Problemas de Contagem

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1 Problemas de Cotagem Cotar em semre é fácil Pricíio Fudametal de Cotagem Se um certo acotecimeto ode ocorrer de 1 maeiras diferetes e se, aós este acotecimeto, um segudo ode ocorrer de 2 maeiras diferetes e, aós este segudo acotecimeto, um terceiro ode ocorrer de 3 maeiras diferetes, etão o úmero de modos diferetes em que os acotecimetos odem ocorrer a ordem idicada é 1 x 2 x 3 Exemlo 1 No laçameto de dois dados, quatas ossibilidades odem acotecer? Se cotarmos todas as ossibilidades verificamos que são 36, o mesmo úmero que obtemos se alicarmos o Pricíio Fudametal de Cotagem : 6 x 6 = 36.

2 Exemlo 2 Cosiderado a emeta de um restaurate, quatas refeições diferetes é ossível fazer este restaurate, icluido uma etrada, um rato e uma sobremesa? Com base o diagrama de árvore odemos verificar que é ossível fazer 24 refeições diferetes. Alicado o Pricíio Fudametal de Cotagem : 2 x 4 x 3 = 24. Exemlo 2 Num baralho de 52 cartas quatas sequêcias (iteressa a ordem) diferetes se odem formar ao tirar sucessivamete 3 cartas sem reosição? Resosta:

3 Aálise Combiatória Quado o úmero de elemetos é elevado, a cotagem elos rocessos ateriores é raticamete imossível e, estes casos, recorre-se á aálise combiatória. Assim, a aálise combiatória ode ser etedida como um cojuto de rocessos alterativos e simlificados de cotagem. Partimos semre de um cojuto com um úmero fiito de elemetos (úmeros, essoas, objectos, letras ). Com os elemetos desse cojuto formam-se Sequêcias ou Subcojutos. O rocesso de cálculo do úmero de Sequêcias que é ossível formar vai deeder de dois factores: - Ordem dos seus elemetos; - Reetição dos seus elemetos (sim ou ão). Na formação de Subcojutos ão iteressa a ordem e os elemetos ão de reetem. Casos em que a cotagem iteressa a ordem: - Arrajos com ou sem Reetição; - Permutações. Casos em que ão iteressa a ordem: - Combiações.

4 Cardial do Produto cartesiao Arrajos com reetição Cardial da reuião de cojutos Sedo A e B dois cojutos fiitos com cardialidade ( A) card e ( B) card, resectivamete. Se A e B forem cojutos disjutos, isto é, se A B = φ, etão: card( A B) = card ( A) + card ( B) Se A,..., 1, A2 A forem cojutos com cardialidade 1 carda, carda 2,..., carda, resectivamete, etão, se eles forem disjutos dois a dois, isto é, se se tiver A i A j = φ ara todo o, = tais que i j, ter-se-á i j 1,2,..., card A j j= 1 = card( Aj ) j=1 Se A B φ card( A B) = ( A) card + card( B) - card( A B)

5 Exemlo Numa turma de cálculo há 25 estudates e uma turma de estatística há 31 estudates. De todos estes estudates há 13 que frequetam simultaeamete as duas discilias. Qual é o úmero total de estudates distitos que há a duas turmas? Cardial do Produto Cartesiao Suoha-se que uma sala de baile se ecotram 4 raazes que se desigam or a 1, a2, a3, a4 e 5 raarigas que se desigam or b 1, b2, b3, b4, b5. Sejam { a, a, a a } A = e B = { b, b, b, b b } 1 2 3, , Quatos ares diferetes se odem formar, ao todo, sedo cada ar costituído or um raaz e uma raariga? Em geral, se card ( A) = m e card ( B) = 5, tem-se ( A B) = card( A) card( B) = m card

6 Assim, se A,..., 1, A2 A forem cojutos fiitos com cardialidade carda 1, carda 2,..., carda, resectivamete, etão: ( A A A ) = card( A ) card( A )... card( ) card A Se, em articular, os cojutos forem todos iguais ao cojuto A, obter-se-á ( A ) card ( A) card = Número de subcojutos de um cojuto fiito Sedo A um cojuto qualquer, o cojuto P ( A) = { X : X A} é como se sabe, o cojuto das artes de A. Etre os cojutos ertecetes a P (A) figuram o cojuto vazio e o rório cojuto A. Sedo A fiito a cotagem do elemetos de P(A) ode fazer-se de maeira simles, alicado a teoria do roduto cartesiao. Com efeito, se card ( A) = odem disor-se os elemetos de A uma sequêcia de elemetos distitos a a,..., 1, 2 a

7 Nestas codições, todo o subcojuto X de A ode ser defiido fazedo corresoder a cada elemeto a i o úmero 1 ou 0, coforme a i X ou a i X, resectivamete.. Assim, cada subcojuto de A fica reresetado or uma sequêcia de elemetos do cojuto {,1} sequêcias 0. Se, or exemlo, for = 4, as 0110, 1001, 1111, 0000 reresetam, resectivamete, os cojutos { } 2,a 3 a, { } a, { a, a, a a }, { } 1,a , Assim, ara todo o cojuto fiito A, ter-se-á card ( A) ( 0 ) = card ( A) ( P( A) ) = card {,1} card 2 4

8 Arrajos, ermutações e combiações Arrajos Com aos de 5 cores amarelo, verde, azul, vermelho e braco quatas badeiras tricolores se odem obter, suodo que os aos são colocados só em tiras verticais. Assim, se se desigarem as cico cores elas letras a, b, c, d, e, resectivamete, cada badeira será reresetada or 3 destas letras, escritas segudo a ordem das cores, or exemlo. abc bca abd dab cde etc. As badeiras tricolores a que se refere o euciado são, assim, reresetadas elos diferetes cojutos ordeados de 3 cores, que é ossível formar a artir das 5 cores cosideradas. A esses cojutos ordeados dáse o ome de arrajos das 5 cores 3 a 3.

9 Defiição Dados m elemetos quaisquer, chamam-se arrajos dos m elemetos a a todos os cojuto ordeados que é ossível obter com elemetos escolhidos arbitrariamete etre os m elemetos. m A Exemlo Com os elemetos do cojuto A = { a,b,c,d }, quatas sequêcias de três elemetos odemos formar sem que os elemetos se reitam? O 1º elemeto da sequêcia ode ser uma das quatro letras; O 2º elemeto da sequêcia só ode ser uma das três letras restates, ois uma letra já foi escolhida; O 3º elemeto da sequêcia só ode ser uma das duas letras restates, ois duas letras já foram escolhidas.

10 Em esquema, tem-se: 1ª letra 2ª letra 3ª letra Ao todo temos = 24 sequêcias. A este úmero dá-se o ome de arrajos de 4 elemetos 3 a 3, e rereseta-se or 4 A 3. Em geral, coclui-se que Cosiderado que tem-se ( 1 ) ( 2) ( + 1) A = com! ( 1 ) ( 2) ( + ) ( )! = 1

11 ! ( 1) ( 2) ( + 1) ( ) = ( )! ( )! = ( 1) ( 2) ( + 1) = logo vem, A! A = ( )! com Sedo A { a 1, a 2,,a } =, qualquer arrajo de elemetos de A a, também chamado arrajo sem reetição, é uma sequêcia de elemetos de A, em que: Não ode haver elemetos reetidos; A ordem dos elemetos distigue a sequêcia de outras sequêcias. Exemlo Um saco cotém 5 bolas umeradas de 1 a 5. De quatas maeiras odemos extrair: a) Três bolas com reosição? b) Quatro bolas sem reosição?

12 Permutações As ermutações de elemetos são todas as sequêcias de elemetos diferetes que é ossível formar com os elemetos. Reresetado or P o úmero de ermutações de elemetos, tem-se Como, ( ) P = A.!!! A = = =!! 0! 1 =, etão, Sedo A { a 1, a 2,,a } P =! =, qualquer ermutação de elemetos de A é uma sequêcia de elemetos de A, em que: Não ode haver elemetos reetidos; A ordem dos elemetos da sequêcia distigue a sequêcia de outras sequêcias.

13 Exemlo De quatas maeiras diferetes se odem setar 5 essoas: a) uma fila? b) à volta de uma mesa? Combiações Um aluo deseja comrar 4 livros diferetes, mas de igual custo, e só tem diheiro ara comrar três desses livros. De quatos modos o aluo fazer a escolha de 3 livros de etre os 4 que deseja? Reresetado os livros elas letras a, b, c, d a escolha que cosiste em comrar os livros a, b, c é diferete daquela que cosiste em comrar os livros a, b, d

14 Mas já a escolha a, b, c ão é distita, este caso, da escola b, a, c que se refere aos mesmos livros, mas colocado or ordem diferete. É fácil de ver etão que o aluo ode fazer a sua escolha de quatro modos diferetes abc, abd, acd, bcd sem que teha qualquer iteresse a ordem ela qual são idicados os elemetos. Por coseguite, os modos de escolher 3 livros etre os 4, corresodem afial aos diferetes cojutos que se odem formar com 3 livros tomados etre os 4, sem que iteresse a ordem ela qual são cosiderados. Tais cojutos só odem diferir etre si elos elemetos de que são formados: dá-se-lhes o ome de combiações de 4 livros 3 a 3.

15 Defiição Dados elemetos quaisquer, chamam-se combiações desses elemetos a a todos os cojutos que é ossível obter com elemetos escolhidos etre os m dados (sem ateder a qualquer ordem). C ou 0 úmero de arrajos de elemetos a ode-se obter ermutado em cada uma das combiações de a os elemetos que a formam, de todas as maeiras ossíveis. Isto quer dizer que os arrajos referidos se odem obter mediate as duas oerações seguites: 1. formar as combiações de elemetos a. O úmero de tais combiações distitas é C ; 2. ermutar, em cada uma das combiações, os seus elemetos, de todas as formas ossíveis. Esta oeração ode realizar-se de P P maeiras diferetes.

16 Deste modo, tem-se P C A. = e, ortato, P A C = =!( )!!! 1) 1)...( ( = + = Esta fórmula é válida mesmo os casos extremos em que se tem = ou 0 =. Da exressão aterior resulta imediatamete a seguite idetidade = Sedo { },a, a, a A 2 1 =, qualquer combiação de elemetos a é um subcojuto de A, em que: Não há elemetos reetidos; Não iteressa a ordem dos elemetos.

17 Exemlo Numa aula de Matemática estão resetes 18 raarigas e 12 raazes. Quatos gruos de aluos se odem formar, cosiderado que: a) cada gruo tem 5 aluos? b) Cada gruo é formado or 3 raarigas e 2 raazes?