Prova Escrita de Matemática A

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1 Exame Nacional do Ensino Secundário Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Prova 65/Éoca Esecial Páginas Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 0 minutos. 0 Prova 65 Página /

2 Utilize aenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou reta, exceto nas resostas que imliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras reresentações, que odem ser, rimeiramente, elaborados a láis, sendo, a seguir, assados a tinta. Utilize a régua, o comasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica semre que for necessário. Não é ermitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que retende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos gruos e dos itens, bem como as resectivas resostas. As resostas ilegíveis ou que não ossam ser identificadas são classificadas com zero ontos. Para cada item, aresente aenas uma resosta. Se escrever mais do que uma resosta a um mesmo item, aenas é classificada a resosta aresentada em rimeiro lugar. Para resonder aos itens de escolha múltila, escreva, na folha de resostas: o número do item; a letra que identifica a única oção escolhida. Não aresente cálculos, nem justificações. A rova inclui, na ágina, um Formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da rova. Prova 65 Página /

3 Formulário Comrimento de um arco de circunferência a r (a amlitude, em radianos, do ângulo ao centro; r raio ) Áreas de figuras lanas Losango: Diagonal maior# Diagonal menor Traézio: Base maior + Base menor # Altura Polígono regular: Semierímetro Sector circular: ar Aótema (a amlitude, em radia nos, do ângulo ao centro; r raio) Áreas de suerfícies Área lateral de um cone: r g (r raio da base; g geratriz) Área de uma suerfície esférica: 4 r (r raio) Volumes Pirâmide: # Área da base # Altura Cone: # Área da base # Altura Esfera: 4 r r- raio _ i Trigonometria sen (a + b) = sena. cosb + senb. cosa cos (a + b) = cosa. cosb - sena. senb tg a + tg b tg (a + b) = tg a tg b Comlexos n _ ρcisθi = ρ n cis _ nθi $ ρcisθ = ρ cisc θ+ k π m, k! # 0,, n - n n n f Probabilidades µ = x + f + x n σ = _ x µ i + f + _ x µ i _ cosuil = ul tg u l = ul _ i cosu n n n Se X én_ µσ, i, então: P_ µ σ X µ + σi. 0, 687 P_ µ σ X µ + σi. 0, 9545 P_ µ σ X µ + σi. 0, 997 Regras de derivação _ u+ vil = ul + vl $ $ $ $ $ _ u vil = ul v + u vl u l = ul v u vl a v k v au u au _ il = l ln a _ a! R ln u l = ul _ i u n $ $ l $ $ un _ il = n u ul _ n! Ri _ senuil = u cos u eu _ il = ul $ e u $ $ sen u log u au l = l _ i u ln a Limites notáveis limc + m = e n lim sen x = x " 0 x lim x " 0 lim ln _ x + i = x " 0 x lim ln x = 0 x " + x lim x " + $ ex = x e x x n _ a! R = + _! Ri + + # -i # -i Prova 65 Página /

4 GRUP I Na resosta a cada um dos itens deste gruo, seleccione a única oção correcta. Escreva, na folha de resostas: o número do item; a letra que identifica a única oção escolhida. Não aresente cálculos, nem justificações.. Num determinado clube desortivo raticam-se aenas dois desortos, futebol e andebol. Dos jovens inscritos nesse clube, 8 jogam aenas futebol, jogam aenas andebol e jogam futebol e andebol. Escolhe-se, ao acaso, um dos jovens inscritos. Qual é a robabilidade de o jovem escolhido jogar andebol sabendo que joga futebol? (A) (B) 0 (C) 0 7 (D) 7. Lança-se cinco vezes consecutivas um dado equilibrado, com as faces numeradas de a 6, e regista-se, em cada lançamento, o número inscrito na face voltada ara cima. Considere os acontecimentos seguintes. I: «sair face ímar em exactamente dois dos cinco lançamentos»; J: «sair face 4 em exactamente dois dos cinco lançamentos». Qual dos acontecimentos seguintes é mais rovável? (A) acontecimento I (B) acontecimento I (C) acontecimento J (D) acontecimento J. Seja W o esaço de resultados associado a uma certa exeriência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W) incomatíveis. Sabe-se que PA ^ + Bh = 0,eque P^Ah = 0,5 Qual é o valor de P^Bh? (A) 0, (B) 0 (C) 0,5 (D) 0,4 Prova 65 Página 4/

5 4. Considere uma função f, de domínio \{}, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que: lim f_ xi= x " + lim f _ x i = x " lim `f_ xi + xj = 0 x " Em qual das oções seguintes as equações definem duas assimtotas do gráfico de f? (A) x = e y = (B) x = e y = x (C) y = x e y = (D) y = x e y = 5. Para um certo número real a, seja a função f, de domínio, definida or f_ xi= ax Na Figura, está reresentada, num referencial o. n. xy, arte do gráfico da função f ll, segunda derivada da função f y x f'' Figura Qual dos valores seguintes ode ser o valor de a? (A) 0 (B) (C) (D) - Prova 65 Página 5/

6 6. Na Figura, estão reresentados, num referencial o. n. xy, uma circunferência e o triângulo [AB ] Sabe-se que: é a origem do referencial; a circunferência tem centro no onto e raio A é o onto de coordenadas (-, 0) B ertence à circunferência e tem ordenada negativa; o ângulo AB tem amlitude igual a radianos. y A x B Figura Qual é a área do triângulo [AB ]? (A) (B) (C) 4 4 (D) 7. Sejam k e dois números reais e sejam z= ^ k + h + i e z= _ 4i + ^ 5kh i dois números comlexos. Quais são os valores de k e de ara os quais z é igual ao conjugado de z? (A) k = e = (B) k = e = (C) k = 0 e = (D) k = e = Prova 65 Página 6/

7 8. Considere, em, um número comlexo w No lano comlexo, a imagem geométrica de w é o vértice A do octógono [ABCDEFGH ], reresentado na Figura. s vértices desse olígono são as imagens geométricas das raízes de índice 8 de um certo número comlexo. Im(z) C D B E A F H G Re(z) Figura Qual dos números comlexos seguintes tem como imagem geométrica o vértice C do octógono [ABCDEFGH ]? (A) -w (B) w + (C) i w (D) i w Prova 65 Página 7/

8 GRUP II Na resosta a cada um dos itens deste gruo, aresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, ara um resultado, não é edida a aroximação, aresente semre o valor exacto.. Seja o conjunto dos números comlexos. Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora... Considere z = + i + i4 n + 04, n! N Sabe-se que z é uma das raízes cúbicas de um certo comlexo z Determine z Aresente o resultado na forma algébrica... Considere z = cis e o 4 No lano comlexo, a região definida ela condição z -z # / # arg( z) # / z $ z -z está reresentada geometricamente numa das oções I, II, III e IV, aresentadas na ágina seguinte. (Considere como arg(z) a determinação que ertence ao intervalo A0, A) Sabe-se que, em cada uma das oções: é a origem do referencial; C é a imagem geométrica de z C é o raio da circunferência. Aenas uma das oções está correcta. Prova 65 Página 8/

9 I II Im(z) Im(z) C C Re(z) Re(z) III IV Im(z) Im(z) C C Re(z) Re(z) Elabore uma comosição na qual: indique a oção correcta; aresente as razões que o levam a rejeitar as restantes oções. Aresente três razões, uma or cada oção rejeitada.. Seja W o esaço de resultados associado a uma certa exeriência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos tais que A W e B W, com P^Bh! 0 Mostre que PA _ + B Bi= PA _ Bi Prova 65 Página 9/

10 . Considere as cartas do naie de coas: ás, três figuras (rei, dama e valete) e mais nove cartas (do ao 0)... As cartas vão ser disostas, ao acaso, sobre uma mesa, lado a lado, de modo a formarem uma sequência de cartas. Determine o número de sequências diferentes que é ossível construir, de modo que as três figuras fiquem juntas... Determine a robabilidade de, ao retirar, ao acaso, 4 das cartas do naie de coas, obter elo menos duas figuras. Aresente o resultado na forma de fracção irredutível. 4. Para um certo valor real de k, admita que a quantidade de combustível, em litros, existente no deósito de uma certa máquina agrícola, t minutos aós ter começado a funcionar, é dada aroximadamente or Q_ ti = + log _ 8 kt i, com t 700, A! Considere que essa máquina agrícola funcionou durante 0 minutos e que, nesse eríodo de temo, consumiu litros de combustível. Determine o valor de k recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. 5. Considere a função f, de domínio, definida or Z x + ] + se x! f x ex = + _ i [ ] \ a+ se x = (a é um número real.) Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. 5.. Determine a sabendo que f é contínua em x = Seja f l a rimeira derivada de f Mostre, sem resolver a equação, que fl_ xi = tem, elo menos, uma solução em A 07, 4 Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, semre que roceder a arredondamentos, use duas casas decimais. Prova 65 Página 0/

11 6. De duas funções f e g sabe-se que: f tem domínio e é definida or f_ xi = 4sen^5xh g tem domínio E -, - ; e gl, rimeira derivada de g, tem domínio E -, - ; e é definida or gl_ xi = log e x o 6 Resolva os itens 6.. e 6.. recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. 6.. Calcule o valor de lim sen x " f_ xi- x Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de ontos de inflexão no intervalo E-, - ; Resolva o item 6.. recorrendo às caacidades gráficas da sua calculadora. 6.. Seja h a função, de domínio E -, - ;, definida or h_ xi= f_ xi gx _ i onto A ertence ao gráfico da função h Sabe-se que a recta tangente ao gráfico da função h no onto A é aralela ao eixo x Determine a abcissa do onto A. Na sua resosta, deve: equacionar o roblema; reroduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do onto com arredondamento às décimas. FIM Prova 65 Página /

12 CTAÇÕES GRUP I...(8 5 ontos) ontos 40 ontos. GRUP II ontos ontos ontos ontos ontos ontos ontos ontos ontos ontos ontos 60 ontos TTAL ontos Prova 65 Página /