MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Limites e Continuidade

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1 MATEMÁTICA A - 2o Ano Funções - Limites e Continuidade Eercícios de eames e testes intermédios. Considere as sucessões convergentes (a n ) e (b n ), de termos gerais a n = ( + ) 3n e b n = ln ( 2e n) n Sejam a e b os números reais tais que a = (a n ) e b = (b n ) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) a = 3e e b = 0 (B) a = e 3 e b = 0 (C) a = 3e e b = (D) a = e 3 e b = 2. Considere a função f, de domínio R +, definida por f() = ln Eame 206, Ép. especial Considere a sucessão de termo geral u n = n e n Qual é o valor de f(u n )? (A) (B) 0 (C) e (D) + Eame 206, 2 a Fase 3. O José e o António são estudantes de Economia. O José pediu emprestados 600 euros ao António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mensais sujeitas a um certo juro. Para encontrarem as condições de pagamento do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma fórmula que tinham estudado e estabeleceram um contrato. Nesse contrato, a prestação mensal p, em euros, que o José tem de pagar ao António é dada por p = 600 e n em que n é o número de meses em que o empréstimo será pago e é a taa de juro mensal. 600 Determine, recorrendo a métodos analíticos,, em função de n, e interprete o resultado no 0 e n conteto da situação descrita. 4. Seja a um número real diferente de 0 Qual é o valor de a ae a a 2 a 2? Eame 206, 2 a Fase (A) 4 (B) 2 (C) (D) 2 Eame 206, a Fase Página de

2 5. Para um certo número real k, é contínua em R a função f definida por 2 + e +k se 0 f() = 2 + ln( + ) se > 0 Qual é o valor de k? (A) 0 (B) (C) ln 2 (D) ln 3 Eame 205, 2 a Fase 6. Considere a função f, de domínio R +, definida por f() = + ln Considere a sucessão de termo geral u n = n 2 Qual é o valor de f(u n )? (A) 0 (B) (C) e (D) Eame 205, a fase 7. Considere a função f, de domínio R, definida por e se < 4 4 f() = ln(2e e 4 ) se 4 Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é contínua em = 4 8. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio R, definida por 3 e 2 se < 0 Determine k de modo que f() = ln k se = 0 ( ) 6 2 ln + se > 0 Eame 204, a Fase 0 f() = f(0), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 9. Para um certo número real k, positivo, seja f a função, de domínio ],[ definida por ln(k ) se 0 f() = 2e + ln se 0 < < Sabe-se que f é contínua. Qual é o valor de k? (A) ln 2 (B) e 2 (C) ln 3 (D) e 3 Eame 203, Ép. especial Teste Intermédio 2 o ano Página 2 de

3 e se < 0. Considere a função f, de domínio R, definida por f() = ln se Seja g uma outra função, de domínio R Sabe-se que a função f g é contínua no ponto Em qual das seguintes opções pode estar representada parte do gráfico da função g? (A) (B) O O (C) (D) O O Seja f a função, de domínio R, definida por f() = ln(3 ) 4 se 4 se > 4 Averigue se eiste 4 f(), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Teste Intermédio 2 o ano Teste Intermédio 2 o ano Considere a função f, de domínio R, definida por sen se < 0 3 f() = e k+ se = 0 com k R e 4 se > 0 Determine k, de modo que 0 +f() = f(0), recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 202, 2 a Fase Página 3 de

4 3. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. O, parte do gráfico de uma função g, de domínio [a, + [ com a < 3 Para esse valor de a, a função f, contínua em R, é definida por ( log 3 ) se < a 3 f() = g() se a a O 2 g Qual é o valor de a? (A) 28 3 (B) 25 3 (C) 9 3 (D) 8 3 Eame 202, a Fase 4. Seja f a função de domínio R definida por Averigue se a função f é contínua em = 2 e 2e 2 se < 2 2 f() = 3e + ln( ) se 2 Teste Intermédio 2 o ano Para um certo valor de α e para um certo valor de β, é contínua no ponto 0 a função g, definida por e 2 se < 0 g() = α se = 0 β Qual é esse valor de α e qual é esse valor de β? ln( + ) se > 0 (A) α = e β = 2 (B) α = 2 e β = 3 (C) α = e β = 3 (D) α = 2 e β = Teste Intermédio 2 o ano Considere a função f, de domínio R, definida por k + e se < f() = + ln se (k designa um número real) Determine k, sabendo que f é contínua em =, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 20, Prova especial Página 4 de

5 7. Considere a função f, de domínio R, definida por + + se e+ f() = a + 2 se = (a é um número real.) Determine a sabendo que f é contínua em =, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 20, Ép. especial e 2 e se > 0 8. Considere a função h, de domínio R, definida por h() = ln( 2 + ) se 0 Estude a continuidade da função h em = 0, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. 9. De uma função h, de domínio R, sabe-se que: h é uma função par; (h() 2) = 0 + Qual é o valor de h()? (A) + (B) 2 (C) 0 (D) 20. Seja a um número real diferente de zero. Qual é o valor de 0 e a a 2 + a 2? (A) a (B) 2a (C) 0 (D) Seja f a função, de domínio R + se 0 < < 2 2, definida por f() = e + + se 2 Usando eclusivamente métodos analíticos, averigúe se a função f é contínua em = 2 Eame 200, Ép. especial Eame 200, 2 a Fase Teste Intermédio 2 o ano Teste Intermédio 2 o ano se > Considere a função h, de domínio R, definida por h() = 2 se = 0 e 2 se < 0 Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, estude a continuidade de h no domínio R. Eame 2009, 2 a Fase Página 5 de

6 23. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento cuja concentração C(t) no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado, é dada por C(t) = 2te 0,3t (t 0) Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, calcule conteto da situação apresentada. C(t) e interprete esse valor no t Considere a função g, de domínio [ 2, + [, definida por Eame 2009, a Fase 2 + ln( + 2 ) se 2 < g() = 2 se = se > Verifique se a função g é contínua em =, sem recorrer à calculadora. 25. Para um certo valor de a, é contínua em R a função f definida por 2 2 se < a g() = se a Qual é o valor de a? (A) 3 (B) 2 (C) 2 (D) 3 Teste Intermédio 2 o ano Teste Intermédio 2 o ano Aqueceu-se água num recipiente, durante um determinado tempo, num local onde a temperatura ambiente é constante e igual a 25 o Celsius. Interrompeu-se o processo de aquecimento, e nesse instante, a água começou a arrefecer. O arrefecimento da água segue a Lei do arrefecimento de Newton, de acordo com o modelo matemático: T (t) = e 0,05t, em que T (t) representa a temperatura da água em graus Celsius, t minutos após o início do arrefecimento. Recorrendo eclusivamente a métodos analíticos, determine T (0) e T (t). + Interprete os valores obtidos, no conteto do problema. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use quatro casas decimais. Eame 2008, Ép. especial Página 6 de

7 27. Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva. Admita que, t dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado, aproimadamente, por: N(t) = e 0,0t, t 0 Resolva, usando métodos analíticos, o item seguinte. Determine N(0) e N(t). + Interprete os valores obtidos, no conteto do problema. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use aproimações às milésimas. Eame 2008, a Fase 28. Seja f a função de domínio [ 3,3] definida por e + se 3 < 0 f() = 2 + ln( + 3) se 0 3 A f Na figura ao lado está representado o gráfico da função f Tal como a figura sugere: A é o ponto do gráfico de f de ordenada máima a abcissa do ponto A é positiva Utilizando métodos eclusivamente analíticos, mostre que, tal como a figura sugere, f é contínua no ponto Teste Intermédio 2 o ano Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função f, real de variável real. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) 3 f() = 0 (B) 3 f() = (C) 3 f() = 2 (D) Não eite 3 f() Eame 2007, 2 a fase 30. Identifique o valor de (A) 0 (B) (C) + (D) Eame 2007, a fase Página 7 de

8 3. Considere a função f, de domínio R, definida por se < 0 f() = 2 se = 0 (ln designa logaritmo de base e) 3 2 ln( + ) 2 se > 0 Utilizando métodos eclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em = 0. Justifique a sua resposta. 32. Considere a função g, de domínio R, definida por e 2 se < 0 g() = 2 se = se > 0 Teste Intermédio 2 o ano Relativamente à continuidade da função g, no ponto de abcissa 0, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) É contínua (B) É contínua à esquerda e descontínua à direita (C) É contínua à direita e descontínua à esquerda (D) É descontínua à esquerda e à direita Eame 2006, Ép. especial 33. De duas funções, f e g, sabe-se que: o gráfico de f é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a 2; o gráfico de g é uma hipérbole. 2 Nas figuras ao lado estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole. 0 0 A reta de equação = é assintota do gráfico de g f() Indique o valor de + g() (A) 0 (B) 2 (C) + (D) Eame 2006, 2 a Fase Página 8 de

9 34. Com o objetivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num laboratório de Física, a seguinte eperiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de água, durante cinco minutos; passado este tempo, apagou-se o lume e deiou-se a água a arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da eperiência. Admita que: neste laboratório, a temperatura ambiente é constante; a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à temperatura ambiente; depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo, a igualar a temperatura ambiente. Em resultado da eperiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo t, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma, e uma só, das quatro funções a, b, c e d, definidas a seguir: 24 2t se 0 t 5 2(t + 2) se 0 t 5 a(t) = b(t) = 24 0e 0,04(t 5) se t > e 0,04(t 5) se t > 5 4(t + ) se 0 t 5 c(t) = e 0,04(t 5) se t > 5 2(t + 2) se 0 t 5 d(t) = e 0,04(t 5) se t > 5 Qual das quatro funções é a correta? Numa pequena composição, eplique porque não pode ser nenhuma das outras três, indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, eplicando a sua inadequação, relativamente à situação descrita. 35. Para um certo valor de k, é contínua em R a função f definida por k + sen se 0 f() = (ln designa logaritmo de base e) 3 + ln( + ) se > 0 Qual é o valor de k? (A) (B) 2 (C) 3 (D) 4 Teste Intermédio 2 o ano Eame 2005, Ép. especial 36. Admita que o número de elementos de uma população de aves, anos após o início de 970, é dado aproimadamente por P (t) = 5,2 0 7 e (N M)t, t 0, em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, por taa de natalidade e taa de mortalidade da população. Sabendo que N < M calcule P (t) e interprete o resultado obtido, no conteto do problema, sem t + recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos. Eame 2005, a Fase e se < Seja f a função definida, em R, por f() = se Sem recorrer à calculadora, justifique a seguinte afirmação: A função f é contínua em R. Eame 2004, Ép. especial Página 9 de

10 38. Para um certo valor de k, é contínua em R a função g definida por k + cos se 0 g() = (ln designa logaritmo de base e) ln( + ) se > 0 Qual é o valor de k? (A) (B) 0 (C) (D) 2 Eame 2004, a Fase 39. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função f, par e positiva, da qual a reta de equação = 0 é assíntota. Qual é o valor de + f()? (A) 0 (B) (C) + (D) O f ( 40. Considere a função f, de domínio R +, definida por f() = ln + ) Sem recorrer à calculadora, calcule (f() ln ) + Eame Eame 2004, a Fase 2003, Prova para militares log 4. Indique o valor de e (A) 0 (B) (C) (D) + Eame 2003, a fase - 2 a chamada 42. A Sofia preparou um pudim, para servir como sobremesa ao jantar. Depois de o ter confecionado, a Sofia colocou o pudim a arrefecer, na bancada da cozinha. Uma hora depois, colocou-o no frigorífico, para ficar bem frio. Admita que a temperatura do pudim, em graus centígrados, t minutos depois de ter sido colocado na bancada, é dada, para um certo valor de A, por ,05t, 0 t < 60 f(t) = 6 + A 2 0,05(t 60), t 60 Atendendo a que a função é contínua, mostre que A = 24, utilizando métodos eclusivamente analíticos. 43. Para um certo valor de k, é contínua em R a função f definida por 0 se 0 f() = (ln designa logaritmo de base e) ln( + k) se > 0 Qual é o valor de k? (A) (B) 0 (C) (D) 2 Eame 200, Prova para militares Eame 200, 2 a Fase Página 0 de

11 44. Seja h a função, de domínio R, definida por + e se < 0 h() = 2 se = se > 0 Relativamente à continuidade de h, no ponto de abcissa 0, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) É contínua (B) É contínua à esquerda e descontínua à direita (C) É contínua à direita e descontínua à esquerda (D) É descontínua à esquerda e à direita Eame 200, a fase - 2 a chamada 45. Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) (B) (C) (D) f() = f(4) e f() = f(4) + 4 f() = f(4) e f() f(4) + f() f(4) e f() = f(4) f() f(4) e f() f(4) Eame 2000, a fase - 2 a chamada 46. Na figura ao lado está representada parte dos gráficos de duas funções f e g, contínuas em R. O gráfico de f interseta o eio O no ponto de abcissa 3. indique o valor de g() 3 f() f g (A) 0 (B) (C) (D) Eame 999, a fase - 2 a chamada (prog. antigo) Página de