VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/1.ª Fase. Entrelinha 1,5

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n.º 19/01, de 5 de julho Prova Escrita de Matemática A 1.º Ano de Escolaridade Prova 65/1.ª Fase 16 Páginas Entrelinha 1,5 Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 0 minutos. 01 VERSÃO 1 Prova 65.V1/1.ª F. Página 1/ 16

2 Na folha de respostas, indique de forma legível a versão da prova (Versão 1 ou Versão ). A ausência dessa indicação implica a classificação com zero pontos de todas as respostas aos itens de escolha múltipla. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, eceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que for necessário. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações. A prova inclui, nas páginas e 4, um Formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 65.V1/1.ª F. Página / 16

3 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a-amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r-raioh Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Base menor # Altura Polígono regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar ^a -amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r-raioh Áreas de superfícies Área lateral de um cone: r rg^r -raioda base; g-geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ] r - raiog Volumes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura Cone: 1 # Áreadabase # Altura 4 Esfera: rr ] r- raiog Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= 1 - tga tgb Prova 65.V1/1.ª F. Página / 16

4 Compleos Limites notáveis n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- 1+ e n! Ng n n n f lim b1 + 1 l = e n lim sen " 0 n = 1 ^n! Nh Probabilidades lim " 0 e 1 = 1 n = p+ f + p 1 1 n v = p ] ng + f + p ^ nh 1 1 n n n lim ln ^ + 1h = 1 " 0 lim " + ln = 0 Se X é N] nv, g, então: P] n v 1 X 1 n+ vg. 0, 687 lim " + e p = + ^ p! Rh P] n v 1 X 1 n+ vg. 0, 9545 P] n v 1 X 1 n+ vg. 0, 997 Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` v j v ^ n u hl n 1 nu - = ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cos uhl =-ul sen u ^tg uhl = ul cos u ^ u e hl = ul e u ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R + " 1, h ^ln uhl = ul u log u au l l ^ h = uln a ^a! R + " 1, h Prova 65.V1/1.ª F. Página 4/ 16

5 GRUPO I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Num grupo de nove pessoas, constituído por seis homens e três mulheres, vão ser escolhidos três elementos para formarem uma comissão. Quantas comissões diferentes se podem formar com eatamente duas mulheres? (A) C (B) 6 C (C) 9 A (D) 6 A Prova 65.V1/1.ª F. Página 5/ 16

6 . A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. i 0 1 PX ^ = h a a b b i Sabe-se que: a e b são números reais; PX ( > 1) = PX ( < ) Qual é o valor médio da variável aleatória X? (A) (B) 7 5 (C) 17 9 (D) Considere uma variável aleatória X com distribuição normal de valor médio 11 e desvio padrão v Sabe-se que v é um número natural e que P^X > h. 0, 075 Qual é o valor de v? (A) 1 (B) 11 (C) 6 (D) 4 Prova 65.V1/1.ª F. Página 6/ 16

7 4. Seja f a função, de domínio R \" 0,, definida por f^h = sen^ h Considere a sucessão de números reais n ^ h tal que n = 1 n Qual é o valor de lim f^ n h? (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) + 5. Seja f uma função de domínio R + Sabe-se que lim ln + f^h " + = 1 Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função f? (A) y = 1 (B) y = (C) y = (D) y = Prova 65.V1/1.ª F. Página 7/ 16

8 6. Considere, para um certo número real a superior a 1, as funções f e g, de domínio R, definidas por f^h= a e g^h= a Considere as afirmações seguintes. III) Os gráficos das funções f e g não se intersectam. III) As funções f e g são monótonas crescentes. III) fl^ 1h gl^1h = ln a a Qual das opções seguintes é a correta? (A) II e III são verdadeiras. (B) I é falsa e III é verdadeira. (C) I é verdadeira e III é falsa. (D) II e III são falsas. Prova 65.V1/1.ª F. Página 8/ 16

9 7. Na Figura 1, estão representadas, no plano compleo, as imagens geométricas de quatro números compleos: w 1, w, w e w 4 Im(z) w w 1 O Re(z) w w 4 Figura 1 Qual é o número compleo que, com n! N, pode ser igual a i8n i8n 1+ i8n? (A) w 1 (B) w (C) w (D) w 4 Prova 65.V1/1.ª F. Página 9/ 16

10 8. Em C, conjunto dos números compleos, considere z = 8+ 6i e w = i z z Seja a um argumento do número compleo z Qual das opções seguintes é verdadeira? (A) w = 10cisca r m (B) w = cis a r c m (C) w = 10cisca r m (D) w = cis a r c m GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. 1. Em, conjunto dos números compleos, considere z cis 1 = + r e z = 1 + i Sabe-se que z1 é uma raiz quarta de um certo número compleo w z Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora. 1.. Seja z = cis a Determine o valor de a pertencente ao -r6, sabendo que z + z é um número real. Prova 65.V1/1.ª F. Página 10/ 16

11 . Uma caia contém apenas bolas brancas e bolas pretas, indistinguíveis ao tato. Todas as bolas estão numeradas com um único número natural. Sabe-se que: duas bolas em cada cinco são pretas; 0% das bolas pretas têm um número par; 40% das bolas brancas têm um número ímpar..1. Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caia. Determine a probabilidade de essa bola ser preta, sabendo que tem um número par. Apresente o resultado na forma de fração irredutível... Admita agora que a caia tem n bolas. Etraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caia. Determine n, sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é igual a 7 0. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W). Sabe-se que: PB ] g= 1 4 PA ], Bg= P^A ; Bh= 7 1 Determine PA ] g Prova 65.V1/1.ª F. Página 11/ 16

12 4. Considere a função f, de domínio R \" 0,, definida por Z ] e - 1 ] e4-1 f^h = [ ] ln^h \ se < 0 se > 0 Resolva os itens 4.1. e 4.., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora Estude a função f quanto à eistência de assíntotas verticais do seu gráfico. 4.. Seja g a função, de domínio R +, definida por g ^ h= f^h + ln Estude a função g quanto à monotonia e quanto à eistência de etremos relativos 0, e@ Resolva o item 4.., recorrendo à calculadora gráfica. 4.. Considere, num referencial o.n. Oy, a representação gráfica da função g, de domínio R +, definida por g ^ h= f^h + ln Sabe-se que: A é o ponto de coordenadas (, 0) B é o ponto de coordenadas (5, 0) P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP] Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1 Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar as abcissas dos pontos P com arredondamento às centésimas. Prova 65.V1/1.ª F. Página 1/ 16

13 5. Na Figura, está representada, num referencial ortogonal Oy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 4 y f 4 O 4 4 Figura Sabe-se que: -1 e são os únicos zeros da função f gl, a primeira derivada de uma certa função g, tem domínio R e é definida por gl^h= f^h e lim 8g ^ h B = 0 " + Apenas uma das opções seguintes pode representar a função g Prova 65.V1/1.ª F. Página 1/ 16

14 I) y II) y 1 O O III) y IV) 7 y O O Nota Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico. Elabore uma composição na qual: identifique a opção que pode representar a função g apresente as razões para rejeitar as restantes opções. Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado. Prova 65.V1/1.ª F. Página 14/ 16

15 6. Considere a função g, de domínio Seja a um número real do domínio de g r E -,0 ;, definida por g () = sen^h cos A reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação y = + 1 Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 7. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio 6 -a, a@ Sabe-se que f^ ah = f^ah e f^ah> f ^0h Mostre que a condição f^h = f^+ ah tem, pelo menos, uma solução FIM Prova 65.V1/1.ª F. Página 15/ 16

16 COTAÇÕES GRUPO I 1. a 8... (8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 160 pontos TOTAL pontos Prova 65.V1/1.ª F. Página 16/ 16