Proposta de Resolução

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1 Novo Espaço Matemática A.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 05] Proposta de Resolução GRUPO I. O número máimo de códigos é dado por: A 0 = 0 = 6000 Resposta: (C. ( ( ( Resposta: (C ( sin( sin lim ln sin ln = lim ln = ln lim = ln = ln Inclinação da reta t: = Declive da reta t: tg = f ( f ( a lim = f ( a = a a 4. z = a, a R e z = bi, b R z z = bi a = a bi; a R e b R abi a b = = = i. A imagem geométrica é um ponto do z z a bi a b a b a b a b.º quadrante, atendendo a que < 0 < 0. a b a b 5. Se a reta Então, = é assíntota vertical do gráfico de f, então f ( lim = 0. Daqui resulta que a = 0. f lim = (ou. Se a reta y = é assíntota vertical do gráfico de f quando, então ( f ( ( =, ou seja, ( f ( lim 0 Assim, a b =. Resposta: (B lim =. Daqui resulta que b =.

2 Novo Espaço Matemática A.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 05] 6. ( g f ( = f ( g ( f ( A abcissa do ponto do gráfico de f que tem ordenada coincide com a abcissa do ponto da reta r que tem ordenada. Assim, tem-se: = 5 =, f = 5. A(, sendo f ( = e = ln( g ( ln( g = = 6 g ( = = 0 5 ( g f ( = f ( g ( f ( = 5 = 5 7. u n n n = =. Progressão geométrica de razão e primeiro termo igual a. S n = = n n n ( f ( S n lim = limlog = log 0 = 8. z A = i = e z B = i = Um número compleo z tem imagem geométrica pertencente à coroa circular se e só se z. i = = Resposta: (D

3 Novo Espaço Matemática A.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 05] GRUPO II.. Quaisquer três pontos dos seis pontos dados são não colineares, podendo ser os vértices de um triângulo. Assim, o número total de triângulos é dado por: 6 C = 0 Para a reta r intersetar o triângulo este deve ter vértices em ambos os semiplanos definidos pela reta r. O número de triângulos nestas condições é dado por: C 4 4 C C C = 6 4 = 6 Assim, a probabilidade pedida é dada por: 6 = Resposta: Se a reta r não interseta o triângulo, então os três vértices fazem parte do conjunto {B, C, D, E}. Número de casos possíveis: 4 C = 4 Se B é um dos vértices, então os outros dois são escolhidos entre os elementos do conjunto {C, D, E}. Número de casos favoráveis: C = Probabilidade pedida: 4 Resposta: 4 4± ± 48i. z 4z 6 = 0 z = z = 4 ± 4 i z = z = i z = i Se z Se z z = i 4z = i 4 i = 4 8 i8 8 i= 6 z = i 4z = i 4 i = 48 i 8 8 i= 6 Daqui resulta que: z 4z = 6

4 Novo Espaço Matemática A.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 05].. f ( = sin cos f = sin = e sin f ( = 0 cos = 0 [ 0, ] \ = 0 0 _ f ( f 0 A função f é estritamente crescente em: 0, ;, A função f é estritamente decrescente em:, Etremos: mínimos: 0 e ( é mínimo absoluto máimos: 0 e ( é máimo absoluto 0.. lim ( f 0 0 sin 0 = lim 0 ( ( sin ( sin = = ( sin ( sin sin sin lim lim lim sin = lim lim = = 0 0 sin lim 0 f = 4.. f ( ( lim = lim sin cos = = f = e e e 0 lim f ( = lim = lim = lim ( 0 Fazendo = y Se, então y 0. 4

5 Novo Espaço Matemática A.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 05] Assim, e y e ( y 0 y lim = lim = = Atendendo a que lim f ( lim =. = f = f conclui-se que a função f é contínua para g = sin cos, 4.. ( sin cos sin.cos sin( sin( sin( sin( g = = = = ( sin( 6cos( g = = g ( = 0, cos( = 0, = k, k Z, k =, k Z, = = = _ 0 0 _ 0 f ( f Coordenadas dos pontos de infleão:, 4 ; 5, 4 e 7, 4 OB OV 5.. cosα = OB = 6cosα ; sinα = OV = 6sinα e OA = cosα 6 6 Se α =, então OB = 6 = ; OV = 6 = e OA = = 6 4 OB OA Volume da pirâmide é dado por: OV = ( 6 = 8 6 Volume da pirâmide [OABV] é igual a 8. 5

6 Novo Espaço Matemática A.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 05] 5.. Equação do plano ABV: 4y z = 8 Coordenadas do ponto B (interseção do plano ABV com Oy B 0, y,0 0 4y 0 = 8 y = B ( 0,,0 Coordenadas do ponto V (interseção do plano ABV com Oz V 0,0, z 0 0 z = 8 z = 4 V ( 0,0,4 Neste caso, tem-se: OB = ; OV = 4 e BV = 6 4 Assim, cosα = = e sinα = =. 6 6 Como cos( α = cos α sin α, tem-se: 8 7 ( α = α α = = cos cos sin Resposta: cos( 7 α = Volume da pirâmide é dado por: OB OA 6cosα cosα OV = 6sinα = 6 cosα ( sinαcosα = 6cosαsin( α f α = 6cosαsin α. Assim, 6.. As coordenadas do ponto P, em função de θ, são ( cos θ,sinθ. O ponto A tem abcissa igual à de P e pertence ao gráfico da função f. Então, as coordenadas de A são ( cos θ, f ( cosθ. ( cos ln e ( cos lne ln ( cos ln f θ = θ = θ = cos θ e e e Se θ = tem-se: cos,ln =,ln =,ln cos e Coordenadas do ponto A:,ln 6.. O ponto B tem a mesma ordenada de P e pertence ao gráfico de f. B, sinθ e f ( = sinθ θ sinθ sinθ ln = sin ln = sin = e = e θ sinθ Coordenadas do ponto B, em função de θ : B( e,sinθ PB sinθ = e cosθ 6

7 Novo Espaço Matemática A.º ano Proposta de Teste de Avaliação [maio 05] A distância de P a B é dada, em função de θ, por: sinθ d( θ = e cosθ e θ 0,. Recorrendo à calculadora gráfica tem-se:. Epressão analítica da função d:. Definição da janela de visualização: : 0 e y: [ 0 0]. Representação gráfica, assinalando-se o ponto de abcissa,4 (arredondada às décimas ao qual corresponde a distância mínima de P a B (aproimadamente,,545. 7