Proposta de teste de avaliação

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Jerónimo de Vieira
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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 11. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina 1

2 Grupo I Na resposta aos itens deste rupo, selecione a opção correta. Escreva, na olha de respostas, o número do item e a letra que identiicam a opção escolhida Seja β um ânulo eneralizado tal que β = π, 5 cujo lado oriem coincide com o semieio 5 positivo O. Então, o ânulo α = π β pertence ao: (A) 1.º quadrante (B).º quadrante (C).º quadrante (D) 4.º quadrante. Seja λ um ânulo do.º quadrante. k Sabe-se que sin λ =, pelo que: (A) k, 1 1, (B) k, (C) k, \ { 1} D) k, \ { 1, 1 }. Considere as unções e deinidas por: Então: (A) ( ) D =R e = cos D =R e ( ) = tan + 5 (B) D = [,1] e D = R \ { : = π + kπ, } (C) D =R e D = R \ { : = kπ, } (D) D = [,1] e D = R \ { : = π + kπ, } 4. De uma unção sabe-se que: é par; é periódica de período 4π ; uma epressão eral dos zeros de é = π + kπ,. A unção ( ) é deinida por: (A) ( ) 1 sin = + (C) ( ) cos = = + (B) ( ) sin π π 4 cos = + + (D) ( ) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina

3 5. Considere o triânulo [ ABC ] da iura ao lado. Sabe-se que: AC = 1 cm e BC = 14 cm CBA ˆ = 60º Qual é o valor eato de tan α? (A) 1 (B) (C) (D) Grupo II Na resposta aos itens deste rupo apresente todos os cálculos que tiver de eetuar e todas as justiicações necessárias. 1. Determine o valor eato de: cos arcsin sin arctan 1 ( ( )). Considere a unção tal que: 1 ( ) = cos π + sin ( 7π ) + tan ( π).1. Mostre que ( ) = sin + tan. π, calcule o valor eato de. 5.. Sabendo que sin = ] π ; 0[. Considere o quadrado [ ABCD ] representado na iura ao lado. Sabe-se que: AE = AB BED ˆ = 90º + α Mostre que 5sinα + cosα = Resolva as seuintes equações trionométricas cos + = 0, em R tan = tan π 8, emr =, em ] π, π[ sin sin Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina

4 5. Considere que, no Porto, a temperatura, T, do ar, num certo dia de verão é dada pela epressão seuinte: ( ) 8 π T ( ) = sin, 0, 4 1 [ [ tal que o ânulo é epresso em radianos e a temperatura em raus Celsius Qual oi a temperatura do ar às 6 horas? 5.. Qual oi a temperatura máima atinida? 5.. A que horas é que a temperatura naquele dia oi de 18 o C? 5.4. Recorrendo à calculadora ráica determine durante quanto tempo a temperatura do ar oi superior a o C. Na sua resposta apresente o ráico (ou ráicos e os pontos considerados relevantes para a sua resposta). 6. Considere as unções e deinidas em R tais que: π ( ) sin = + 4 e ( ) = cos, com π 0 < < Determine, analiticamente, a medida da área do triânulo [ OIM ], sendo I o ponto de interseção de e e M o zero de. Apresente o resultado arredondado às centésimas. Sempre que nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos, conserve no mínimo quatro casas decimais. FIM Cotações Grupo I Grupo II Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina 4

5 Propostas de resolução Grupo I π α = π π 5 π = π + π+10π = +π+1π = π + 7π Resposta: (A) 1.ºQ k 1 < sin λ < 0 1 < < 0 < k < 0 < 0 > < > 0 < 0 k k k k k ( k + 1 > 0 é uma condição universal em R ) Cálculo auiliar: k = 0 k = k = k, Resposta: (B). D =R D =R D =? D =? 1 cos cos + 5 cos =, 1 sin tan = cos cos k 0 + kπ, k Z π + kπ, D [ ] D = R \{ : = π + kπ, } Resposta: (D) 4. As unções deinidas em (A) e (B) não são pares. A unção deinida em (D) não tem zeros. Na opção (C): π ( ) = 0 cos = 0 cos = 0 = + kπ, = π + kπ, + p = R ( ) ( ), + p p cos = cos cos + = cos p Como o período da unção cos é π, então = π p = 4π. ( ) = cos = cos = ( ), R Assim, a unção é par. Resposta: (C) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina 5

6 5. sin 60º sinα sinα = = sinα 14 = sinα = sinα = = 1+ = tan α sin α tan α tan α tan α = tan α = = tanα = ± Como α é um ânulo audo, então Resposta: (B) tanα =. Grupo II = 1. cos arcsin sin ( arctan ( 1) ) π π 1 π = cos sin sin = = = 1 = = = = 4 1 = + + = π = cos + sin ( π ) + tan ( π) = = sin + sin + tan =.1. ( ) cos π sin ( 7π ) tan ( π) ( ) = sin + sin + tan = = sin + tan.. π sin = cos = cos = º Q 9 sin + = 1 sin + = sin = 1 sin = sin = ± Como.º Q, então sin =. 5 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina 6

7 sin 4 tan = = cos ( ) = + = + = + = ( ) ( 5). Seja a medida do comprimento do lado do quadrado DE = + DE = + DE = DE = 9 9 sinα = 1 = cosα = = sinα + cosα = + = = DE > π 4cos + = 0 cos = = ± + kπ, 6 tan = tan π tan = tan π = π + kπ, = = sin sin sin sin 0 ( ) sin = ± + sin = ± sin = sin = Equação impossível porque 1 sin 1 1 π 7 sin = = + kπ = π + kπ, 6 6 π 7 k = 0 = = π 6 6 π 11 k = 1 = + k = π 6 6 π k = 1 = π = π = π π = π π S = π, T ( ) ( ) 6 8 π π 1 6 = sin = sin = = 18 4 = 14 º C 1 6 Resposta: A temperatura do ar é de 14 ºC. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina 7

8 5.. ( ) 8 π 1 sin 1 1 ( ) 8 π 8 8sin 8 1 ( 8) π sin 6 1 D = [ 10, 6] Resposta: A temperatura máima atinida oi de 6 ºC. 5.. T ( ) = ( ) 8 π + 8sin = 18 1 ( ) ( ) 8 π 8 π sin = 0 = kπ, 1 1 ( ) 8 π = 1kπ, = k, k = 0 = 8 k = 1 = 0 k = = k = 1 = 4 Resposta: Às 8 h e às 0 h Janela de visualização: y = 8 h Resposta: Durante 8 horas. π π π = sin + = cos sin + = sin ( ) ( ) π π π π 5 sin sin + = + sin + = sin π ( ) ( ) π 5 π 5 + = π + kπ + = π π + kπ π π 5π π + = + kπ = π + kπ, 6 4 ( 1) 6 4 ( ) ( ) ( 6) ( ) 5 7 π = π + kπ = + kπ, π 4kπ = π+ kπ = +, π 4 = π + kπ = + kπ, π k = 0 = π = k = 1 = π + π = π ( 6) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina 8

9 A abcissa do ponto I é 7 π π π 4 π sin = + = sin π = 0, 7771 (4 c.d.) ( 4) ( 15) I 7 π ; 0, π π π π kπ ( ) = 0 sin + = 0 + = kπ, = + kπ, = +, π π π k = 1 = + = 8 8 ( 1) ( 4) 7 π Assim: I π ; 0,7771 ; M, e O ( 0, 0). π 0,7771 A = 8 0, 46 Resposta: A medida da área do triânulo aproimadamente iual a 0,46 u.a. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11. o ano Páina 9

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