Proposta de Exame Nacional

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1 Proosta de Eame Nacional Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: Caderno : 75 minutos (+ 5 minutos de tolerância) Caderno : 75 minutos (+ 5 minutos de tolerância) Data:

2 Caderno (é ermitido o uso de calculadora) Na resosta aos itens de escolha múltila, selecione a oção correta. Escreva, na folha de resostas, o número do item e a letra que identificam a oção escolhida.. Na figura está reresentada arte do gráfico de uma função f, olinomial do.º grau. Sabe-se que f ( ) é um etremo relativo de f. y Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) f ( ) < f ( ) < f ( ) < f ( ) (B) f ( ) < f ( ) < f ( ) < f ( ) (C) f ( ) < f ( ) < f ( ) < f ( ) f O (D) f ( ) < f ( ) < f ( ) < f ( ). Um baralho de cartas comleto é constituído or 5 cartas, reartidas or quatro naies (esadas, coas, ouros e aus). Em cada naie há cartas: três figuras (rei, dama e valete) e mais 0 cartas... Utilizando aenas as figuras (quatro reis, quatro damas e quatro valetes), quantas sequências diferentes de cartas se odem formar de modo que os reis fiquem seguidos e os valetes também fiquem seguidos?.. Retiram-se, ao acaso, sucessivamente e sem reosição, oito cartas de um baralho comleto. Qual é a robabilidade de, entre as oito cartas retiradas, haver quatro e só quatro cartas de esadas e uma e uma só figura? Aresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas. Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página

3 . Considere um tabuleiro quadrado dividido em casas quadradas iguais. Selecionam-se, ao acaso, três das nove casas do tabuleiro. Nas casas escolhidas é colocada uma cruz formada elas diagonais dessa casa. Qual é a robabilidade de os centros das casas escolhidas ficarem alinhados? (A) (B) 4 (C) 8 (D) 4. Um dos termos do desenvolvimento de Qual é esse termo?, com > 0, não deende da variável. (A) 790 (B) 790 (C) 760 (D) Um medicamento foi administrado a uma essoa às 0 horas da manhã de determinado dia. A concentração desse medicamento, em miligramas or litro de sangue, t horas aós ter sido administrado, é dada, ara determinado valor de k, or: 0,4 ( ) 0( e kt t e ) C t, t > 0 Resolva as duas alíneas seguintes or rocessos eclusivamente analíticos. A calculadora ode ser usada em eventuais cálculos numéricos. 0,4t 5.. Sabendo que e 0,C ( t) C ( t), mostre que k 0,. 5.. Determine o valor de t ara o qual é máima a concentração do medicamento no sangue da essoa e indique a que horas se verificou a concentração máima (aresente o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades). 6. De uma sucessão ( u n ) sabe-se que u u000 Qual é o valor de? u 00 a, com 0 a e n N, un+ un. 5 (A) 5 (B) 5 (C) 5a (D) a 5 Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página

4 7. Considere a função f, definida em + R or ( ) ( ln ) f Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à eistência de ontos de infleão. 7.. Na figura estão reresentadas, num referencial ortonormado Oy, arte do gráfico da função f e uma reta r aralela ao eio O. Sabe-se que: y a reta r interseta o gráfico de f nos ontos f A e B ; a abcissa do onto A ertence ao intervalo ] 0, [ ; A B r a distância de A a B é igual a. Seja a a abcissa do onto A. O Determine o valor de a recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resosta deve: equacionar o roblema; reroduzir num referencial o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s); indicar o valor de a, com arredondamento às centésimas. Fim do Caderno COTAÇÕES (Caderno ) Item Cotação (em ontos) Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página 4

5 Caderno (não é ermitido o uso de calculadora) Na resosta aos itens de escolha múltila, selecione a oção correta. Escreva, na folha de resostas, o número do item e a letra que identificam a oção escolhida. 8. Na figura, está reresentado, no lano comleo, um olígono regular inscrito numa circunferência de raio e centro na origem do referencial. Um dos vértices do olígono ertence ao eio imaginário. Im z O Re z Qual das seguintes equações tem or soluções os números comleos cujos afios são os vértices do olígono? (A) 6 z + i 0 (B) 6 z i 0 (C) 7 z + i 0 (D) 7 z i 0 9. Em C, conjunto dos números comleos, considere z cosα + isinα e w z i z. 9.. Mostre que, qualquer que seja o número inteiro k : k k z + z cos( kα ) 9.. Determine os valores de α ertencentes ao intervalo ] π,π], ara os quais o número comleo w é um número imaginário uro. Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página 5

6 0. Considere a função de domínio f, de domínio IR { } \ 0, definida or ( ) e f. Seja ( u n ) a sucessão definida or Qual é o valor de lim ( ) f u? n u n ln n n. (A) 0 (B) (C) + (D). Na figura estão reresentados, num referencial ortonormado Oy, a circunferência de centro na origem e raio, assim como a reta r de equação. y B S P r R Sabe-se que: os ontos A, B e C têm coordenadas (, 0 ), ( 0,) e O α Q A ( 0, ), resetivamente; o onto P se desloca sobre o arco AB, nunca C coincidindo com A nem com B; a reta OP interseta a reta r no onto R; a reta CP interseta o eio O no onto Q; o onto S ertence ao eio Oy e é tal que o segmento [SP] é aralelo ao eio O. Para cada osição do onto P, seja α a amlitude, em radianos, do ângulo AOP e seja A( α ) a medida da área do triângulo [OQR]. π α 0,.. Mostre que A( α ) tanα cosα. sin ( + α ) Sugestão: Recorra ao Teorema de Tales ou à semelhança de triângulos ara erimir o comrimento de [OQ] em função de α... Determine lim A( α ) π α e interrete o resultado obtido no conteto do roblema. Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página 6

7 . Considere a função f definida, ara determinado a IR, or ( ) 8 f a +. Sabendo que o onto P (, ) ertence ao gráfico da função inversa de f, qual é o valor de a? (A) log 5 (B) log 5 (C) (D). Sabe-se que, num referencial ortonormado Oyz: o onto P ertence ao eio Oz e tem cota a ; o onto Q ertence ao eio Oy e tem ordenada a + ; o vetor u tem coordenadas (, 6, ) ; os vetores u e PQ são erendiculares. Qual é o valor de a? (A) (B) (C) (D) 4. Fiado um referencial cartesiano do esaço, Oyz, considere o cubo [ABCDEFGH]. Sabe-se que os vértices A e E têm coordenadas ( 0, 0, ) e E H F G (,, ), resetivamente. 4.. Determine as coordenadas do onto de interseção da reta EO com o lano ABC. A D B C 4.. Designando or α a amlitude do ângulo AEO, determine ( ) cos α. Fim da rova COTAÇÕES (Caderno ) Item Cotação (em ontos) TOTAL (Caderno + Caderno ) 00 Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página 7

8 Proosta de resolução Caderno. f ( ) < f ( ) < 0 ; f ( ) > 0 ; ( ) (A) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) V V F f < 0 f ( ) 0 ; ( ) < < < (F) (B) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) < < < (F) F (C) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) < < < (V) V V V (D) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Resosta: (C) < < < (F) V F f > ! 4! 6! Número de casos ossíveis: 5 C 8 Número de casos favoráveis: Número de maneiras de ordenar as quatro damas mais os dois blocos de cartas formados elos reis e elos valetes Número de maneiras de ordenar os quatro valetes Número de maneiras de ordenar os quatro reis Há duas maneiras de comor o conjunto de oito cartas de forma a ter quatro e só quatro cartas de esadas e uma e uma só figura: Esadas não Figuras de Outras Outras figuras (0) esadas () figuras (9) cartas (0) Total Portanto, o número de casos favoráveis é dado or: C C C C + C C C C C 9 C + C C Probabilidade edida: C 9 C + C C C8 0,0. Número de casos ossíveis: C Número de casos favoráveis: ( linhas, colunas e diagonais) 8 P 84 Resosta: (A) Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página 8

9 4. C ( ) ( ) ( ) ( ) T C C + ( ) C P C ( ) + + C ( ) ( ) T 8 C Resosta: (B) 8 + 0, ( ) 0( e kt t C t e ) C kt 0,4t kt 0,4t ( t) 0( e e ) 0 ( e ) ( e ) kt 0,4t ( k ) 0 e + 0, 4e 0,4t 0,4t k t 0,4t e 0,C ( t) e 0, 0( e e ) 0,4 0,4 e t ( e k t e t ) 0,4 0,4 e t e k t + e t 0,4t 4e ( ) ( ) 0,4t e 0, e k t C t C t ( k ) 0,4t kt kt 0,4t 4e e 0 e + 0,4 e 0,4t kt kt 0,4t 4e e 0k e + 4e kt kt e 0k e 0k k 0, 0,t 0,4t 5.. C ( t) 0( e e ) 0,t 0,4t ( t) 0( 0,e 0,4e ) C + 0,t 0,4t ( t) ( ) C 0 0 0, e + 0, 4e 0 0,t 0,4t 0,e + 0,4e 0 0,t 0,4t 0,e 0,4e 0,t 0,4t e e Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página 9

10 e e 0,t 0,t+ 0,4t e 0,4t e 0,t ln t ln t 5ln 5 0,t t 0 5ln + C + C ր ց Má. A concentração é máima ara t 5ln h. 5ln h,466 h h 8 min 0 h + h 8 min h 8 min A concentração do medicamento no sangue foi máima às h 8 min. 6. Se n IN, u u 5, então ( ) n+ n n u é uma rogressão geométrica de razão r. 5 Logo, u u r n n, ou seja, un a 5 n u u a a a 5 5 Resosta: (A) ( ) ( ln ) f f ( ) ( ln ) + ( ln )( ln ) + ln ( ln ) + + ln ( ln ) ( ln ) f ( ) ln ln ln f ( ) 0 0 > 0 ln 0 > 0 ln > 0 e Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página 0

11 0 e + f + 0 f P.I. O gráfico de f tem a concavidade voltada ara cima em ], e [ e tem a concavidade voltada ara baio em ] e, + [. O onto do gráfico de abcissa e é um onto de infleão. 7.. Se a é a abcissa do onto A e AB, então a abcissa de B é a +. Como A e B têm a mesma ordenada, temos que a é o valor do intervalo ] 0, [ tal que ( ) f ( a + ), ou seja, a ] 0,[ é a solução da equação f ( ) f ( ) f a Resolvemos esta equação recorrendo à calculadora gráfica. +. Na figura está reresentada arte dos gráficos das funções: y ( ln ) ( ) y f + g A B f ( ) ( ) ( ln( + ) ) y g f A abcissa do onto de interseção dos dois gráficos é é o valor de a retendido. Assim, a 0, 4. O a 0,9 a + Caderno 8. O olígono é um hetágono. Logo, a equação tem sete soluções ((C) ou (D)). O número i é uma das soluções ( ) ( ) ( ) i i i i i i ( i) 7 + i i+ i i ; i não é solução da equação ( i) 7 i i i 0 ; i é solução da equação Resosta: (D) 7 z i 0 7 z + i 0 Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página

12 z cosα + isinα e z k iα k iα k iα k + z ( e ) + ( e ) i i( ) e kα e kα + ( kα ) ( kα ) ( kα ) ( kα ) cos + isin + cos + isin ( kα ) ( kα ) ( kα ) ( kα ) cos + isin + cos isin ( kα ) cos( kα ) cos + cos( kα ) 9.. w z i z z ( i) Seja u i. u + Se θ Arg u, tan θ. Como θ 4.º quadrante, vem π i 6 Portanto, u e. ( ) π θ. 6 π π i i α iα 6 6 w z i z z i e e e O número comleo w é um número imaginário uro se e só se: π π π π π α + kπ, k Z α + + kπ, k Z α + kπ, k Z 6 6 Logo, os valores de α ertencentes ao intervalo ] π,π] ara os quais o número comleo w é um número imaginário uro são π (ara k ) e π (ara k 0 ). 0. ( 0 ) ln n ln n ln n limun lim ln lim lim lim 0 n n n n n ( ) ( ) lim f u lim f lim e 0 orque Resosta: (A) n 0 0 lim e lim e SP cosα OS sinα CS + sinα AR tanα Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página

13 Como SP é aralela a OQ, temos, elo Teorema de Tales: SP CS cosα + sinα cosα OQ OQ CO OQ + sinα y r base altura Área[ ] OQ AR OQR B S P R A ( α ) cos tan cos α tanα α α + sinα + sin tanα cosα sin ( + α ) ( α ) O α Q A.. A( α ) tanα cosα, sin ( + α ) π α 0, C sinα ( 0) cosα tanα cosα lim A( α ) lim lim cosα + sin + sin ( α ) π π π α α α sinα αlim ( + sin α ) ( + ) 4 π π Quando α ( α ), a medida da base [ OQ] do triângulo tende ara 0 e a medida da altura [ AR ] tende ara +. Levantada a indeterminação, verifica-se que a medida da área tende ara 4 quando π α.. Se o onto P (, ) ertence ao gráfico da função inversa de f, então ( ) f ( ). 8 a 8 + ( ) f a + Resosta: (D) a a 6 a a a f, elo que. P( 0, 0, a ) ; Q( 0, a +, 0) PQ Q P a + a u (, 6, ) ( 0,, ) u PQ 0, 6, 0, a +, a 0 ( ) ( ) ( ) 6 a + + a 0 6a 6 + a 0 a 6 a Resosta (C) Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página

14 A( 0, 0, ) e E (,, ) EA A E ( 0, 0, ) (,, ) (,, ) EA,, O lano ABC assa em ( 0, 0, ) A e o vetor ( ) é normal a esse lano. Uma equação do lano ABC é: ( ) ( ) ( ) 0 y 0 z + 0 y z 6 0 EO O E 0, 0, 0,,,, Equação vetorial da reta EO: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), y, z 0, 0, 0 + k,,, k R Dado que (, y, z) ( 0, 0, 0) k (,, ) (, y, z) ( k, k, k ) +, qualquer onto da reta EO tem coordenadas da forma ( k, k, k ), com k R. O onto I, de interseção da reta EO com o lano ABC, é o onto da reta cujas coordenadas satisfazem a equação y z 6 0. Então: ( ) k k k 6 0 k + 4k k 6 0 k 6 k k, ( k, k, k ) (, 4, ), elo que o onto I tem coordenadas (, 4, ) Se. 4.. O ângulo AEO é o ângulo formado elos vetores EA e EO. EA (,, ) ; EO (,, ) EA EO,,,, + 4 ( ) ( ) EA ( ) ( ) 4 4 EO ( ) 4 6 ( EA EO) cos, EA EO EA EO cosα cosα 6 6 ( ) ( ) cos α cos α + α cosα cosα sinα sinα cos α sin α ( α ) cos α cos cos α 6 6 Proosta de Eame Final Nacional Matemática A,. o ano Página 4