa anelas 2 no Lectivo 20/202

3 Escola Secundária com 3º ciclo. inis 2º no de Matemática Tema I Probabilidades e ombinatória TP nº 3 Proposta de resolução. O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos:,, e O. Independentemente do grupo, o sangue pode possuir, ou não, o factor Rhésus. Se o sangue de uma pessoa possui este factor, diz-se Rhésus positivo (Rh ); se não possui este factor, diz-se Rhésus negativo (Rh ). Na população portuguesa, os grupos sanguíneos e os respectivos Rh e Rh da seguinte forma: O Rh 40% 6,9% 2,9% 35,4% 85,2% Rh 6,5%,2% 0,4% 6,7% 4,8% 46,5% 8,% 3,3% 42,% 00% Escolhido um português ao acaso a probabilidade de o seu grupo sanguíneo ser.. ou é P( ) = ( 46,5 8, )% = 54,6%.2. Rh e não ser O é P( Rh O) = ( 6,5,2 0,4 )% = 8,%.3. O, sabendo que é Rh é ( ) ( ) P( Rh ) P O Rh 35,4 P O Rh = = 4,55% 85,2 estão repartidos.4. Rh, sendo é ( ) P Rh 40 P( Rh ) = = 86,02% P 46,5 ( ) 2. Uma formiga percorre num minuto um lado de um losango. ada vez que está num vértice escolhe aleatoriamente um dos lados para seguir. Partindo de, qual a probabilidade de que percorra os 4 lados nos primeiros 4 minutos? Vamos estudar o percurso da formiga fazendo uma árvore: os 6 percursos que a formiga pode fazer em 4 minutos apenas 2 lhe permitem percorrer os 4 lados do losango. probabilidade pedida é 2 P = = 6 8 Professora: Rosa anelas 3 no Lectivo 20/202

4 3. Seja E o conjunto de resultados associados a uma experiência aleatória. Sejam e dois acontecimentos de P (E ) 3.. Provemos que: p( ) p( ) = p( ). Ora P( ) P( ) = P() P( ) P( ) P( ) Mas como = \ que é incompatível com e cuja reunião dá, pelo 3º axioma P( ) = P( ) P( ) P() P( ) P( ) P( ) = P() P( ) P() = P( ) e concluímos então que p( ) p( ) = p( ) c.q.d os alunos de uma turma sabe-se que: 0% são rapazes com óculos; 65% são raparigas ou usam óculos. Escolhe-se um aluno da turma ao acaso. Recorrendo à igualdade demonstrada em 3.. determinemos a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga. onsideremos os acontecimentos: ser rapaz; Os dados são P( ) 0, usar óculos. = e P( ) = 0,65 e o que pretendemos calcular é ( ) Pela relação que acabámos de provar temos que p( ) = 0,65 0, = 0,55 probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga é 0,55 ou 55%. p. 4. O professor lfredo leciona a disciplina de Matemática na Escola Secundária oavista. Numa das suas aulas, propôs duas tarefas aos alunos, no âmbito do tópico «istribuição de Probabilidades». Para a primeira tarefa, o professor mostrou aos alunos um dado cúbico, equilibrado, cuja planificação se representa na figura. No quadro, o professor apresentou uma tabela incompleta, que se reproduz a seguir, referente à distribuição de probabilidades da variável aleatória Y, que representa o «produto dos números saídos em dois lançamentos do dado cúbico». O professor lfredo pediu aos alunos que completassem a tabela. Para podermos completar a tabela vamos começar por fazer uma tabela com os resultados dos produtos: 4.. presentemos a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Y com os valores das probabilidades na forma de fracção. Para a segunda tarefa, o professor lfredo considerou a variável x y i - 0 P (Y = y i ) 2 = 3 Professora: Rosa anelas 4 no Lectivo 20/202 3

5 aleatória X, «altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária oavista, escolhido ao acaso». variável aleatória X segue, aproximadamente, uma distribuição normal de valor médio 70 centímetros. Na figura, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória X Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que classificassem cada uma delas como verdadeira ou como falsa. I) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a,60 metros do que ser superior a,80 metros. II) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre,60 metros e,70 metros ou de ser superior a,80 metros é maior do que 0,5. III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória X é 7 centímetros. O iogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira Elaboremos uma pequena composição, na qual justifiquemos que o iogo classificou correctamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação. «omo = 80 70, a área da região limitada pelo eixo das abcissas e pela curva de Gauss, à direita de 80, é igual à área da região limitada pelo eixo das abcissas e pela curva, à esquerda de 60. Portanto, é igualmente provável que, escolhido, ao acaso, um aluno da escola, a sua altura seja inferior a,60 metros ou que a sua altura seja superior a,80 metros. ssim, o iogo classificou correctamente a afirmação I) como falsa. Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre,60 metros e,70 metros ou de ser superior a,80 metros corresponde à soma da área da região limitada pelo eixo das abcissas e pela curva de Gauss, à direita de 60 e à esquerda de 70, com a área da região limitada pelo eixo das abcissas e pela curva, à direita de 80, que é exactamente metade da área total limitada pelo eixo das abcissas e pela curva porque sendo P(60<X<70)=P(70<X<80) a soma das áreas equivale à área à direita de 70. ssim, esta probabilidade é exatamente 0,5, pelo que o iogo classificou correctamente a afirmação II) como falsa. Sendo 84 = 70 4 = , e uma vez que P(µ 2σ < X < µ 2σ) 0,9545, temos que P(X > µ 2σ) 0, = 0,02275, correspondente a 2,275% omo P(X > 84) 0,02275, apenas é possível σ 7. ssim, o iogo classificou corretamente a afirmação III) como verdadeira.» Professora: Rosa anelas 5 no Lectivo 20/202

6 Escola Secundária com 3º ciclo. inis 2º no de Matemática Tema I Probabilidades e ombinatória Identificar P( ) alcular Identificar P( Rh O) alcular TP nº 3 ritérios de correcção Identificar P( O Rh ) alcular Identificar P( Rh ) alcular Esquema álculo da probabilidade 3.. Professora: Rosa anelas 6 no Lectivo 20/202 P( ) = P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) = P( ) oncluir a demonstração P = 0, Identificar ( ) Identificar P( ) = 0, plicar a propriedade anterior ompletar na tabela os valores da variável em falta eterminar P(Y = ) = eterminar P(Y = 0) = eterminar P(Y = ) = 2 Nota: caso o aluno se limitar a fazer uma tabela de dupla entrada o exercício não pode valer mais de Fazer a composição de acordo com os critérios seguintes 5 composição deverá contemplar os três tópicos seguintes: presentação de uma razão cientificamente válida que justifique, inequivocamente, que a afirmação I) é falsa; presentação de uma razão cientificamente válida que justifique,

7 inequivocamente, que a afirmação II) é falsa; presentação de uma razão cientificamente válida que justifique, inequivocamente, que a afirmação III) é verdadeira Total 0 Professora: Rosa anelas 7 no Lectivo 20/202