Exercícios de exames e provas oficiais

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1 Exercícios de exames e provas oficiais 1. Uma seguradora faz aplicações financeiras em apenas três bancos. Cada um dos bancos tem igual probabilidade de ser escolhido. Para cada uma das aplicações financeiras, há apenas duas possibilidades: com lucro ou sem lucro. Admita que, num certo dia, a probabilidade de lucro de uma aplicação financeira é 0,72 se pertence ao banco JURO, 0,75 se pertence ao banco RENDE e 0,90 se pertence ao banco GANHA. Sabe-se que a duração de uma aplicação financeira é uma variável aleatória X com de valor médio igual a. Sejam a e b dois números inteiros positivos, tais que a b. Na figura abaixo, estão representados a curva de Gauss e os números a, e b. Determine Pa X b se Pa X 0,12 e P X b 0,17. MACS, exame 835, 2ª fase, Numa escola, o professor de Matemática B propôs aos alunos das turmas I e J, do curso de Artes Visuais, a elaboração de trabalhos subordinados ao tema Matemática e Arte. Considere as seguintes variáveis aleatórias: X: tempo gasto, em minutos, por uma aluno da turma I, na elaboração do respetivo trabalho Y: tempo gasto, em minutos, por uma aluno da turma J, na elaboração do respetivo trabalho As variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições normais, ambas de valor médio 220 minutos. Admita que: P X e P Y , 6827 Qual das variáveis aleatórias X e Y tem menor desvio padrão? Justifique a sua resposta ,9545 matemática B 11º ano, exame 735, 2ª fase, / 11

2 3. Em Semedo, os condutores utilizam a oficina ECOL para abastecerem os seus veículos, com ou sem lavagem. O depósito de Gás de Petróleo Liquefeito (GPL) da oficina tem 2000 litros de capacidade. A quantidade de GPL no depósito altera-se em função dos abastecimentos e da reposição de GPL. Em cada semana, a quantidade de GPL no depósito segue uma com valor médio igual a 800 litros e desvio padrão igual a 40 litros. Note que: Se X é uma variável aleatória normal de valor médio e desvio padrão, então: P X 68,27% P 2 X 2 95, 45% P 3 X 3 99, 73% Sempre que a quantidade de GPL no depósito for inferior a 42% da capacidade do depósito, é acionado um alarme. Escolhe-se, aleatoriamente, uma semana. Determine a probabilidade de o alarme, nessa semana, não ser acionado. Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais. MACS, exame 835, 1ª fase, O telefone é um dos meios de comunicação mais utilizados na atualidade. Entre outras funções, permite realizar chamadas e enviar mensagens escritas. Uma operadora de telecomunicações publicitou novos tarifários para telemóveis. Num dos tarifários dessa operadora, destinado a utilizadores individuais, a realização de uma chamada com uma duração inferior ou igual a 3 minutos tem um custo de 30 cêntimos, e a realização de uma chamada com uma duração superior a 3 minutos tem um custo de 1 euro. Admita que a duração, em segundos, de uma chamada efetuada por um cliente que aderiu a esse tarifário é uma variável aleatória que segue uma, de valor médio 140 segundos e desvio padrão 20 segundos. Escolhe-se, ao acaso, uma chamada efetuada por esse cliente. Determine a probabilidade de o custo dessa chamada ser igual a 1 euro. Apresente o resultado arredondado às milésimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, quatro casas decimais. matemática B 11º ano, exame 735, época especial, / 11

3 5. As classificações obtidas pelos alunos de uma escola num teste de Português seguem, aproximadamente, uma, de valor médio 11,5 valores. Vai ser escolhido, ao acaso, um desses testes. Considere os acontecimentos seguintes. I: «a classificação do teste é superior a 12 valores» J: «a classificação do teste é superior a 16,5 valores» K: «a classificação do teste é inferior a 9 valores» Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) P J PK PI (B) PK PI P J (C) PI PK P J (D) PK P J PI matemática A 12º ano, exame 635, época especial, Todos os dias de manhã, o André vai para a escola de automóvel, com o pai. A duração da viagem, em minutos, é uma variável normal com valor médio igual a 21 minutos e desvio padrão igual a 4 minutos. Note que: Se X é uma variável aleatória normal de valor médio e desvio padrão, então: P X 68,27% P 2 X 2 95, 45% P 3 X 3 99, 73% Escolhe-se, aleatoriamente, um dia Considera-se que o André chega atrasado à aula se chegar à escola depois das 8 h 30 min. Determine o valor aproximado para a probabilidade de o André chegar atrasado à aula se sair de casa às 8 h 01 min. Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais Antes de iniciar o percurso para a escola, o pai do André consulta o GPS instalado no seu automóvel, para saber se há engarrafamento nas estradas que costuma utilizar. Se houver engarrafamento, o pai do André utiliza um percurso alternativo, o que faz com que a viagem dure mais de 25 minutos. Determine o valor aproximado para a probabilidade de, em três dias, exatamente dois dias reunirem as condições em que o pai do André faz o percurso alternativo. Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, cinco casas decimais. MACS, exame 835, 2ª fase, / 11

4 7. Considere uma variável aleatória X com de valor médio 11 e desvio padrão. Sabe-se que é um número natural e que P X 23 0, Qual é o valor de? (A) 12 (B) 11 (C) 6 (D) 4 matemática A 12º ano, exame 635, 1ª fase, Francis Galton foi um matemático inglês que, entre outras investigações, se dedicou ao estudo da. Galton é o autor de uma experiência, considerada clássica em Estatística, que se realiza num dispositivo que designou por Quincunx. Esse dispositivo é uma placa plana com pregos fixos, todos iguais, uniformemente espaçados e alinhados. A primeira linha tem 1 prego, a segunda linha tem 2 pregos, e assim sucessivamente, até à enésima linha, que tem n pregos. Na base da placa, existem n 1 cavidades, numeradas de 1 a n 1, da esquerda para a direita, todas com a mesma largura e separadas umas das outras. A abaixo ilustra uma Quincunx com sete linhas. A experiência consiste no seguinte: deixam-se cair bolas do centro da parte superior da placa; cada uma dessas bolas desce sempre em contacto com a placa; em cada linha, a bola toca apenas num dos pregos dessa linha e desce, aleatoriamente, pelo espaço situado imediatamente à esquerda ou pelo espaço situado imediatamente à direita desse prego, tocando no prego da linha seguinte imediatamente abaixo desse espaço, e assim sucessivamente, acabando por se depositar numa das cavidades da base. Na experiência descrita, quando a quantidade de bolas e a quantidade de linhas da Quincunx são suficientemente elevadas, o número da cavidade em que uma bola acaba por se depositar pode ser modelado por uma. Considere que a experiência se vai realizar numa Quincunx com 151 linhas, deixando-se cair 5000 bolas do centro da parte superior da placa. Seja X a variável aleatória número da cavidade em que uma bola acaba por se depositar. 4 / 11

5 Admita que X pode ser modelada por uma N 76,5;6,1. Assim, por exemplo, P4,5 X 5,5 acabar por se depositar na cavidade 5. dá, aproximadamente, a probabilidade de uma bola Determine, de acordo com o modelo apresentado, quantas bolas, aproximadamente, acabarão por se depositar entre a cavidade 60, inclusive, e a cavidade 83, inclusive. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, quatro casas decimais. matemática B 11º ano, exame 735, 1ª fase, Uma variável aleatória X tem. Sabe-se que P X 40 é inferior a P X 30 Qual dos números seguintes pode ser o valor médio da variável aleatória X? (A) 32 (B) 35 (C) 38 (D) 41 matemática A 12º ano, teste intermédio, Admita que as classificações de exame dos alunos na disciplina de Matemática aplicada às Ciências sociais em 2011 seguem, aproximadamente, uma de valor médio igual a 10 valores e desvio padrão igual a 4,1 valores. Note que: Se X é uma variável aleatória normal de valor médio e desvio padrão, então: P X 68,27% P 2 X 2 95, 45% P 3 X 3 99, 73% Determine um valor aproximado para a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, ter uma classificação no exame da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais entre os 14,1 valores e os 18,2 valores. Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais. MACS, exame 835, 2ª fase, / 11

6 11. A população anual de centeio, milho e trigo de uma região do norte da Europa é de sacas. A transação desses produtos envolve os mercados interno e externo. Sabe-se que: 23% da produção é centeio; um quarto da produção de centeio é transacionada no mercado interno; sacas de milho são transacionadas no mercado externo; 50% das sacas de trigo produzidas são transacionadas no mercado interno. Considere a variável aleatória X, massa, em quilogramas, de uma saca de cereais escolhida ao acaso de entre as sacas de cereais que, por dia, são embaladas numa determinada fábrica. A variável aleatória X segue, aproximadamente, uma de valor médio igual a 1000 quilogramas e desvio padrão igual a 16 quilogramas. Note que: Se X é uma variável aleatória normal de valor médio e desvio padrão, então: P X 68,27% P 2 X 2 95, 45% P 3 X 3 99, 73% Escolhe-se, aleatoriamente, uma saca de cereais. Determine um valor aproximado para a probabilidade de a saca escolhida apresentar uma massa compreendida entre 968 quilogramas e 1016 quilogramas. Apresente o resultado na forma de percentagem, com arredondamento às centésimas. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, três casas decimais. MACS, exame 835, 1ª fase, Seja X uma variável aleatória com de valor médio e desvio padrão X ~ N,. Sabe-se que: 5 P X 4, 7 5 0,3 Qual dos números seguintes pode ser o valor de? (A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4 matemática A 12º ano, teste intermédio, / 11

7 13. Seja a um número real positivo e seja X uma variável aleatória com distribuição Normal N 0,1. Qual das igualdades seguintes é verdadeira? (A) P X a P X a 0 (B) P X a P X a (C) P X a P X a 1 (D) P X a P X a matemática A 12º ano, exame 635, 2ª fase, Para a segunda tarefa, o professor Alfredo considerou a variável aleatória X, altura, em centímetros, de um aluno da Escola Secundária Boavista, escolhido ao acaso. A variável aleatória X segue, aproximadamente, uma de valor médio 170 centímetros. Na abaixo, está representada a curva de Gauss referente à variável aleatória X. Posteriormente, o professor registou no quadro as afirmações que se seguem e pediu aos alunos que classificassem cada uma delas como verdadeira ou como falsa. I) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, é mais provável a sua altura ser inferior a 1,60 metros do que ser superior a 1,80 metros. II) Escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura estar compreendida entre 1,60 metros e 1,70 metros ou de ser superior a 1,80 metros é maior do que 0,5. III) Se, escolhendo, ao acaso, um aluno da escola, a probabilidade de a sua altura ser superior a 1,84 metros for cerca de 2,275%, então pode concluir-se que o valor, arredondado às unidades, do desvio padrão da variável aleatória X é 7 centímetros. O Diogo, um dos alunos da turma, classificou as afirmações I) e II) como falsas e a afirmação III) como verdadeira. Elabore uma pequena composição, na qual justifique que o Diogo classificou corretamente as afirmações I), II) e III), explicitando para cada caso uma razão que fundamente essa classificação. matemática B 11º ano, exame 735, 2ª fase, / 11

8 15. A Filipa pratica atletismo. O tempo X, em segundos, que a Filipa demora a correr os 400 metros é uma variável aleatória bem modelada por uma de valor médio 80. Sabe-se que P X , 4 Para um certo valor de a, tem-se P X a 0,1 Qual é o valor de a? (A) 78 (B) 82 (C) 84 (D) 88 matemática A 12º ano, teste intermédio, O Diogo é estudante de um curso de Gestão Hoteleira. Para uma das disciplinas do curso, realizou dois trabalhos. O primeiro trabalho consistiu na elaboração de um programa turístico. O segundo trabalho incluiu a análise de vários indicadores sociológicos relativos a alguns países da União Europeia. O Diogo recolheu, através do inquérito que realizou, informação sobre alguns indicadores socioeconómicos de turistas que visitaram Portugal. A partir da informação obtida, concluiu que, no grupo de turistas que responderam ao inquérito, o valor do vencimento mensal individual auferido, em euros, seguia, N 2400,300, de média 2400 e desvio aproximadamente, a, padrão 300. Admita que se seleciona, ao acaso, um elemento do referido grupo de turistas. Será mais provável que o valor do seu vencimento mensal individual seja superior a 2900 euros ou que seja inferior a 2000 euros? Justifique. Se recorrer à sua calculadora, apresente cada valor obtido arredondado às centésimas. matemática B 11º ano, exame 735, 1ª fase, Em temas como a natalidade e a hereditariedade, recorre-se, frequentemente, à aplicação de modelos de probabilidade, para estudar as dinâmicas e as características das populações. Um biólogo efetuou vários estudos sobre a natalidade, numa dada região de Portugal. Num dos estudos efetuados, apenas considerou a população constituída pelas 2675 mulheres, dessa região do país, que foram mães, pela primeira vez, no ano de De acordo com o estudo, o biólogo concluiu que a idade, X, em anos, no momento do parto, das mulheres, N 27,4, de valor médio dessa população, segue, aproximadamente, a 27 anos e de desvio padrão 4 anos. Estime o número de mulheres, dessa população, que, no momento em que foram mães, pela primeira vez, tinham idade inferior ou igual a 20 anos. Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, utilize duas casas decimais. Na sua resposta, deve incluir a apresentação das instruções que utilizar na calculadora, relativas à. matemática B 11º ano, teste intermédio, / 11

9 18. Numa determinada região, existe um parque natural no qual vivem diferentes espécies de animais, cada uma no seu habitat. Uma empresa pretende instalar uma unidade fabril nessa região, a sul do parque natural, e, para tal, aguarda decisão das entidades responsáveis. Para apoio dessa decisão, foi elaborado um estudo de impacto ambiental. De acordo com esse estudo, prevê-se que o nível de concentração diário de um poluente, em partes por milhão (p.p.m.), originado pelo escoamento de águas residuais, siga uma N 8,2, de média 8 e desvio padrão 2., O estudo refere que o nível de concentração desse poluente não deverá exceder o equilíbrio ecológico aceitável de 10 p.p.m. Determine a probabilidade de, num certo dia, o nível de concentração do poluente exceder esse valor. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades. matemática B 11º ano, exame 735, 1ª fase, Um variável aleatória X tem. Sabe-se que P X 50 é inferior a P X 40 Qual dos seguintes pode ser o valor médio da variáel aleatória X? (A) 42 (B) 45 (C) 48 (D) 51 matemática A 12º ano, teste intermédio, A curva de Gauss representada na figura está associada a ma variável aleatória X, com distribuição Normal. Tal como a figura sugere, a curva é simétrica relativamente à reta de equação x 2 Para uma certo valor de a, tem-se que P X a 15% Qual dos seguintes pode ser o valor de a? (A) 1 (B) 1,5 (C) 2 (D) 2,5 matemática A 12º ano, teste intermédio, / 11

10 21. Admita que a variável altura, em centímetros, dos rapazes de 13 anos de um certo país, é bem modelada por uma, de valor médio 140. Escolhido, ao acaso, um rapaz de 13 anos desse país, sabe-se que a probabilidade de a sua altura pertencer a um determinado intervalo [a, b] é igual a 60%. Quais dos seguintes podem ser os valores de a e de b? (A) a 140 e b 170 (B) a 120 e b 140 (C) a 130 e b 150 (D) a 150 e b 180 matemática A 12º ano, teste intermédio, Admita que a variável peso, em quilogramas, das raparigas de 15 anos, de uma certa escola, é bem modelada por uma, de valor médio 40. Sabe-se ainda que, nessa escola, 20% das raparigas de 15 anos pesam mais de 45 kg. Escolhida, ao acaso, uma rapariga de 15 anos dessa escola, qual é a probabilidade de o seu peso estar compreendido entre 35 kg e 40 kg? (A) 0,2 (B) 0,25 (C) 0,3 (D) 0,35 matemática A 12º ano, teste intermédio, Bom trabalho!! 10 / 11

11 Principais soluções 1. 0,45 2. Y tem menor desvio padrão P x840 15,87% , (A) ,28% % 7. (C) P 59, 5 X 83, 5 0, Número de bolas (A) P 14,1 X 18, 2 13, 59% P X ,86% 12. (D) 13. (B) (C) 16. P X , 09 P X , 05 É mais provável ganhar menos de 200 euros. P X 20 0, Número de mulheres é 107 P X 10 16% (A) 20. (D) 21. (C) 22. (C) 11 / 11