Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. AN DE ESCLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste rupo, selecione a opção correta. Escreva, na olha de respostas, o número do item e a letra que identiica a opção escolhida. 1. Num reerencial ortonormado z, a condição: deine: (A) um ponto (B) um semento de reta (C) um círculo (D) o conjunto vazio z z = 0 = 3. De uma unção, de domínio R e bijetiva, sabe-se que ( 5) = 7 e A solução da equação ( ) 6 = 4 é: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) = Considere a unção, de domínio R, deinida por ( ) = a + b, em que a e b desinam números reais. Em qual das iuras seuintes pode estar representada parte do ráico da unção, sabendo que a < 0 b > 0? (A) (B) (C) (D) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina

3 4. Se o domínio de uma unção é [ a, b ], o domínio da unção deinida por 1 ( ) = + é: (A) [ a, b ] (B) [ a + 1, b + 1] a b (C), a b (D) + 1, Considere as unções e, de domínio R, deinidas por: ( ) = ( 3) = + k, + k R Em qual das seuintes opções pode estar representado o conjunto dos zeros da unção? (A) { 4, } (B) { 5, 0} (C) { 6, 0} (D) { 5,, 0} Grupo II Na resposta aos itens deste rupo apresente todos os cálculos que tiver de eetuar e todas as justiicações necessárias. 1. Fiado um reerencial ortonormado do espaço, os pontos A( 1, 6, ), B ( 3, 0, 5) e ( 3, 3, 3) C são três dos vértices E F G de uma das aces do cubo [ ABCDEFGH ], representado na iura (o vértice H não é visível) Mostre que o ponto D tem coordenadas ( 5, 3, 0). A B D C 1.. Mostre que a oriem do reerencial pertence ao plano ACG Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta AC com o plano. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 3

4 . Considere as unções e deinidas por ( ) = e ( ) Determine o domínio e o contradomínio da unção. =... Sabendo que é bijetiva, caracterize 1, unção inversa de..3. Na iura estão parcialmente representados os ráicos das unções e. C B Sabe-se que: A é o ponto do ráico de cuja ordenada é o mínimo absoluto desta unção; B é o ponto de interseção dos ráicos de e de ; C é o ponto do ráico de com abcissa neativa e ordenada iual à do ponto B. Determine a medida da área do triânulo [ABC]. 3. Considere a unção deinida por ( ) = e a unção representada A raicamente na iura seuinte Indique o domínio de cada uma das unções. 3.. Determine o conjunto-solução da equação ( ) ( ) 3.3. Determine o domínio da unção 3.4. Determine o domínio da unção = 0. + e calcule ( )( 1) +. e calcule ( )( 1) e ( )( 5). Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 4

5 4. Considere a unção, de domínio R, deinida por ( ) = a ( h) + k, em que a, h e k desinam números reais Determine a, h e k sabendo que 0 a, ( 0) =, contradomínio da unção é o intervalo [ 1, + [. 4.. Demonstre por contrarrecíproco que: 0 ( 0 0) R : < a k < = 1 e que o FIM CTAÇÕES Grupo I Total Grupo II Total Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 5

6 1. A condição Proposta de resolução Grupo I + + z 9 deine uma esera de centro na oriem e raio 3. A condição z = 0 = 3 deine uma reta paralela ao eio que passa no ponto ( 0,3,0 ). Assim, a interseção da reta com a esera é o ponto de coordenadas ( 0,3,0 ). Resposta: (A). ( ) 6 = 4 ( ) = 10 ( ) = 5 = 5 = 7 = 9 Resposta: (D) 3. ráico da unção é o transormado do ráico da unção deinida por ( ) = pela translação de vetor ( a, b ). Como a < 0 b > 0, o ráico pedido apresenta-se na opção (D). a b Resposta: (D) 4. Se D = [ a, b] e ( ) 1 ( ) = +, então: a b a b D = { R : a b} = R : =, ráico da unção é a imaem do ráico da unção por uma contração horizontal de coeiciente 1. Resposta: (C) 5. ( ) = e ( 3) = + k ( )( ) ( ) ( ) = 0 = 0 = 0 = 0 = k = = = k Um dos zeros de é 0. Loo, ica ecluída a opção (A). No eio, os pontos correspondentes aos zeros de são imaem um do outro numa releão de eio = 3. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 6

7 Loo: se 5 = 3 é um zero de, então 3 + = 1 também é zero de (icam ecluídas as opções (B) e (D)); se 6 = 3 3 é um zero de, então = 0 também é zero de (opção (C)). Resposta: (C) 1. A( 1, 6, ), B ( 3, 0, 5) e C ( 3, 3, 3) Grupo II 1.1 D = A + AD = A + BC BC = C B = 3, 3, 3 3, 0, 5 = 3 3, 3 0, 3 5 = 6, 3, D = A + BC = + = ( 1, 6, ) ( 6, 3, ) ( 5, 3, 0) Loo, D tem coordenadas ( 5, 3, 0). 1.. ACG é o plano mediador de [ BD ]. Loo, a oriem do reerencial pertence ao E A B F D G C plano ACG se e somente se B = D. ( 0, 0, 0), B ( 3, 0, 5) e D ( 5, 3, 0) B = = = 34 D = = = 34 Como B 1.3. A( 1, 6, ) e C ( 3, 3, 3) = D, a oriem do reerencial pertence ao plano ACG. AC = C A = = ( 3, 3, 3) ( 1, 6, ) ( 4, 9,1) : AC,, z = 1, 6, + k 4, 9,1, k R = 1 4k AC : = k, k R z = + k 1 4 k, k, + k, k R. Todo o ponto da reta AC é da orma Portanto, o ponto da reta AC que pertence ao plano : z = 0 obtém-se para o valor de k R tal que: + k = 0 k = Para k = : ( 1 4 k, k, + k ) = ( 1+ 8, 6 8, ) = ( 9, 4, 0) A reta AC interseta o plano no ponto de coordenadas ( 9, 4, 0). Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 7

8 . ( ) = e ( ) = 3.1. D = { R : 3 0 } = { R : 3} = [ 3, + [ + contradomínio da unção deinida em R 0 por = é [ 0, + [. Como o ráico da unção é o transormado do ráico da unção deinida por u = pela translação de vetor ( 3, 1 ), o contradomínio da unção é [ 1, + [. D Loo, = [ 1, + [ D... D = [ 3, + [ e D = [ 1, + [ ( ) = = 3 = 1 Como 3 0 e 0 porque 1, temos: 3 = ( ) 3 = ( ) = : [ 1, + [ [ 3, + [ com 1 ( ) ( ) = ráico da unção deinida por ( ) 1 3 = é o transormado do ráico da unção deinida por = pela translação de vetor ( 1, 3). Portanto, o ponto A tem ordenada 3. Coordenadas do ponto B : ( ) = ( ) = = 3 3 Se 3, 1 = 3 = = = = = 0 3 = 4 = 7 3 = 4 = 7 Cálculo auiliar = 0 11± = 11± 111 = 11± 9 11± 3 = = = 4 = 7 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 8

9 Veriicação: = 4 : 4 3 = = 1 (Falso) = 7 : 7 3 = 7 5 = (Verdadeiro) ( ) = ( ) = 7 ( 7) = = + 1 = 3 B ( 7, 3) Coordenadas do ponto C : ( ) = 3 < 0 3 = 3 < 0 1 = 6 < 0 1 = 6 1 = 6 < 0 = 7 = 5 < 0 = 5 C ( 5, 3) BC = 7 ( 5) = 1 C 3 B Medida da altura do triânulo relativa ao vértice A: h = ordenada de B ordenada de A = 3 3 = A 7 Medida da área do triânulo [ ABC] BC h 1 6 = = = ( ) = 3.1. D { R : 0} D = = = { R : } ], ] = = [ 0, 6] 3.. ( ) ( ) S = {, 3, 5} = 0 = 0 = 0 0 = = = 3 = 5 = 0 = = 3 = D D D ], ] [ 0, 6] [ 0, ] + = = = ( )( 1) ( 1) ( 1) + = + = = 1 + ( ) = 1 = Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 9

10 { } 3.4. : D = D D = R = [ 0, 3] [ 5, 6] dado que: D D ( ) 1 = 1 = = = 4 = ( ) 4. ( ) = a ( h) + k 5 = 5 = = = 0 = Se o contradomínio da unção é o intervalo [ 1, + [ temos a > 0 e k = 1. ( ) = a ( h) a h 1 1 a ( h) 0 a> 0 = + = = 0 = a ( 0 h) + 1 = ah = 1 h h 0 h = = = 1 ah = 1 a = 1 a = 4 1 a =, h = e k = A contrarrecíproca de : ( ) < 0 ( a 0 k < 0) R é: ( a k ) R: ( ) 0 < 0 < 0 o que é equivalente a: ( a k ) R ( ) > 0 0, 0 Sabemos que a soma e o produto de números reais não neativos são um número real não neativo. R, h 0, podemos concluir que, se a > 0 k 0, Assim, como R, a h + k 0, ou seja, se a 0 k 0 >, então ( ) Portanto, icou provado que ( a k ) R ( ) concluir a contrarrecíproca: R, 0. > 0 0, 0. Loo, podemos : 0 ( 0 0) R < a k < Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Páina 10