Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES BINÔMIO DE NEWTON

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1 Uiversidade Federal do Rio Grade FURG Istituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital CAPES BINÔMIO DE NEWTON Prof. Atôio Maurício Medeiros Alves Profª Deise Maria Varella Martiez

2 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II UNIDADE BINÔMIO DE NEWTON. INTRODUÇÃO Isaac Newto (-77) foi um físico e matemático iglês ue fez imortates descobertas ara a ciêcia. Além de criar o biômio de Newto, durate sua trajetória, ele deu imortates cotribuições ara a humaidade descobrido a lei da gravidade, etre outras várias leis da física. Nesta uidade, o objetivo ricial cosiste em estudar o Biômio de Newto, ou seja, todo o biômio da forma chamado ordem do biômio., ode é um úmero atural,. FATORIAL DE UM NÚMERO N O fatorial de um úmero atural, deotado or, é o roduto de or todos os úmeros aturais ue o atecedem até a uidade, ou seja,.... O oto etre as exressões, a euação aterior, rereseta uma multilicação. Lê-se: fatorial de ou fatorial Observações: )Por defiição, o fatorial de zero é igual a, ou seja, ; ) ; )., ois: Vejamos algus exemlos: Exemlo :...

3 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II Exemlo :. Exemlo :.... NÚMEROS BINOMIAIS Dados dois úmeros aturais, e, o ar ode é chamado úmero biomial,. Lê-se: biomial de sobre Além disso, tem-se ue C, ode C, rereseta o úmeros de combiações de objetos distitos, tomados or vez. Vejamos algus exemlos: Exemlo : Calcule Exemlo : Calcule Exemlo : Calcule C,.

4 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II C,.... Exemlo : Quatas combiações odem ser feitas com objetos distitos, tomados or vez? C,...,.... ou seja, é ossível formar combiações (ou cojutos) com elemetos, tomados or vez. Em outras alavras, cosidere elemetos A, B, C e D. É ossível formar cojutos com elemetos; são eles: A,B,, C A, A,D, B, C, B,D,,D C. Observação: Na combiação de objetos, a ordem em ue os elemetos estão colocados ão imorta, isto sigifica ue a combiação A,B é a mesma B, A. Além disso, os cojutos devem ter elemetos distitos, ou seja, esse caso, A, A ão rereseta uma combiação.. BINÔMIO DE NEWTON Seja um úmero atural, o biômio da forma é deomiado Biômio de Newto. Assim, ara: etão etão etão,

5 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II ou seja,. etão, ou seja,. Para, um úmero atural ualuer é ossível deduzir a fórmula geral do biômio, dada or termo ésimo termo termo termo termo Vejamos algus exemlos: Exemlo :..

6 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II. Exemlo : Observação: e odem ser substituídos or úmeros ou or outras letras, vejamos um exemlo. Exemlo : x x. x. x. x. x. x x.8 x x x 8 x. x. x 8 x.x.x 8

7 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II x x x 8... FÓRMULA DO TERMO GERAL A fórmula ara obteção de um termo geral o biômio tem a forma t r r r r ode r é a osição do termo. Vejamos um exemlo. Exemlo : Calcular o º termo o desevolvimeto do biômio x 7. Nesse caso, 7 x. Como ueremos calcular o º termo, etão: r r. Desta forma, t x x 7 8 x 8 x 8 o ue sigifica ue: t 7.. x x 8 x 8 x 8 resultado ue:. t 8 x.. TRIÂNGULO DE PASCAL Blaise Pascal (-) foi um imortate matemático fracês. Etre suas esuisas destacam-se suas cotribuições a formulação da teoria da 7

8 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II 8 robabilidade. Pascal ão foi o rimeiro a trabalhar com o triâgulo aritmético, hoje cohecido como triâgulo de Pascal, orém, esse ome surgiu em razão das alicações feitas or Pascal referetes a várias roriedades ue o triâgulo ossui. O triâgulo é formado or lihas e úmeros biomiais, a forma mostrada a seguir: Liha zero Liha Liha Liha Liha Liha Liha E cotiua... Note ue o triâgulo é comosto or lihas. O rimeiro e o último úmero de cada liha é o úmero. Os demais elemetos corresodem à soma dos dois elemetos, imediatamete, acima deles. Exemlo : Na liha, o úmero corresode a soma +;

9 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II Exemlo : Na liha, o úmero corresode a soma +; Cosiderado a fórmula geral do biômio odemos obter os dados descritos a tabela a seguir, ue resume o biômio e sua resectiva exasão. Biômio Euação exadida b a a b b a a b + a b b a a b + a b + a b b a a b + a b + a b + a b b a a b + a b + a b + a b + a b b a a b + a b + a b + a b + a b + a b Outra forma de forma de obter a euação exadida seria através do triâgulo de Pascal. Observe ue os coeficietes a tabela (em azul) coicidem com os elemetos do triâgulo de Pascal. Vejamos um exemlo. Exemlo 7: Desevolver a exressão, a artir do triâgulo de Pascal. Como o exoete a exressão é, etão, os coeficietes corresodem à liha do triâgulo de Pascal. Não esueça ue a rimeira liha é chamada liha zero. Assim, ode,,, e reresetam, essa ordem, os coeficietes da exressão exadida. 9

10 Matemática Básica ara Ciêcias Sociais II Bibliografia Medeiros, V. Z., Caldeira, A. M., Silva, L. M. O., Machado, M. A. S. Précálculo, Editora Thomso,. ed. São Paulo,. Siegel, M. R., Moyer, R. E. Álgebra, Coleção Schaum, Editora Bokma, ed. São Paulo,.