Proposta de teste de avaliação

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1 Proosta de teste de avaliação Matemática. O NO DE ESOLRIDDE Duração: 90 minutos Data:

2 Gruo I Na resosta aos itens deste gruo, selecione a oção correta. Escreva, na folha de resostas, o número do item e a letra que identificam a oção escolhida.. O código de um telemóvel (PIN) é constituído or uma sequência de quatro algarismos. Em quantos destes códigos aarece elo menos uma vez o algarismo 0? () 0 9 (B) 9 () 0 (D) 0. Quantos números é ossível formar trocando a ordem aos algarismos de forma que não fiquem dois algarismos seguidos? () (B) 7 () 7 (D). soma dos seis menores elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é igual a. Qual é o terceiro elemento da linha seguinte? () (B) 0 () (D). onsidere todos os números ímares com cinco algarismos. Quantos desses números são inferiores a e o roduto dos seus algarismos também é um número ímar? () 5 (B) 5 5 () 5 (D) 5 D 5. Escolhem-se, ao acaso, três vértices distintos do hexágono regular [BDEF]. E Qual é a robabilidade de esses três ontos serem vértices de um triângulo equilátero? F B () 0 (B) 0 () 0 (D) Proosta de teste de avaliação Matemática,. o ano Página

3 Gruo II. Para determinado valor real de a, um dos termos do desenvolvimento de ( x + a ) 0 é igual a Determine o valor de a. 7 5x.. onsidere todos os números naturais formados or seis algarismos. Qual é a ercentagem dos que têm algarismos reetidos?. Na figura está reresentado um tabuleiro com casas, disostas em quatro linhas (,, e ) e em quatro colunas (, B, e D) Disomos de fichas sendo 8 retas, iguais entre si, e brancas, numeradas de a. Pretende-se colocar fichas no tabuleiro de forma que não fique mais do que B D uma or cada casa... De quantas maneiras diferentes é ossível disor as fichas no tabuleiro?.. De quantas maneiras diferentes é ossível disor as oito fichas retas no tabuleiro de forma que só uma coluna fique totalmente reenchida?. Nos serviços administrativos de uma escola trabalham 8 essoas, sendo 0 homens e 8 mulheres. Entre estes trabalhadores, aenas homens e 5 mulheres falam inglês corretamente. De entre os 8 funcionários vão ser selecionados ara frequentarem uma ação de formação. De quantas maneiras é ossível formar esse gruo de forma que:.. seja misto (isto é, tenha elo menos um homem e uma mulher) e tenha mais mulheres do que homens?.. da sua comosição faça arte elo menos uma mulher?.. dois (e só dois) dos elementos escolhidos falem inglês corretamente e tenha igual número de homens e de mulheres. Proosta de teste de avaliação Matemática,. o ano Página

4 5. Um olígono regular de n lados tem 90 diagonais. Determine o valor de n. omece or escrever a equação que traduz o roblema e, de seguida, resolva-a.. Na figura estão reresentados nove ontos:, B,, D, E, F, G, H e I. F G H I Sabe-se que: [EIF] é um quadrado; os ontos B, e D ertencem ao lado [E]; os ontos G e H ertencem ao lado [FI]... Escolhem-se ao acaso três desses nove ontos. Qual é a robabilidade de estes definirem um triângulo? resente o resultado na forma de fração irredutível. B D E.. Escolhe-se ao acaso um dos triângulos definido or três dos nove ontos. Qual é a robabilidade de que a medida da área desse triângulo seja igual a metade da medida da área do quadrado? resente o resultado na forma de ercentagem. FIM Gruo I Gruo II otações Total Total 0 Proosta de teste de avaliação Matemática,. o ano Página

5 Proosta de resolução Gruo I..º.º.º.º Número de códigos que é ossível formar:.º.º.º.º = 0 Número de códigos que é ossível formar sem o algarismo 0: = 9 Número de códigos que é ossível formar com elo menos um algarismo 0: Resosta: () 0 9. Os seis algarismos iguais a determinam sete lugares, entre os quais se escolhem três ara os algarismos iguais a : Esta escolha ode ser feita de 7 maneiras diferentes dado que, como os três algarismos são iguais, não interessa a ordem ela qual vão ser colocados nos três lugares escolhidos. Resosta: (). Os três rimeiros elementos de uma linha do Triângulo de Pascal são iguais aos três últimos e estes seis elementos são os menores da linha. O rimeiro elemento de cada linha é igual a. Designando or a e b o segundo e o terceiro elementos da linha em causa, esta ode ser arcialmente reresentada or: a b b a Os três rimeiros elementos da linha seguinte são:, + a e a + b Sabemos que + a + b + b + a + =. + a + b + b + a + = a + b = a + b = Resosta: (D). Para que o número seja ímar, o algarismo das unidades tem de ser ímar. Logo, há cinco ossibilidades ara este algarismo (,, 5, 7 ou 9). Se o roduto dos algarismos é um número ímar, então os cinco algarismos são ímares. Se o número é inferior a 0 000, o algarismo das dezenas de milhar tem de ser inferior a. Logo, há três ossibilidades ara este algarismo (, ou 5). Portanto, há = 5 números nas condições indicadas. Resosta: () Proosta de teste de avaliação Matemática,. o ano Página 5

6 5 5. Número de casos ossíveis: = = 0 Número de casos favoráveis: (os triângulos [E] e [BDF]) E D P = = 0 0 F B Resosta: (B) Gruo II. ( ) = 0 x a x a + = Se x a = 5x, então 0 = 7, elo que = Se =, então x a = x a = 0a x Se 0a x = 5x, então 0a = a = 5 a = a = a = a = O valor de a é...º.º.º.º 5.º.º Existem números naturais com seis algarismos (o rimeiro algarismo é diferente de 0)..º.º.º.º 5.º.º Existem Logo, existem = 9 5 números naturais com seis algarismos diferentes números naturais com seis algarismos e com algarismos reetidos = = 0,888 = 8,88% ,88% dos números naturais com seis algarismos têm algarismos reetidos... 8 = = 00 8 Número de maneiras de disor as fichas brancas (diferentes) nas restantes 8 casas Número de maneiras de disor as 8 fichas retas (iguais) nas casas Proosta de teste de avaliação Matemática,. o ano Página

7 .. = 95 = 97 Excluem-se os casos em que ficam duas colunas totalmente reenchidas Número de maneiras de disor as restantes fichas elos restantes lugares Número de maneiras de escolher a coluna que fica com fichas.. Homens Mulheres O gruo é formado or dois homens e quatro mulheres ou or um homem e cinco mulheres. O número de ossibilidades é: + 5 = = O número total de gruos que é ossível formar é dado or 8. O número de gruos que é ossível formar com seis homens é dado or 0. Logo, o número de gruos que é ossível formar com elo menos uma mulher é = Há três casos a considerar ara a escolha dos dois elementos que falam corretamente inglês: dois homens duas mulheres um homem e uma mulher Homens que Mulheres que Homens que Mulheres que falam inglês falam inglês não falam inglês não falam inglês 5.º caso 0.º caso 0.º caso Número de ossibilidades:.º caso: 5 0 = =.º caso: 5 0 = 0 0 = 00.º caso: 5 = 5 5 = = 5 É ossível formar o gruo de 5 maneiras diferentes. Proosta de teste de avaliação Matemática,. o ano Página 7

8 5. n n 90 = com n N \ {, } n n = 90 n = 90! n ( ) n n n 90 = 0 n n n 80 = 0 n n 80 = 0 ± n = ± 79 n = ± 7 n = omo n N \ {, }, então n = 5.. Número de casos ossíveis: 9 = 8 Número de casos favoráveis: + 5 = = P = = 8. Número de casos ossíveis: 70 F G H I Número de casos favoráveis: + 5 = 9 (são os triângulos de base [E] e vértice oosto F, G, H ou I e os triângulos de base [FI] e vértice oosto, B,, D ou E) 9 P = % 70 B D E Proosta de teste de avaliação Matemática,. o ano Página 8