Prova Escrita de Matemática A

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1 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Escrita de Matemática A 12.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho Prova 635/Época Especial 15 Páginas Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos Prova 635/ E. Especial Página 1/ 15

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3 Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta, eceto nas respostas que impliquem construções, desenhos ou outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis e, a seguir, passados a tinta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 635/ E. Especial Página 3/ 15

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5 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a- amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Área de um polígono regular: Semiperímetro # Apótema Área de um sector circular: ar 2 2 ^a - amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Probabilidades n = p 1 1+ f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0, 6827 P] n- 2v 1 X 1 n+ 2vg , P] n- 3v 1 X 1 n+ 3vg , Área lateral de um cone: r rg^r - raioda base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr 2 ] r - raiog Volume da pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura 3 Volume do cone: 1 # Áreadabase # Altura Volume da esfera: rr ] r- raiog 3 Progressões Soma dos n primeiros termos de uma progressão _ u n i: Progressão aritmética: u + u n 1 2 n # Progressão geométrica: u r 1 # r Trigonometria 1 n sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= 1 - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ 2kr l ] k!! 0,, n- 1+ e n! Ng n n n f Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` j v 2 v ^ n n 1 u hl = nu - ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cosuhl = - ul sen u ^tg uhl = ^ u e hl = ul e ul 2 cos u ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl = ul u log u au l l ^ h = uln a Limites notáveis limb1 + 1 l = e n u lim sen = 1 " 0 lim " 0 lim ln ^ + 1h = 1 " 0 lim " + 3 lim " + 3 e - 1 = 1 ln = 0 e p n =+ 3 + ^a! R + ^n! Nh ^ p! Rh " 1, h " 1, h Prova 635/ E. Especial Página 5/ 15

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7 GRUPO I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Seja W, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W). Sabe-se que: P_ A, Bi= 07, PB ] g= 04, P_ A+ Bi= 02, Qual é o valor de P^B Ah? (A) 0,25 (B) 0,3 (C) 0,35 (D) 0,4 2. Nove jovens, três rapazes e seis raparigas, vão dispor-se, lado a lado, para uma fotografia. De quantas maneiras o podem fazer, de modo que os rapazes fiquem juntos? (A) (B) (C) (D) Seja a um número real. Seja a função f, de domínio R +, definida por f^h= Considere, num referencial o.n. Oy, o ponto P^28, h Sabe-se que o ponto P pertence ao gráfico de f Qual é o valor de a? e aln (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 Prova 635/ E. Especial Página 7/ 15

8 4. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função polinomial f y f O Figura 1 Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f ll, segunda derivada da função f? (A) y (B) y O O (C) y (D) y O O Prova 635/ E. Especial Página 8/ 15

9 5. Seja f uma função de domínio R Sabe-se que fl^2h= 6 ^fl designaaderivada de f h f^h- f ^2h Qual é o valor de lim? " (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 6. Na Figura 2, está representado, no plano compleo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado é paralelo a um eio. z 2 Im (z) z 1 Os vértices deste quadrado são as imagens geométricas dos compleos z1, z2, z3 e z4 Qual das afirmações seguintes é falsa? Re (z) (A) z3 z1 = z4 z2 (B) z1 + z4 = 2 Re ^z1h z (C) 4 = z1 i (D) z1 = z2 z 3 z 4 Figura 2 7. Os segmentos de reta 6AB@ e 6BC@ são lados consecutivos de um heágono regular de perímetro 12 Qual é o valor do produto escalar BA. BC? (A) -3 (B) -2 (C) 2 (D) 3 8. De uma progressão geométrica ^a n h, sabe-se que o terceiro termo é igual a 1 e que o seto termo é 4 igual a 2 Qual é o valor do vigésimo termo? (A) 8192 (B) (C) (D) Prova 635/ E. Especial Página 9/ 15

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11 GRUPO II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. 1. Em C, conjunto dos números compleos, seja z = ^1 + ih e z = i cis 6r ` 5 j Sabe-se que as imagens geométricas dos compleos z1 e z2 são vértices consecutivos de um polígono regular de n lados, com centro na origem do referencial. Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de n 2. Considere, num referencial o.n. Oyz, o plano b definido pela condição 2 y + z 4= Considere o ponto P^-2, 13, ah, sendo a um certo número real. Sabe-se que a reta OP é perpendicular ao plano b, sendo O a origem do referencial. Determine o valor de a 2.2. Considere o ponto A^123,, h Seja B o ponto de intersecção do plano b com o eio O Seja C o simétrico do ponto B relativamente ao plano yoz Determine a amplitude do ângulo BAC Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades Determine uma equação da superfície esférica de centro na origem do referencial, que é tangente ao plano b Na resolução deste item, tenha em conta que o raio relativo ao ponto de tangência é perpendicular ao plano b Prova 635/ E. Especial Página 11/ 15

12 3. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9, indistinguíveis ao tato Retiram-se, sucessivamente e ao acaso, três bolas do saco. As bolas são retiradas com reposição, isto é, repõe-se a primeira bola antes de se retirar a segunda e repõe-se a segunda bola antes de se retirar a terceira. Qual é a probabilidade de o produto dos números das três bolas retiradas ser igual a 2? Apresente o resultado na forma de fração irredutível Considere agora a seguinte eperiência aleatória: retiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas bolas do saco, adicionam-se os respetivos números e colocam-se novamente as bolas no saco. Considere que esta eperiência é repetida dez vezes. Seja X o número de vezes em que a soma obtida é igual a 7 A variável aleatória X tem distribuição binomial, pelo que n 10 n P^X = nh = 10C 1 11 n c m c m `n! " 01,,..., 10, j Elabore uma composição em que eplique: como se obtém o valor 1 (probabilidade de sucesso); 12 o significado de 11, no conteto da situação descrita; 12 o significado da epressão 10C n, tendo em conta a sequência das dez repetições da eperiência. 4. Admita que, ao longo dos séculos XIX, XX e XXI, o número de habitantes, N, em milhões, de uma certa região do globo é dado aproimadamente por N = e 025, t ^t $ 0h em que t é o tempo medido em décadas e em que o instante t = 0 corresponde ao final do ano Determine a taa média de variação da função N no intervalo 610, 20@ Apresente o resultado arredondado às unidades. Interprete o resultado, no conteto da situação descrita Mostre que t = ln 50N c m 200 N Prova 635/ E. Especial Página 12/ 15

13 5. Seja f a função, de domínio + R 0, definida por f^h 2 e 1 = Resolva os itens 5.1. e 5.2. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora Estude a função f quanto à eistência de assíntota horizontal Estude a função f quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos Considere, num referencial o.n. Oy, três pontos, A, B e C, tais que: os pontos A e B pertencem ao gráfico da função f a abcissa do ponto B é maior do que a abcissa do ponto A os pontos A e B têm a mesma ordenada, a qual é igual a 1,2 o ponto C pertence ao eio O e tem abcissa igual à do ponto B Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a área do quadrilátero do referencial. 6 OABC@, sendo O a origem Na sua resposta: reproduza, num referencial, o gráfico da função f no intervalo apresente o desenho do quadrilátero 6 OABC@ indique as abcissas dos pontos A e B arredondadas às milésimas; apresente a área do quadrilátero arredondada às centésimas. 6. Seja a um número real. Considere a função f, de domínio R, definida por f^h= asen Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2r 3 Sabe-se que a inclinação da reta r é igual a r radianos. 6 Determine o valor de a FIM Prova 635/ E. Especial Página 13/ 15

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15 COTAÇÕES GRUPO I 1. a 8... (8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 160 pontos TOTAL pontos Prova 635/ E. Especial Página 15/ 15