FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Ano Versão 4 Nome: Nº Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando, para um resultado, não é pedida uma aproimação, pretende-se sempre o valor eato Considere as funções reais de variável real, f, e h, definidas por: f h (5) Determine, por processos analíticos, as coordenadas dos pontos de interseção dos ráficos de e de h Comecemos por resolver a equação h para descobrir as abcissas dos pontos comuns Verificação: Para 0 temos 0 0 PV, portanto 0 é solução da equação Para 3 temos Assim os ráficos de e h intersetam-se apenas no ponto (5) Caracterize a função f, composta de f com f = f = f = D : D D f f Temos: D : 0 \ Portanto, f PF, loo -3 não é solução da equação 0 = : =, D : D f = : 0,h 0 0, 0 = : =, \ 0 Ficha de avaliação de Matemática A º Ano Páina /6 Versão 4

2 (0) 3 Mostre, analiticamente, que admite inversa e caracterize a respetiva função inversa a,b D, a b a b admite inversa sse é injetiva, isto é, Sejam a e b dois elementos de D,, se a b, vem: a b a b a b a b a b Portanto, é injetiva, loo admite inversa Epressão da inversa? y Resolvendo em ordem a y: y y Portanto, e D D' 0 y y Nota: A função y tem domínio mas não é injetiva Assim, a função só tem imaens não neativas Isto deve-se ao facto de y e y não serem equivalentes Na fiura seuinte está representado um retânulo [ABCD] de lados AB 3 e BC (0) Qual dos valores seuintes representa o produto escalar AB BD? (A) 9 (B) 4 (C) 9 (D) 4 Este eercício pode ser resolvido por vários processos Vejamos um dos mais simples: AB BD = AB BA AD Opção A = AB BA AB AD = AB AB 0 = (0) De dois vetores u e v, ambos de norma 3, sabe-se que uv 9 Qual das afirmações seuintes é verdadeira (A) u Ficha de avaliação de Matemática A º Ano Páina /6 Versão 4 AB = 3 = 9 v (B) u e v formam um ânulo obtuso (C) uv 0 (D) uv 0 Temos uv 9 u v cos u,v 9 33 cos u,v 9 cos u,v u,v 0º Como os vetores formam um ânulo de 0º e têm a mesma norma então são iuais Portanto, u v uv 0 (opção C)

3 3 Na fiura seuinte está representado, num referencial Oyz, um cone de revolução cujo vértice V tem coordenadas 0,, 6 e em que o centro da base é o ponto C 00,, (0) 3 Qual das condições seuintes representa a reta CV? (A) y z (B) z y 6 3 (C) 3y z (D) 0 y Vamos usar CV V C 0,, 6, 0, 0,, 6 Usando o ponto 00 para vetor diretor da reta y z z C,,, as equações cartesianas da reta são y Opção B 6 3 (0) 3 Qual dos planos seuintes contém a base do cone? (A) : y 6z 0 (B) : y 3 (C) : y 3z (D) : y 3z 0 Como o vetor normal do plano é perpendicular ao plano, podemos usar n CV,, 6 Assim, o plano que contém a base é da forma y 6z d 0 Como C 00,, é um ponto deste plano, sabemos que é solução da equação: Portanto, 0 60 d 0 4 d 0 d 4 Loo a equação do plano é y 6z 4 0 y 3z 0 y 3z Opção C (5) 33 Estude a posição relativa dos planos, e, definidos pelas equações da questão anterior, e identifique, caso eista, a interseção dos três planos Sejam a,, 6, b,, 3 e c,, 3 os vetores diretores de, e, respetivamente Temos a c e b c, portanto os três vetores são colineares e os três planos são paralelos Temos também d d d, o que sinifica que, isto é, os planos são coincidentes Assim, há dois planos coincidentes e o plano é estritamente paralelo aos outros dois, pelo que não eiste interseção dos três planos Outro processo: resolver o sistema, para concluir que não há interseção dos três planos A partir dos vetores normais concluir que os planos são paralelos e obter a conclusão anterior a partir de d d d (0) 34 Sabendo que a reta VA, de equação vetorial uma eratriz do cone, determine o volume do cone Temos Volume cone = 3 Área base altura,,y,z,, k,,,k, contém Área base r CA e altura = altura CV Para calcular r CA temos de determinar as coordenadas de A ponto de interseção da reta VA com o plano que contém a base P 3k, 4k, 6 5k,k Os pontos da reta VA são da forma: Determinemos k para o qual o ponto P pertence ao plano que contém a base: y 3z P ABC 3k 4k 36 5k 3k 4k 8 5k k k k a reta interseta o plano no ponto de coordenadas 3, 4, 6 5 3,, Portanto, para estas as coordenadas do ponto A CV ou CV CV Assim, CA ou CA CA Portanto, 6 3 3, sendo Volume cone unidades de volume Ficha de avaliação de Matemática A º Ano Páina 3/6 Versão 4

4 4 No referencial Oy da fiura ao lado encontra-se parte das representações ráficas de duas funções afim, f e, cujos ráficos são retas paralelas As duas retas cruzam o eio O nos pontos A e C, de abcissas e, respetivamente, e o eio Oy nos pontos D e B Considere ainda a função racional h, definida, no seu domínio, por h (0) 4 Sendo a o declive da reta f, justifique que [ABCD] é um losano e mostre que o perímetro desse losano, em função de a, é dada pela epressão Sendo [ABCD] um losano, de acordo com a fiura temos Perímetro ABCD 4 4 a AD No entanto, para justificar que [ABCD] é um losano precisamos de conhecer as coordenadas dos seus C 0, A 0, quatro vértices Já temos e A epressão de f é da forma Como A 0, f temos f a b, com a 0 e sendo b 0 a ordenada do ponto D a b b a Portanto, D 0, a f 0 0 Para descobrir a ordenada de B temos de usar a equação da reta, que é paralela a f Sabemos que f m mf Assim, m Portanto, a epressão de é da forma Como C 0, temos a a a c, sendo c 0 a ordenada do ponto B a c c a Portanto, B 0,a c 0 0 Como os vértices opostos de [ABCD] são simétricos em relação à oriem, tal políono é um losano Outro processo: mostrar (ou justificar) que as medidas dos quatro lados são iuais Assim, AD 0 0 a = a Perímetro ABCD 4AD 4 a cqm Loo, (0) 4 Qual dos ráficos seuintes poderá representar a função f? Ficha de avaliação de Matemática A º Ano Páina 4/6 Versão 4

5 f f A função quociente tem um zero para 0 f, quer dizer, em A Como se trata de uma função racional, tem também uma assíntota vertical para 0 Desta forma, só o ráfico B pode representar f (5) 43 Resolva, analiticamente, a condição 0, isto é, C f h f f f Temos f Nota: D h h h Construamos uma tabela de sinais para estudar o sinal de cada um dos fatores e o sinal do produto ss f 0 + f + ss 0 + Zeros de : mas Zeros do f : f Portanto, 0,, h Outro processo: estudar primeiro o sinal de h, e depois o sinal do quociente, através de outra tabela (0) 44 Determine a epressão alébrica da função f sabendo que f h Temos, f h 3 f h 3 f, dado que h Portanto, f h3 0 f 0 f 0 Como sabemos que é zero de f a, isto é, 0 Loo, f Dh b é a ordenada na oriem da reta f f temos a 0 a (0) 5 Responda apenas a uma das duas questões seuintes, à sua escolha 5A Uma autarquia pondera o abastecimento anual de eneria elétrica para iluminação da via pública Para tal, a rede nacional fornece dois tipos de eneria: eneria convencional, maioritariamente resultante da combustão de fuel, ou, em alternativa, eneria eólica Para uma cobertura razoável de iluminação, no período noturno, o consumo anual de eneria não poderá ser inferior a 40 MWh (Meawatt-hora) Por razões ambientais, o fornecimento de eneria de oriem convencional, nesse ano, não poderá ultrapassar os 30 MWh Cada MWh de eneria convencional custa 80 euros Por razões económicas, a autarquia pretende que a quantidade de eneria eólica, cujo preço por MWh é de 90 euros, não eceda a quantidade de eneria de oriem convencional Que quantidade de eneria de cada tipo deve ser usada de modo a minimizar os custos? Na sua resposta, percorra, sucessivamente, as seuintes etapas: Indique a função objetivo; Indique o sistema de restrições do problema; Represente raficamente a reião admissível referente ao sistema de restrições; Indique os valores das variáveis para os quais é mínima a função objetivo no conteto do problema Resolução: Ver Versão Ficha de avaliação de Matemática A º Ano Páina 5/6 Versão 4

6 5B Na fiura seuinte está representado um triânulo isósceles [ABC] [DC] é a altura do triânulo em relação à base [AB] e [EFGH] é um quadrado de lado 44 Seja f a função definida em por f Sendo IC, mostre que a epressão de f representa a área do triânulo [ABC] em função de, e, recorrendo à calculadora, determine a área mínima do triânulo e o valor de para o qual essa área é mínima Na sua resposta deve apresentar todos os elementos usados, nomeadamente: obter a epressão pretendida, com as devidas eplicações; reproduzir, num referencial adequado, o ráfico da função ou os ráficos visualizados; coordenadas dos pontos cuja determinação for necessária à resolução do problema A área do triânulo é dada por AB DC A altura do triânulo é DC IC Como os triânulos [ABC] e [GFC] são semelhantes, temos 44 Assim, f Para descobrir o valor de para o qual a área do triânulo é mínima, depois de introduzir a epressão de f, e procurar uma boa janela de visualização, obtemos o ráfico reproduzido ao lado No conteto do problema só tem interesse o domínio qual o valor mínimo da área é 8 quando, no AB AB BOM TRABALHO! Prof José Tinoco Ficha de avaliação de Matemática A º Ano Páina 6/6 Versão 4