Prova-Modelo de Exame Nacional MACS

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1 06 Matemática Aplicada às Ciências Sociais Prova-Modelo de xame Nacional MACS N ọ. O, o Joaquim e a pretendem dividir uma herança equitativamente. A herança é constituída por uma quinta, um serviço de loiça Companhia das Índias e euros. Joaquim Quinta Serviço Tendo em conta as licitações secretas da tabela anterior, a herança deve ser atribuída de acordo com os seguintes passos: ọ Determina-se o valor global atribuído à herança por cada herdeiro e o valor da mesma que cada um considera justo receber: parte justa( do valor atribuído à herança pelo herdeiro, sendo n o número n de herdeiros. ) ọ Cada bem é atribuído à pessoa que mais o valoriza e considera-se que ela recebe o valor que atribui ao respetivo bem. 3 ọ Aplicando o procedimento anterior, se um herdeiro não receber qualquer bem, considera-se para os cálculos seguintes que o valor dos bens recebidos por esse herdeiro é zero euros. 4 ọ É feito um ajuste retirando à parte justa de cada um o valor do bem que foi distribuído. Os intervenientes que têm a pagar pelo bem recebido devem acrescentar a quantia determinada, para que se possa distribuir pelos restantes intervenientes o que cada um tem a receber. 5 ọ A quantia restante, resultante das compensações ou reembolsos da etapa anterior, deve ser distribuída igualmente por todos os herdeiros... De acordo com o processo acima descrito, determine, para cada herdeiro, o valor global da herança e o valor da parte justa... stabeleça a distribuição da herança e o valor da parte da herança que cabe a cada herdeiro..3. Conclua se algum dos herdeiros tem razões para reclamar da partilha efetuada.. A Câmara Municipal de uma cidade elaborou um estudo a dos seus munícipes com mais de 8 anos, com vista a indagar sobre o grau de preocupação com o ambiente. Fazem parte desse estudo o gráfico e a tabela seguintes: O diagrama de extremos e quartis seguinte mostra o grau de preocupação com as questões de ambiente dos munícipes que participaram no inquérito scala de 0 a 5 0 nada preocupado pouco preocupado preocupado 3 bastante preocupado 4 muito preocupado 5 muitíssimo preocupado

2 Provas-Modelo de xame Nacional MACS 07 A tabela seguinte mostra as razões apontadas para optar por equipamentos que utilizam energias renováveis: Razões/sexo Feminino Masculino Total Contribui para a preservação do ambiente Poupança energética Benefícios fiscais Mais económico Total Considerando o diagrama de extremos e quartis:.. Determine o número de inquiridos que demonstrou ter uma preocupação elevada com as questões ambientais... Indique, justificando, se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes: A Mais de 50% dos inquiridos demonstrou preocupação pelas questões ambientais. B A maioria dos inquiridos respondeu um grau de preocupação entre e 3... Tendo em conta os dados apresentados na tabela e escolhendo um munícipe ao acaso de entre os inquiridos, qual é a probabilidade de ser mulher e apontar como principal razão os benefícios fiscais? Apresente o resultado na forma de fração..3. Com base nos dados apresentados na tabela e com um nível de confiança de 95% para a proporção de munícipes da cidade que apontou como principal razão a contribuição para a preservação do ambiente:.3. Construa um intervalo de confiança. Se fizer arredondamentos nos cálculos intermédios utilize quatro casas decimais. Os valores dos extremos do intervalo, apresente-os arredondados às milésimas..3. Determine qual deve ser a dimensão da amostra para que a margem de erro seja igual a 3%. 3. Uma empresa de painéis solares efetuou um estudo sobre o número de instalações feitas, desde a abertura em janeiro de 009. Os dados encontram-se na seguinte tabela: Mês Número de instalações Janeiro (0) 0 Fevereiro () 3 Março () 9 Abril (3) 4 Maio (4) 8 Junho (5) 37 Julho (6) 48 Agosto (7) Represente na calculadora o diagrama de dispersão dos dados e verifique qual dos modelos, linear ou exponencial, melhor se adequa a esta situação. Justifique a resposta recorrendo ao coeficiente de correlação encontrado. Transcreva para a folha de prova um esboço, no mesmo referencial, do diagrama de dispersão e do gráfico do modelo escolhido. 3.. De acordo com a calculadora, indique a equação associada ao modelo escolhido Baseado no modelo encontrado, justifique a veracidade da seguinte afirmação: Com este ritmo, prevê-se que o número de instalações efetuadas de setembro a dezembro de 009 corresponda a cerca de 67% do total de instalações efetuadas nesse ano. Apresente os cálculos e justificações necessários.

3 Propostas de Resolução 3.4. Utilizando o algoritmo de Kruskal, ficam selecionadas as arestas a verde na figura, formando estas a árvore abrangente mínima. T,8 J 5, I 3,8 G Considerando μ = 8 e σ = 5 e aplicando o Teorema do Limite Central, a distribuição das médias amostrais é normal com média 8 e desvio-padrão A probabilidade pretendida é: P(X > 30) = 0,5 P(8 < X < 30). Utilizando a calculadora, obtém-se: 5,3 M,6 3,6 P,5 C 3. Os valores de IMT são os apresentados na tabela seguinte: Moradia A IMT (euros) , = 6095 B ,08 34 = C , = 759 A probabilidade pedida é 9%. Proposta de Resolução da Prova-Modelo de xame Nacional MACS N ọ.. Aplicando o ọ passo do algoritmo obtém-se a tabela seguinte: scolhendo ao acaso um visitante, a probabilidade de este ter tido entrada gratuita é 0,3 ou 30%. 4.. A tabela de distribuição de probabilidades para a variável aleatória X é: P(X = 0) = 0,7 0,7 = 0,49 P(X = ) = 0,3 0,7 + 0,7 0,3 = 0,4 P(X = ) = 0,3 0,3 = 0,09 X = x i 0 P (X = x i ) 0,49 0,4 0,09 Herdeiro Joaquim Valor global da herança (Quinta) (Serviço) (Dinheiro) = = (Quinta) (Serviço) (Dinheiro) = = (Quinta) (Serviço) (Dinheiro) = = Valor da parte justa : 3 = = 9 933, : 3 = = 5 333, : 3 = = 85 66, Considerando os valores da tabela seguinte: Moradia Marca da classe x i Frequência absoluta f i [0, [ 6 6 [, 4[ 8 56 [4, 36[ [36, 48[ 4 6 [48, 60[ 54 4 [60, 7[ 66 Total Utilizando a calculadora vem: x = 30 e Sx = 6,59 Para um nível de confiança de 99%, o intervalo de confiança para o valor médio de idades do visitante do museu é: ] 30,576 6,59 ; 30 +,576 6,59[ = ] 9,73; 30,7[ Para o, o valor da herança é e o valor da parte justa é 9 933,33. Para o Joaquim, o valor da herança é e o valor da parte justa é 5 333,33. Para a, o valor da herança é e o valor da parte justa é 85 66,67. Herdeiro (Quinta) Joaquim Bens 500 (Serviço) Ajuste na partilha 9 933, = = 3 066, ,33 0 = = 5 333, , = = 8 666,67 O é o herdeiro que valorizou mais a quinta. Como o valor da quinta ultrapassa a parte justa do, tem que repor 3 066,67 euros para serem distribuídos pelos restantes herdeiros.

4 4 Matemática Aplicada às Ciências Sociais Acrescentam-se ao dinheiro da herança o valor que o repôs: ,67 = ,67 Fazendo os pagamentos ao Joaquim e à ( , , ,67 = 5 066,67 ) sobram 5 066,67, que serão distribuídos igualmente pelos três herdeiros ,67 : 3 = 7 0, Para se determinar o valor de n resolve-se a equação anterior: O recebe ,55 : (Quinta) 3 066,67 (Dinheiro reposto) + 7 0, (Dinheiro) = ,55 O Joaquim recebe ,55 : 5 333,33 (Dinheiro) + 7 0, (Dinheiro) = = ,55 A recebe 0 88,89 : 500 (Serviço) ,67 (Dinheiro) + 7 0, (Dinheiro) = 0 88,89.3. Ao comparar o valor que cada herdeiro recebe com a parte que cada um considera justa, verifica-se que todos recebem mais, logo não têm motivos para reclamar da partilha efetuada.... Uma preocupação elevada corresponde ao nível 4 e 5, ou seja, 5% dos inquiridos, isto é, 35 munícipes... A verdadeira. A mediana situa-se já no nível 3, sendo que a partir do nível já é expressa a preocupação pelas questões ambientais. Logo, mais de 50% dos inquiridos demonstrou preocupação com as questões ambientais. B Falsa. O nível corresponde ao primeiro quartil e o nível 3 à mediana. Logo, os inquiridos que responderam entre e 3, inclusive, correspondem a 5% do total de inquiridos. Logo, não corresponde à maioria... Considerando que existem 0 mulheres que referem como principal razão os benefícios fiscais num total de 40 mulheres, resulta: 0 40 = 4.3. Seja ˆp a proporção de munícipes da amostra que apontou como principal razão a contribuição para a preservação do ambiente. ntão, ˆp = = 0, O intervalo de confiança para a proporção p pedida é: A dimensão da amostra deverá ter, no mínimo, 0 elementos Utilizando a calculadora gráfica, obtém-se o diagrama de dispersão: fetuando a regressão linear e exponencial e observando o valor do coeficiente de correlação, pode concluir- -se que a regressão exponencial é a que melhor se adequa a esta situação, uma vez que o valor de r está mais próximo de. Regressão linear Regressão exponencial O gráfico obtido ajusta-se à nuvem de pontos..3. Para um nível de confiança de 95% e uma margem de erro de 3% resulta: 3.. y = 0,4,3 x

5 Propostas de Resolução Utilizando a calculadora e o modelo exponencial encontrado, determina-se a previsão para os meses de setembro a dezembro: Setembro Mês (8) Número de instalações Outubro (9) Associando estes valores aos restantes meses do ano obtém-se um total anual de 746 instalações. Calcula-se então a percentagem referida na afirmação: Logo, a afirmação é verdadeira. Novembro (0) 00 67% 4. Constrói-se um diagrama de árvore, considerando os seguintes acontecimentos: : o indivíduo separa erradamente o lixo : o indivíduo separa corretamente o lixo Dezembro () A B C 0,7 0,3 0,35 0,65 0,0 0,90 scolhendo um inquirido ao acaso, a probabilidade de pertencer à categoria B, sabendo que separa o lixo corretamente é: Proposta de Resolução da Prova-Modelo de xame Nacional MACS N ọ 3... Contabilizam-se as primeiras preferências para cada jogador: Candidato Número de primeiras preferências O vencedor é o Cristiano Ronaldo, por maioria simples ou relativa, porque é o jogador com o maior número de votos... Constrói-se a tabela onde se regista a contagem de votos e a respetiva pontuação. Preferência (Pontos) ạ (4 pontos) ạ (3 pontos) 3 ạ ( pontos) 4 ạ ( pontos) TOTAL (pontos) Cristiano Ronaldo = = 30 Cristiano Ronaldo = = 89 Lionel Messi Lionel Messi Vencedor O Lionel Messi é o vencedor, pois foi o candidato que obteve maior pontuação..3. Verifica-se que os resultados obtidos pelos dois métodos são diferentes. Apesar de Messi nunca ser a ạ preferência dos cibernautas, pelo método de contagem de Borda, ele é o vencedor.... Considerando na calculadora os modelos associados a cada empresa, obtém-se: mpresa A: Vencimento mensal = 000, n, n =,, 3, 4, 5, 6 mpresa B: V n = 900,07 n, durante o ọ ano de trabalho Resulta: = = 860 Kaká 0 59 Kaká Fernando Torres = = Fernando Torres = + 04 = = 593 = 78 P(B ) = p(b ) p( ) 0,39 ( c.d.) = 50 0,3 + 0,65 0, ,9 Na empresa A o vencimento no 5 ọ mês será 573,5 e na empresa B 79,7.