Proposta de resolução do exame nacional de Matemática A (PROVA 635) 2ªFASE 27 Julho Grupo I

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1 Proposta de resolução do exame nacional de Matemática A (PROVA 65) ªFASE 7 Julho 0 Grupo I. Pela Regra de Laplace temos que a probabilidade do acontecimento é dada por : P = 0 0 C C 4 4 Opção correcta: versão : B versão : C. Atendendo aos dados fornecidos temos que: P ( X = 0) + P ( X = ) = a = a = Então: b + b + b = b = b = Opção correcta: versão : D versão : A. A distribuição, por ser normal, é simétrica em relação à sua média que é zero. Então P ( X a) = P( X a) Opção correcta: versão : B versão : C 4. Como f é polinomial de grau 4 e com dois pontos de inflexão então a função segunda derivada é polinomial de grau dois com dois zeros distintos. Atendendo aos sentidos f '' x = x 9 de concavidade apresentados temos que Opção correcta: versão : D versão : A

2 5. sen x sen x lim = lim = = x x + + x 0 x 0 lim ln x 0 g ( ) 0 = ln k k x = ln k Como a função é contínua então temos que ln k = k = e k = e Opção correcta: versão : A versão : B 6. OE = sen θ EA = cos θ OA = Perímetro = ( sen θ + cosθ + ) Opção correcta: versão :C versão : D 7. z = + = π 5 tg θ = = θ º quadrante, pelo que θ = π = π 6 6 Opção correcta: versão : B versão : B 8. Por construção geométrica temos que: z + z4 = z A multiplicação de z por i produz uma rotação de 90 o,no sentido positivo, do afixo de z conduzindo-nos a z 5. Opção correcta: versão : C versão : B

3 Grupo II... 4n+ ( ) ( ) ( ) + i i b + i i b + i i b w = = = = 5 i cis π 4 i i i b + i ( i + b)( + i) i + b i + i bi + b + ( b) i = = = = = i + i i + b b = + i Para w ser um número real, tem que se verificar: b = 0 b = 0 b =.. Seja z = a + bi com a, b IR Se z =, então a + b = a + b = Pelo que: ( ) + z + z = + a + bi + a bi = + a + b + a + b = = = + + = + = a a b a a b a b 4 c.q.d.... Consideremos os seguintes acontecimentos: A: ser licenciado B: ter idade inferior a 40 anos A partir dos dados fornecidos construímos a tabela seguinte em que se registam as diferentes probabilidades dos acontecimentos respectivos:

4 B B Total A 0,48 0, 0,6 A 0,04 0,6 0,4 Total 0,5 0,48 Pretendemos determinar: P ( A B) ( ) P ( B) P A B 0, = = = 0, A resposta correcta é a II, ou seja, 6 C + C. 9 9 Ao escolher ao acaso funcionários, de entre um grupo de 5, ter pelo menos funcionários que estejam a favor do novo horário, quer dizer que estes poderão ser ou. O número de hipóteses de serem os a favor é dado por 9 C uma vez que se escolhem entre os 9 funcionários a favor. O número de hipóteses de serem apenas a favor entre os escolhidos é dado por 9 6 C uma vez que se escolhem entre os 9 a favor e dos 6 funcionários que não são a favor. Assim, o número total de hipóteses corresponde a 6 C + C. 9 9 Por outro lado, o acontecimento contrário ao solicitado seria ter 0 ou funcionário a favor do novo horário, de entre os escolhidos ao acaso no grupo de 5. O número total de maneiras diferentes de escolher os funcionários entre os 5 é dado por 5 C O número total de maneiras diferentes de entre os funcionários escolhidos nenhum ser a favor é dado por e 6 C e o número total de maneiras diferentes de entre os funcionários escolhidos apenas ser a favor é dado por 6 9 C Então, alterando a expressão I para 5 C 6 C 9 6 C obtém-se também uma resposta correcta para o problema.

5 ... N A 0 0 = e = 0, 0 N A 0 7 = 44, e e 0, 7 N A N = 9 A O aumento foi de 9 nenúfares N ( t) N ( t) e e + 7 e + 50 e 0,4t 0,t A = B = = ,t 0,4t 0,4t 0,t 0,t 0,t 6000 e 050 e 0 = e 050 e 0 = 0 Seja y = e 0,t. Substituindo na expressão anterior, temos que: 6000y 050y 0 = 0 y = y = 5 40 Como y 0 para qualquer elemento do domínio temos y = 5 Ou seja e 0,t ln 5 = t = 8,05 5 0, No decorrer do 9º dia o número de nenúfares no lago A iguala o do lago B, pelo que só depois de passados 8 dias completos se dá a igualdade nos dois lagos. 4. Atendendo aos dados do problema temos que o valor do declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto B tem que ser 8. f ' x = e x sin x 4x Seja x a abcissa de B. Então f ' x = 8 e x sin x 4x = 8 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, numa janela adequada, representamos a curva correspondente a f '( x ) e a recta de equação y = 8.

6 Determinando a intersecção obtemos para a abcissa de B o valor de 0,9, aproximadamente Em cada um dos ramos em que se encontra definida, a função é contínua por se tratar de quocientes de funções contínuas no respectivo domínio. A existir assimptota vertical, esta terá de equação x =. Estudemos os limites necessários: x e x e x x ( x) = = ( ) lim f lim lim x x x + Fazendo y = x temos que quando x vem y 0, pelo que de () vem: x y e e lim = x lim = y + x x 0 ( x) + x x x + = = lim f lim ln ln ( x + ) Os limites estudados são reais, pelo que o gráfico de f não admite assimptotas verticais.

7 5.. A função f é contínua em [ 0, [ por se tratar do quociente de funções contínuas pelo que também o é no intervalo 0,. Estamos então em condições de aplicar o Teorema de Bolzano. f e 0 =,9 f e =, 5.. Ora, como f valor x 0, Para x >, vem: f ' ( x) 0 < < f, então, pelo referido teorema, existe pelo menos um tal que f ( x ) = c.q.d. ' ln ( x + ) ( x + x + ) x ln + = + ln ( x ) = = + ln x + ln x + Ora, para ( ) ( x ) x >, temos que ln ( x + ) > 0, e, por outro lado, que: f '( x) > 0, x ], + [ Então f é estritamente crescente neste intervalo. ln x + > 0 pelo 6. = + = '' cos sin ( cos sin ) an cos( nx) bn sin ( nx) an cos( nx) bn sin ( nx) 0 c.q.d. f ' x ansin nx bncos nx f '' x an cos nx bn sin nx f x + n f x = an nx bn nx + n a nx + b nx = = + + = FIM Esta proposta de resolução também pode ser consultada em