CUFSA - FAFIL. Análise Combinatória (Resumo Teórico)

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1 A) CONCEITOS: CUFSA - FAFIL Aálise Combiatória (Resumo Teórico) Regras Simles de Cotagem: é a maeira de determiar o úmero de elemetos de um cojuto. Na maioria das vezes é mais imortate cohecer a quatidade de elemetos de um determiado cojuto do que descrevê-los a todos. Cosiderado um cojuto A com úmero fiito de elemetos e eumerável, isto é, que exista um úmero atural que se ossa associar ao úmero de elemetos deste cojuto, se o úmero de elemetos é, otamos (A) =. Regras da Soma: Cosiderado os Cojutos A e B, tais que (A) = e (B) =q. Caso I: A B = : (A B) = (A) + (B) = + q ; Caso II: A B : (A B) = (A) + (B) (A B ). Exemlo: Em um gruo de 500 essoas etrevistadas, 300 assiam O Estadão, 200 assiam A Folha e 100 assiam ambos os Jorais. Perguta-se a) quatos assiam exclusivamete cada Joral? e b) quatos ão assiam joral ehum? Resolução: Seja A o cojuto dos que assiam O Estadão e B dos que assiam A Folha. a) Queremos Calcular (A B ) e (B A). (A B)=(A) (A B)= = 200 e (B A)=(B) (A B)= =150. Logo 200 assiam só O Estadão, 150 assiam só A Folha. b) Como (A B ) = 200, (B A) = 150 e (A B)=100, etão 450 essoas assiam elo meos um Joral. Assim 50 essoas ão assiam ehum dos Jorais. Esquematizado em diagrama de Ve - Euler: A B (A-B) (A B) (B-A) Regra do Produto: Cosiderado a ocorrêcia de um eveto comosto or duas ou mais etaas sucessivas e ideedetes de modo que é o úmero de ossibilidades da rimeira etaa e q o úmero de ossibilidades da seguda etaa, etão o úmero total de ossibilidades do eveto ocorrer e ( q). As etaas dos evetos odem ser reresetadas elos cojutos fiitos A e B e, este caso o úmero das ossibilidades do eveto ocorrer é o úmero de elemetos do Produto Cartesiao de (A x B). Exemlo: Suohamos que uma essoa ode tomar café, chá ou leite; em qualquer das oções ode escolher etre quete ou frio. Quais as ossibilidades que uma essoa tem ara beber algo? Resolução: Estes evetos odem ser reresetados um esquema que chamaremos de Árvore das Possibilidades ou Diagrama de Árvore : Esquematizado em Diagrama de Ve-Euler. Quete A B Café Frio Quete Chá Frio Quete Leite (A)=2, (B) = 3, (A x B) =2x3=6 Frio

2 B) ANÁLISE COMBINATÓRIA Objetivo da Aálise Combiatória: Estudar as ossibilidades de um eveto ocorrer, calcular o úmero destas ossibilidades e forecer elemetos ara difereciar as ossíveis categorias ode são situados esses evetos. Estas categorias são, coforme a situação do eveto a ser aalisado em Permutações, Arrajos e Combiações. I) PERMUTAÇÃO : Dados elemetos distitos, defiimos como ermutações simles, ou sem reetição desses elemetos, a todos os agruametos que se ode formar com os elemetos, de modo que um agruameto difira ( é diferete) do outro ela ordem dos elemetos o agruameto. O umero de ermutações de elemetos é dado or P =! Exemlo: Com os algarismos 2, 5 e 7, desejamos saber quais e quatos são os úmeros de 3 algarismos que odemos formar, sem reetir o mesmo algarismo o mesmo úmero. Resolução: Uma árvore das ossibilidades ermite visualizar a situação: P =! P 3 = 3! = II) ARRANJO : Defiimos como Arrajos Simles de elemetos dados, tomados a, aos agruametos sem reetição que se ode formar com dos elemetos dados, de modo que um agruameto difira ( é diferete) do outro ela ordem dos elemetos ou elo meos or um dos elemetos.! O umero de Arrajos de elemetos, tomados a é dado or A, = (-)! Exemlo: Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, desejamos saber quatos úmeros de 3 algarismos que odemos formar, sem reetir o mesmo algarismo o mesmo úmero. Resolução: Devemos cosiderar o úmero de ossibilidades de cada osição dos algarismos o úmero (Cetea, Dezea e Uidade) e o ricíio multilicativo de cotagem. Assim ara o algarismo das ceteas temos 5 ossibilidades, ara o algarismo de dezeas teremos 4 ossibilidades e ara o algarismo das uidades teremos 3 ossibilidades. Como os evetos são sucessivos e ideedetes, o eveto fial, comosto elos 3 evetos arciais (Ceteas, Dezeas e Uidades), será dado elo roduto das ossibilidades dos evetos arciais, isto é, 5 x 4 x 3 = 60 úmeros distitos.! 5! 5! Calculado ela fórmula teremos também: A, = A 5,3 = = =60. (-)! (5-3)! 2!

3 III) COMBINAÇÃO: Defiimos como Combiações Simles de elemetos dados, tomados a, aos agruametos sem reetição que se ode formar com dos elemetos dados, de modo que um agruameto difira ( é diferete) do outro elo meos or um dos elemetos ou ela atureza dos elemetos.! O umero de Combiações de elemetos, tomados a é dado or C, = P! (-)! Exemlo: Desejamos formar comissões de 5 aluos cada, disodo ara isso de uma classe de 30 aluos. Quatas comissões diferetes são ossíveis de serem formadas com esses 30 aluos? Resolução: Devemos cosiderar o fato que uma comissão de 5 (ou mais) aluos, a ordem ão imorta, ois os mesmos 5 aluos formarão semre a mesma comissão. Assim o úmero das comissões será igual ao úmero de subcojutos de 5 elemetos que odemos formar com os 30 elemetos do cojuto dado. Estes subcojutos são de fato o úmero de Arrajos de 30 elemetos tomados 5 a 5, elimiado os subcojutos iguais, isto é, aqueles que tem os mesmos elemetos em ordem diferete, ou seja dividido o úmero destes Arrajos or 5! 30! 30! Calculado ela fórmula teremos:c 30,5 = = = comissões. 5!(30-5)! 5! 25! C) APÊNDICE: Números Combiatórios e Biômio de Newto Fatorial de um Número Natural.: Seja um úmero Natural defiimos Fatorial desse úmero, otamos or!, ao úmero tal que: 1 se = 0! =, isto é,! = (-2) (-1) (-1)!!! se >0 Exemlos: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 1 2 = 2, 3! = = 6, 5! = = 120 Coeficietes Biomiais: Dados e aturais e sedo, defiimos Coeficiete Biomial de sobre, Notamos 1 se = 0 ao úmero defiido or: = (-1) (-2) (-3) (-+1) se 0. P! Nota: Os Coeficietes Biomiais que tem o mesmo Numerador e cuja soma dos Deomiadores é igual ao Numerador são chamados de Coeficietes Biomiais Comlemetares. Isto é, Se umerador é, os deomiadores serão e (-), ois [ + (-)] =.

4 Proriedades dos coeficietes Biomiais:! i) =! (-)! ii) = - Triâgulo de Pascal ou de Tartaglia.: O triâgulo de Pascal é uma matriz triagular cujos elemetos são coeficietes biomiais de tal forma que: a) uma mesma liha estejam os coeficietes de Numeradores iguais; b) uma mesma colua estejam os coeficietes de Deomiadores iguais. Assim: Numericamete o Triâgulo de Pascal ficaria: 1 Proriedades: i) Dois Coeficietes Biomiais eqüidistates dos 1 1 extremos são iguais. ii) A soma dos Coeficietes Biomiais situados uma mesma liha ( de umerador ) é dada or

5 Biômio de Newto.: Dados a e b IR e IN, a relação válida: (a+b) = a b 0 + a -1 b+ a -2 b 2 + a -3 b a - b a 0 b é deomiada Biômio de Newto. Esta exressão fica simlificada se utilizarmos o símbolo de Somatória (Σ), isto é, idicado a adição de um certo úmero de termos. Assim: (a+b) = Σ =0 a - b Ode se lê: Somatória de a - b, ara variado de zero até. Cetro Uiversitário da FSA FAFIL Prof.: Aastassios H.K.