ABORDANDO AS DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E MULTINOMIAL: PROPRIEDADES E UM EXEMPLO DE PROCESSO ESTOCÁSTICO

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1 2015: Trabalho de Coclusão de Curso do Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal - PROFMAT Uiversidade Federal de São João del-rei - UFSJ - Campus Alto Paraopeba Sociedade Brasileira de Matemática - SBM ABORDANDO AS DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E MULTINOMIAL: PROPRIEDADES E UM EXEMPLO DE PROCESSO ESTOCÁSTICO Jacquelie Patrícia Duarte de Oliveira 1 Telles Timóteo da Silva 2 Resumo: O objetivo deste trabalho é oferecer a aluos e professores de matemática uma fote de pesquisa que possibilite um estudo aprofudado sobre as distribuições biomial e multiomial e suas propriedades. Sem prejuízo do formalismo matemático, é possível tratar do tema de uma forma acessível a aluos do esio médio. Durate sua execução verificouse que, apesar de ser extremamete iteressate e estar itimamete ligada ao tema da Distribuição Biomial, a Distribuição Multiomial é pouco explorada os livros voltados para o esio médio. O texto procura abordar o tema pricipal iicialmete de forma ituitiva através de exemplos, prosseguido-se etão com a formalização matemática pertiete. Palavras-chave: Aálise Combiatória, Biômio de Newto, Probabilidade, Distribuição Biomial, Distribuição Multiomial 1 Itrodução A teoria de probabilidade é uma ferrameta matemática extremamete iteressate para lidar com problemas sujeitos a icertezas. Ela é de grade utilidade pois, estado presete 1 Alua de Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal, Turma 2013 Istituição: Uiversidade Federal de São João del-rei - UFSJ - Campus Alto Paraopeba jackrioacima@yahoo.com.br 2 Orietador do Trabalho de Coclusão de Curso Departameto de Física e Matemática - DEFIM, UFSJ timoteo@ufsj.edu.br

2 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 2 em vários ramos do cohecimeto humao, da ecoomia à biologia, da física à egeharia, permite avaliar, por exemplo, as chaces de sucesso ou o risco de fracasso as apostas em jogos de azar, forece estimativas sobre o resultado de uma eleição, e auxilia as previsões meteorológicas. Porém ota-se que tal tópico é raramete tratado o esio básico e, quado é trabalhado, se faz de forma superficial, limitado-se à probabilidade básica, oção de espaço amostral, eveto, uião de evetos e probabilidade codicioal. Em especial, discussões sobre a distribuição biomial aparecem em algus livros didáticos de esio médio, mas o coceito é pouco explorado e, em algus deles, há a simples apresetação da fórmula e aplicação em exercícios. Já a distribuição multiomial ão é tratada o esio básico e, mesmo o esio superior, é pouco explorada. Este trabalho almeja explorar a ideia de distribuição biomial e multiomial e suas propriedades, tratado dos assutos com rigor, mas aida de forma acessível a aluos com cohecimeto equivalete ao do esio médio. Para o professor de matemática, este texto pode servir de base para uma melhor compreesão destas distribuições. Como a compreesão da teoria de probabilidade sobre espaços amostrais discretos evolve cohecimetos de aálise combiatória, a Seção 2 trata brevemete deste tema. Nas Seções 3 e 4, discorre-se sobre aspectos gerais do Biômio de Newto e Potêcias de Poliômios que serão úteis o etedimeto das distribuições Biomial e Multiomial. Os aspectos pricipais sobre Teoria de Probabilidade aparecem a Seção 5. As Seções 6 e 7 tratam do tema pricipal deste trabalho, e a Seção 8 itroduz uma primeira oção sobre Processo Estocástico com o auxílio de propriedades da Distribuição Multiomial. 2 Aálise Combiatória É comum termos que cotar objetos. Porém, a maioria das vezes, os deparamos com situações em que eumerar os objetos se tora iviável. O uso da Aálise Combiatória os auxilia a resolução de tais situações. Com os artifícios oferecidos pela teoria da Combiatória, cálculos como a quatidade de placas de automóveis, de úmero de telefoes possíveis, úmero de comissões e vários outros problemas se toram triviais. Neste texto iremos os limitar aos coceitos básicos da Aálise Combiatória, ecessários ao etedimeto das distribuições Biomial e Multiomial. O leitor iteressado em aprofudar-se o tema pode cosultar as

3 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 3 referêcias [2, 6, 7]. 2.1 Pricípios Fudametais de Cotagem Supoha que uma pessoa queira ir de uma cidade A até uma cidade C, passado por uma cidade B, sedo que há três camihos distitos para ir de A até B, dois camihos distitos para ir de B até C e um camiho direto de A até C. Para cada maeira de ir de A até B temos duas maeiras de ir de B até C além de um camiho idepedete dos demais. Temos etão modos de ir de A até C. O Pricípio Aditivo diz que se temos m possibilidades de escolha para um eveto A e possibilidades de escolha para um eveto B etão o úmero total de possibilidades para escolher A ou B é A + B. O Pricípio Multiplicativo diz que se temos evetos com ivariâcia de escolha de modo que o úmero de possibilidades a 1 a etapa é m e o úmero de possibilidades a 2 a etapa é etão o úmero total de possibilidades de o eveto ocorrer é m [2]. Exemplo 2.1 Vamos calcular o úmero de modos distitos de uma pessoa se vestir sabedo que ela possui três calças, cico blusas e dois vestidos. Observe que para cada calça a pessoa pode escolher cico blusas diferetes, porém, escolhido um vestido, ada mais se tem a fazer. Portato, de acordo com o Pricípio Fudametal de Cotagem, basta fazer Fatorial Em grade parte dos problemas da Aálise Combiatória os deparamos com um produto de úmeros cosecutivos que decrescem até o úmero um. Poderíamos calcular o produto obtedo o resultado do mesmo, porém, além de se torar um trabalho desgastate, a maioria das vezes é desecessário. Podemos represetar tal produto utilizado a defiição de fatorial. Defiição 2.1 (Fatorial) Seja N. Defiimos o fatorial de como sedo o úmero ( 1) ( 2) , e escrevemos! ( 1) ( 2)

4 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 4 Exemplo 2.2 1! 1 2! 2 1 4! ! fato: Devemos observar que ão podemos operar com o fatorial como úmeros comus. De 2.3 Permutação simples! + m! ( + m)!! m! ( m)!! m! ( m)!! m! ( m )! Quado desejamos orgaizar objetos em posições ordeadas temos uma permutação. Permutar é siôimo de embaralhar, trocar objetos de posição [2]. Vejamos de quatos modos podemos orgaizar três pessoas em fila. Para resolver este problema vamos listar as possibilidades: ABC ACB BAC BCA CAB CBA Note que ao acrescetarmos uma pessoa a mesma situação teremos muitas maeiras mais de orgaizarmos uma fila:

5 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 5 ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA Podemos resolver o mesmo problema das três pessoas, sem listar todas as possibilidades, fazedo a cota: Já o problema com as quatro pessoas pode ser resolvido com a cota Observe que o úmero de pessoas é igual ao úmero de posições a serem ocupadas e que tem-se quatro pessoas possíveis para ocupar a primeira posição, três pessoas possíveis para ocupar a seguda posição já que uma pessoa já está a primeira posição e assim por diate. Trata-se etão de uma permutação de objetos. Teorema 2.1 Seja C {c 1, c 2,..., c } um cojuto com elemetos. O úmero de -uplas distitas que podemos formar sem repetir qualquer elemeto de C é dado por P! (1) A demostração segue do Pricípio Multiplicativo. Exemplo 2.3 De quatos modos podemos orgaizar cico pessoas em cico cadeiras efileiradas? P 5 5! Exemplo 2.4 Quatos aagramas a palavra CAMELO possui? P 6 6!

6 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA Permutação com Repetição Quado queremos calcular a quatidade de aagramas que tem uma determiada palavra, devemos observar se a mesma tem letras repetidas. Em caso positivo devemos cosiderar que uma troca de letras repetidas ão os dá um ovo aagrama. Para resolver tal problema basta dividir o úmero total de aagramas pelo produto dos fatoriais da quatidade de letras repetidas. Exemplo 2.5 Quatos aagramas tem a palavra TERRA? Se tivéssemos cico letras diferetes tratar-se-ia de uma permutação simples que resultaria em P 5 5!. Porém, a troca das letras R ão gera um ovo aagrama. Temos, etão, uma permutação com repetição que é calculada fazedo P R 2,1,1,1 5 5! 2! 60. Teorema 2.2 Sejam C {c 1, c 2,..., c } um cojuto com elemetos e i 1, i 2,..., i k úmeros aturais tais que k i j. j1 O úmero de partições distitas de C em subcojutos disjutos de tamahos i 1, i 2,..., i k é P R i 1,...,i k! i 1!i 2!... i k! (2) A demostração segue do Pricípio Multiplicativo. 2.5 Arrajo Cosideremos a seguite situação: De quatos modos podemos orgaizar cico pessoas em três cadeiras efileiradas? Preechedo as posições (cadeiras) com as pessoas dispoíveis, de acordo com o Pricípio Multiplicativo, temos: Observe que podemos completar o produto acima de forma a obter 5!. devemos acrescetar os mesmos fatores o deomiador: Mas, para isso,

7 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 7 Podemos perceber que o umerador teremos o fatorial do total de pessoas e o deomiador temos o fatorial da difereça etre o úmero de pessoas e o úmero de cadeiras. Assim, quado o úmero de objetos e o úmero de posições a serem ocupadas por eles forem diferetes, podemos completar o produto de forma a obter o fatorial. Dessa forma obteremos o deomiador o fatorial da difereça etre e p. Teorema 2.3 Sejam C {c 1, c 2,..., c } um cojuto com elemetos e p um úmero atural meor do que. O úmero de p-uplas distitas que podemos formar com distitos elemetos de C é Ver a demostração em [6]. A,p! ( p)! Observação 2.1 Nos casos em que o úmero de objetos é igual ao úmero de posições a serem ocupadas temos uma permutação,! A,. Percebemos etão que permutação é um caso especial de arrajo e eseja a discussão sobre o fato de que 0! 1, pois (3)! A,! ( )!! 0! 0! Combiação Cosideremos o seguite problema: Com cico pessoas dispoíveis quatos grupos de três pessoas podem ser feitos? Tal situação ão pode ser resolvida como um arrajo pois a troca de posição etre duas pessoas ão gera uma ova disposição. O grupo {Aa, Bia, Caio} é o mesmo que {Bia, Aa, Caio}. Podemos pesar que, detre as cico pessoas, escolhemos três (cujas formas de fazer vamos deotar por C 5,3 ) e, posteriormete, permutamos as três escolhidas ou seja, para cada três pessoas escohidas vamos permutá-las. Obtemos a seguite situação: A 5,3 C 5,3 3! o que implica De forma geral temos: C 5,3 A 5,3 3!

8 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 8 Teorema 2.4 Sejam C {c 1, c 2,..., c } um cojuto com elemetos e p um úmero atural p. O úmero de subcojutos distitos de p elemetos que podemos fazer com os elemetos de C é Demostração: C,p! ( p)!p!. (4) Seja C,p o úmero de subcojutos que podemos formar com p elemetos. Para cada subcojuto de p elemetos temos p! permutações, logo C,p p! forece o úmero de arrajos de elemetos tomados p a p: A,p C,p p! o que implica e portato C,p A,p p! C,p! ( p)!p!. Observação 2.2 As combiações C,p podem ser vistas como permutações com repetição, ode, de elemetos, um se repete p vezes e o outro p vezes: C, p! ( p)!p! P R( p),p. As combiações aparecem tão freqüetemete que elas têm uma represetação especial: os úmeros biomiais Calculemos algus úmeros biomiais: ( ) 5 3 ( ) C,p 5! 3!2! 5 4 3! 3!2! 40! 38!2! ( ). p ! 38!2!

9 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 9 Observe que ( )!!0! 1 ( )! 1 1!( 1)! ( )! 0 0!( 0)!! ( )! p p!( p)! ( 1)! 1!( 1)!! 1 ( ). p O físico e filósofo Blaise Pascal dispôs os úmeros da forma biomial uma tabela (Tabela 1) o que resultou em seguida a Tabela 2 deomiada Triâgulo de Pascal. Pode-se observar que os úmeros biomiais retoram úmeros aturais que estão associados aos coeficietes do Biômio de Newto a seguir. ( 0 0) ( 1 ) ( 1 0 1) ( 2 ) ( ( 3 ) ( 3 ) ( ( 4 ) ( 4 ) ( ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( 2 2) ) ( 3 3) ) ( 4 ) ( 4 3 4) ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) Tabela 1: Números Biomiais liha Tabela 2: Triâgulo de Pascal Os úmeros biomiais satisfazem a Relação de Stifel, dada a proposição a seguir:

10 3 BINÔMIO DE NEWTON 10 Proposição 2.1 (Relação de Stifel) Dados os úmeros aturais k e, com k, etão é válida a igualdade ( ) 1 + k 1 ( ) 1 k ( ). k Demostração: ( ) ( ) 1 1 ( 1)! + k 1 k (k 1)!( k)! + ( 1)! k!( 1 k)! ( ) 1 ( 1)! (k 1)!( k)! + 1 k!( 1 k)! ( ) k + ( k) ( 1)! k!( k)! ( 1)! k!( k)!! k!( k)! ( ). k Diversos exemplos desta relação podem ser observados o Triâgulo de Pascal. 3 Biômio de Newto As potêcias da forma (a + b) são chamadas de Biômios de Newto. Ao desevolvê-las podemos observar que os coeficietes de cada moômio são dados pela -ésima liha do Triâgulo de Pascal. (x + y) 0 1 (x + y) 1 x + y (x + y) 2 x 2 + 2xy + y 2 (x + y) 3 x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4

11 4 POTÊNCIAS DE POLINÔMIOS - TEOREMA MULTINOMIAL 11 A expasão de um biômio da forma (x + y) é o resultado do teorema a seguir, cuja demostração se ecotra em [4]. Teorema 3.1 (Biômio de Newto) Se x, y são dois úmeros reais e um úmero atural, o desevolvimeto do biômio (x + y) forece: (x + y) ( ) x y ( ) x 1 y ( ) x p y p + + p Exemplo 3.1 Vamos desevolver o biômio (a + 2b) 3 : ( ) x 0 y i0 ( ) x i y i (5) i (a + 2b) 3 a 3 + 3a 2 (2b) + 3a(2b) 2 + (2b) 3 a 3 + 6a 2 b + 12ab 2 + 8b 3 4 Potêcias de Poliômios - Teorema Multiomial Podemos os pergutar: como seria o desevolvimeto de uma potêcia de um poliômio da forma (x 1 + x x k )? Proposição 4.1 (Teorema Multiomial) Se x 1, x 2,..., x k são k úmeros reais e é um úmero atural, etão (x 1 + x x k ) i 1 i 1 0 i 2 0 Demostração: i 1 i k 2 i k 1 0! i 1!i 2!... i k 1!( i 1 i k 1 )! xi 1 1 x i x i k 1 k 1 x i 1 i k 1 k. Vamos usar idução em k. Comecemos desevolvedo o poliômio (x 1 + x 2 + x 3 ). Note que se recohecermos os termos x 1 e (x 2 + x 3 ), podemos utilizar o biômio de Newto para obter (x 1 + x 2 + x 3 ) [x 1 + (x 2 + x 3 )] ( ) x i 1 1 (x 2 + x 3 ) i 1 i 1 0 i 1 (6)

12 4 POTÊNCIAS DE POLINÔMIOS - TEOREMA MULTINOMIAL 12 Agora a última expressão etre parêteses, utilizamos ovamete a expasão do biômio de Newto, obtedo (x 1 + x 2 + x 3 ) ( ) i 1 0 i 1 i 1 i 1 0 i 2 0 i 1 i 1 0 i 2 0 Agora supoha que seja válida a expasão x i 1 1 i 1 i 2 0 ( i1 i 2 ( )( i1 i 1 i 2 ) x i 2 2 x i 1 i 2 3 ) x i 1 1 x i 2 2 x i 1 i 2 3! i 1!i 2!( i 1 i 2 )! xi 1 1 x i 2 2 x i 1 i 2 3. (x 1 + x x k ) i 1 i 1 0 i 2 0 e vamos provar que i 1 i k 2... i k 1 0! i 1!... i k 1!( i 1 i k 1 )! xi 1 1 x i x i k 1 k 1 x i 1 i 2 i k 1 k, (x 1 + x x k+1 ) i 1 i 1 0 i 2 0 i 1 i k 1... i k 0! i 1!... i k!( i 1 i k )! xi 1 1 x i x i k k x i 1 i k k+1. Note que (x 1 + x x k+1 ) [x x k 1 + (x k + x k+1 )] e podemos usar a hipótese de idução para obter: (x 1 + x x k+1 ) [x x k 1 + (x k + x k+1 )] i 1 0 i 1 0 i 1 i k 2!... i 1!... i k 1!( i 1 i k 1 )! xi 1 1 x i x i k 1 k 1 (x k + x k+1 ) i 1 i 2 i k 1 i k 1 0 i 1 i k 2!... i 1!... i k 1!( i 1 i k 1 )! xi 1 1 x i x i k 1 k 1 i k 1 0 i 1 i k 1 i k 0 ( i1 i k 1 i k ) x i k k x i 1 i k 1 k+1. de ode cocluímos o resultado.

13 5 PROBABILIDADE 13 Observação 4.1 Note que cada coeficiete de cada moômio em (6) pode ser escrito como! i 1!i 2!... i k 1!i k! P Ri 1,...,i k, ode i k i 1 i k 1. É usual, também, a seguite otação: ( )! i 1!i 2!... i k 1!i k!. i 1, i 2,..., i k 5 Probabilidade O estudo das probabilidades surgiu da ecessidade de quatificar os riscos dos seguros e de avaliar as chaces de gahar em jogos de azar. Matemáticos como Pierre de Fermat e Blaise Pascal cotribuíram com o desevolvimeto desta Teoria. Algumas referêcias para esta seção são [1, 5, 7]. 5.1 Espaço Amostral Defiição 5.1 Um espaço amostral Ω é o cojuto de todos os resultados possíveis para um experimeto. Observação 5.1 Vale ressaltar que cosideraremos aqui apeas experimetos cujos espaços amostrais são fiitos. Vejamos exemplos de espaços amostrais. Exemplo 5.1 Laçameto de uma moeda e observação da face superior: Ω 1 {cara, coroa}. Exemplo 5.2 Laçameto de um dado e observação da face superior: Ω 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 5.2 Eveto Defiição 5.2 Seja Ω um espaço amostral fiito. Qualquer subcojuto do espaço amostral é chamado de eveto. Devemos otar que um cojuto fiito Ω com elemetos tem 2 subcojutos. A classe de subcojutos de um cojuto Ω é cohecida como partes de Ω e deotada por P(Ω)

14 5 PROBABILIDADE 14 ou aida 2 Ω. Assim, o decorrer deste trabalho, os possíveis evetos relacioados com um experimeto serão elemetos de P(Ω), e reciprocamete, cada elemeto de P(Ω) é um eveto. Vejamos algus exemplos. Exemplo 5.3 No laçameto de uma moeda, algus evetos são: sair cara : E 1 {cara}; sair coroa : E 2 {coroa}. Exemplo 5.4 No laçameto de um dado, algus evetos são: sair úmero maior que 4 : E 1 {5, 6}; sair úmero primo : E 2 {2, 3, 5}. Defiição 5.3 Sejam A e B dois evetos de um espaço amostral Ω. Os evetos A e B são disjutos se A B. 5.3 Probabilidade Defiição 5.4 Seja Ω um um espaço amostral fiito e seja S P(Ω). Uma medida de probabilidade é uma fução P sobre S tal que P : S [0, 1] satisfazedo os seguites axiomas: (i) P (Ω) 1; (ii) Se A e B são disjutos etão P (A B) P (A) + P (B). Proposição 5.1 Se A é um eveto de Ω, etão P(A c ) 1 P(A). Demostração: Sabemos que A A c Ω, logo P (A A c ) P (Ω). Mas P (A A c ) P (A) + P (A c ), pois A e A c são disjutos. Além disso temos que P (Ω) 1. Portato P (A) + P (A c ) 1, dode segue o resultado.

15 5 PROBABILIDADE 15 Proposição 5.2 Se A e B são evetos de Ω, com A B, etão P(A) P(B). Demostração: Note que B é a uião dos evetos disjutos, A e B A, logo, pelo axioma (ii) da Defiição 5.4, P(B) P(A) + P(B A), o que implica P(B) P(A). Uma geeralização direta do axioma 5.4(ii) para uma uião fiita de cojutos é a seguite Proposição 5.3 Sejam A 1, A 2,..., A k evetos são dois a dois disjutos de um espaço amostral Ω. Etão k P(A 1 A 2... A k ) P(A k ). Proposição 5.4 Sejam B, A 1, A 2,..., A k evetos de um espaço amostral Ω, ode A 1, A 2,..., A k são dois a dois disjutos e tais que Ω Etão k A i. i1 P((B A 1 ) (B A 2 )... (B A k )) P(B) Demostração: Utilizado a propriedade distributiva da iterseção em relação à uião de cojutos, temos ( ( k )) P((B A 1 ) (B A 2 )... (B A k )) P B A i i1 P(B Ω) P(B). i1 5.4 Espaço de Probabilidade Defiição 5.5 Defiimos espaço de probabilidade como a tripla (Ω, P(Ω), P) ode Ω é espaço amostral, P(Ω) é o espaço de evetos e P é a medida de probabilidade.

16 5 PROBABILIDADE 16 Exemplo 5.5 No laçameto de uma moeda ão viciada observamos a face voltada para cima. Podemos defiir o espaço de probabilidade (Ω 1, P(Ω 1 ), P), ode Ω 1 {cara, coroa}, e P : P(Ω 1 ) [0, 1] atua sobre P(Ω 1 ) de forma que P({cara}) 1 2 P({coroa}) 1 2 P({cara, coroa}) 1. Exemplo 5.6 No laçameto de um dado ão viciado observa-se a face voltada para cima. Temos o espaço de probabilidade (Ω 2, P(Ω 2 ), P), ode Ω 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e a medida de probabilidade é tal que P({ω}) 1 6, ω Ω. Assim, por exemplo, P ({5, 6}) 1 3 P ({2, 3, 5}) 1 2 Exemplo 5.7 Uma moeda ão viciada é laçada três vezes. Que espaço de probabilidade pode represetar o experimeto? Vamos chamar c de cara e k de coroa. Temos: Ω 3 {(c, c, c), (c, c, k), (c, k, k),..., (k, k, k)}. Como o cojuto Ω 3 tem tem elemeto, todos com iguais possibilidades de acotecerem, etão podemos defiir P : P(Ω 3 ) [0, 1] tal que P({ω}) 1 8, ω Ω. Exemplo 5.8 Um dado ão viciado é laçado três vezes e em cada vez é observada a face voltada para cima. Que espaço de probabilidade pode represestar o experimeto? Ω 4 {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3),..., (6, 6, 5), (6, 6, 6)} Temos elemetos o cojuto Ω 4. Podemos defiir P : P(Ω 4 ) [0, 1] tal que P({ω}) 1 216, ω Ω

17 5 PROBABILIDADE Probabilidade Codicioal Em algumas situações temos iformações sobre o experimeto que alteram a probabilidade de ocorrêcia de um eveto. A esta situação damos o ome de probabilidade codicioal. Defiição 5.6 Seja (Ω, P(Ω), P) um espaço de probabilidade. Dados dois evetos A e B com P(A) > 0 defiimos a probabilidade codicioal de B dado A por P(B A) P(B A). (7) P(A) Se P(A) 0, é coveiete defiir P(B A) P(B). Exemplo 5.9 Uma moeda ão viciada é laçada duas vezes. Qual a probabilidade de se obter cara o último laçameto sabedo que foi obtido coroa em algum laçameto? Seja A o eveto sair coroa o primeiro ou o segudo laçameto e B o eveto sair cara o segudo laçameto. Etão P(A) 3 4, P(B) 1 2 e P(A B) 1 4. Logo P(B A) P(B A) P(A) Exemplo 5.10 Um dado ão viciado é laçado duas vezes e é observada a face voltada para cima. Qual é a probabilidade de se obter a soma dos dados igual a 7, sedo que em pelo meos um dos dados foi obtido um úmero primo? Seja A o eveto sair primo em pelo meos um dos dados e B o eveto sair soma igual a 7. Etão P(A) e P(A B) Logo, P(B A) P(B A) P(A) Defiição 5.7 Sejam A e B evetos de Ω. Dizemos que B idepede de A se P(B A) P(B). Note que se P(A) 0, etão B é idepedete de A. Proposição 5.5 Dados dois evetos A e B, se B idepede de A etão P(A B) P(A)P(B).

18 5 PROBABILIDADE 18 Demostração: Temos, pela defiição de probabilidade codicioal, que P(B A) P(B A). P(A) Como B idepede de A, etão dode segue o resultado. P(B) P(B A), P(A) Proposição 5.6 Dados dois evetos A e B, se B idepede de A etão A idepede de B. Demostração: Supoha que B idepeda de A, etão pela Proposição 5.5, P(A B) P(A)P(B). Caso P(B) > 0, temos que P(A B) P(A B) P(B) P(A)P(B) P(B) P(A). Caso P(B) 0, etão P (A B) P (A). Em ambos os casos, cocluímos que A idepede de B. Assim, a relação de idepedêcia etre evetos é uma relação simétrica. 5.6 Variável Aleatória Defiição 5.8 Seja (Ω, P(Ω), P) um espaço de probabilidade. Uma variável aleatória X é uma fução X : Ω R (8) ω X (ω) que satisfaz X 1 (] a, b [) P(Ω) a, b R, a < b. Observação 5.2 Uma variável aleatória é uma característica umérica de um experimeto.

19 5 PROBABILIDADE 19 Observação 5.3 Utilizamos as otações [X x i ] {ω Ω : X (ω) x i } [a X b] {ω Ω : a X (ω) b}. Assim temos, por exemplo, X 1 ([a, b]) [a X b] X 1 ({x i }) [X x i ]. Exemplo 5.11 Para o espaço amostral Ω 1 {cara, coroa} podemos defiir X 1 : Ω 1 R ω X 1 (ω) tal que X 1 (cara) 0 X 1 (coroa) 1. Exemplo 5.12 Para o espaço amostral Ω 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6} podemos defiir X 2 : Ω 2 R ω X 2 (ω) tal que X 2 (i) i, i 1, 2,..., 6. Observação 5.4 Utilizamos a otação simplificada P(X x i ) para represetar P([X x i ]). Observação 5.5 Sejam X e Y variáveis aleatórias sobre o mesmo espaço de probabilidade. A Distribuição Cojuta das variáveis X e Y é dada por P(X x i, Y y i ) P([X x i ] [Y y i ]) Observação 5.6 Dadas duas variáveis aleatórias X e Y sobre o espaço amostral Ω, utilizamos a otação P(X x i Y y i )

20 5 PROBABILIDADE 20 para represetar a probabilidade de X assumir o valor x i dado que Y assume o valor y i, isto é P(X x i Y y i ) P([X x i ] [Y y i ]) P(X x i, Y y i ). (9) P(Y y i ) 5.7 Média ou Esperaça Matemática Defiição 5.9 Seja X uma variável aleatória sobre um espaço amostral Ω fiito. Defiimos a esperaça matemática (ou média) de X por E [X] ω Ω X(ω)P ({ω}). (10) Proposição 5.7 Seja X uma variável aleatória e supoha que Im(X) {x 1, x 2,..., x }. A esperaça matemática de X pode ser calculada por E [X] x i P (X x i ). (11) i1 Demostração: Para cada x i Im(X), somado os termos X(ω)P({ω}) tais que X(ω) x i obtemos X(ω)P({ω}) x i P(X x i ). {ω Ω:X(ω)x i } Somado sobre os possíveis valores x i temos X(ω)P({ω}) i1 {ω Ω:X(ω)x i } x i P(X x i ) i1 ode o primeiro membro é igual a E[X]. Exemplo 5.13 A esperaça matemática da variável X 2 defiida o Exemplo 5.12 é E [X 2 ] 6 i1 i P (X 2 i) , 5. Exemplo 5.14 Cosideremos que o úmero de livros lidos por ao por um grupo de adolescetes é dado a Tabela 3. Uma variável aleatória X pode associar cada adolescete com o úmero de livros que leu. Para calcular a média podemos reordear os valores obtedo a Tabela 4. Observe que há a mesma probabilidade de se escolher qualquer jovem da tabela.

21 5 PROBABILIDADE 21 Alice Brua Carlos Daiel Elo Fábio Gabriela Hia Igor Jaaía Tabela 3: Quatidade de livros lidos ω Elo Jaaía Igor Alice Daiel Gabriela Hia Carlos Fábio Brua X (ω) Tabela 4: Quatidade de livros lidos em ordem crescete Calculado a média de X temos 5 2 E [X] x i P (X x i ) i1 2, 9. Uma outra variável aleatória Y pode associar cada adolescete com o idicador de ter lido mais de dois livros, como a Tabela 5. Temos ω Alice Brua Carlos Daiel Elo Fábio Gabriela Hia Igor Jaaía Y (ω) Tabela 5: Idicador de ter lido mais de dois livros E [Y ] 2 3 y i P (Y y i ) i1 0, 7. A esperaça matemática possui a propriedade de liearidade, como atesta a proposição a seguir. Proposição 5.8 Se X e Y são variáveis aleatórias sobre Ω e a R, etão (i) E[aX] a.e[x], (ii) E[X + Y ] E[X] + E[Y ] Demostração: (i) E[aX] ω Ω ax(ω)p({ω}) a ω Ω X(ω)P({ω}) ae[x]

22 5 PROBABILIDADE 22 (ii) E[X + Y ] ω Ω[X(ω) + Y (ω)]p({ω}) ω Ω X(ω)P({ω}) + ω Ω Y (ω)p({ω}) E[X] + E[Y ] 5.8 Esperaça Codicioal Defiição 5.10 Dadas as variáveis aleatórias X 0 e X 1 sobre o espaço de probabilidade (Ω, P(Ω), P) tais que: X 0 : Ω R Im(X 0 ) {r 1,..., r N0 } X 1 : Ω R Im(X 1 ) {s 1,..., s N1 } defiimos esperaça codicioal de X 1 dado X 0 como a fução E[X 1 X 0 ] : Ω R, que satisfaz N 1 E[X 1 X 0 r i ] s j P(X 1 s j X 0 r i ) (12) Proposição 5.9 Vale a igualdade j1 E[E[X 1 X 0 ]] E[X 1 ].

23 5 PROBABILIDADE 23 Demostração: De fato, temos N 0 E[E[X 1 X 0 ]] E[X 1 X 0 r i ] P(X 0 r i ) [pela Defiição 5.7] i1 ( N 0 N1 i1 j1 N 1 j1 i1 N 1 ) s j P(X 1 s j X 0 r i ) P(X 0 r i ) [pela Defiição 5.10] P(X 1 s j X 0 r i ) P(X 0 r i ) s j N 0 s j N 0 j1 i1 P(X 1 s j, X 0 r i ) [pela Defiição 5.6 e Observação 5.6]. Note que [X 0 r i ] e [X 0 r j ] são disjutos para i j e além disso, portato N 0 [X 0 r i ] Ω, i1 N 1 E[E[X 1 X 0 ]] s j P(X 1 s j ) j1 E[X 1 ] 5.9 Variâcia A variâcia os forece, apesar de estar em uma escala diferete, uma idicação do quão afastado da média a distribuição dos valores está. Defiição 5.11 Dada uma variável aleatória X sobre um espaço de probabilidade (Ω, P(Ω), P), defiimos a variâcia de X como V ar(x) E[X E(X)] 2. (13) Exemplo 5.15 Vamos calcular a variâcia da variável X cujos valores aparecem a Tabela 4. V ar(x) [1 2, 9] [2 2, 9] [3 2, 9] [4 2, 9] [5 2, 9]2. 1 5,

24 5 PROBABILIDADE 24 Proposição 5.10 A variâcia da variável aleatória X pode ser calculada por V ar(x) E [ X 2] (E [X]) 2. Demostração: De fato V ar(x) E [ (X E[X]) 2] E [ X 2 2XE[X] + (E[X]) 2] E [ X 2] 2E [XE[X]] + E [ E[X] 2] E [ X 2] 2(E[X]) 2 + (E[X]) 2 E [ X 2] (E[X]) 2. Defiição 5.12 Dada uma variável aleatória X sobre um espaço de probabilidade (Ω, P(Ω), P), defiimos o Desvio Padrão de X como DP (X) V ar(x). (14) O Desvio Padrão forece, a mesma uidade da variável aleatória X, a dispersão da distribuição dos valores de X em toro de sua média Covariâcia A covariâcia etre duas variáveis aleatórias os mostra a iterdepedêcia etre essas variáveis, ou seja, como elas se relacioam. Defiição 5.13 Defiimos a covariâcia etre duas variáveis X e Y, defiidas o mesmo espaço de probabilidade (Ω, P(Ω), P), como Cov(X, Y ) E[(X E[X])(Y E[Y ])]. (15) Proposição 5.11 A covariâcia etre X e Y pode ser calculada por Cov(X, Y ) E[XY ] E[Y ]E[X].

25 6 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 25 Demostração: De fato, desevolvedo a Equação (15) acima temos Cov(X, Y ) E[(X E[X])(Y E[Y ])] E[XY XE[Y ] Y E[X] + E[X]E[Y ]] E[XY ] E[XE[Y ]] E[Y E[X]] + E[E[X]E[Y ]] E[XY ] E[X]E[Y ] E[Y ]E[X] + E[X]E[Y ] E[XY ] E[Y ]E[X] 6 Distribuição Biomial A Distribuição Biomial é um modelo probabilístico raramete tratado os livros didáticos de esio médio. Quado o fazem são muito sucitos, basicamete apresetado a fórmula e aplicado-a. Como exemplo podemos citar Matemática de Gelso Iezzi [6], Matemática: Coceitos & Aplicações de Luiz Roberto Date [2] e Matemática: Novo Olhar de Joamir Roberto de Souza [3]. Aqui procuraremos apresetar algumas características de variáveis aleatórias biomiais, ido além do tradicioalmete ecotrado os livros didáticos. Segudo Barbetta [1] um experimeto é biomial se: (a) cosiste de esaios; (b) cada esaio tem apeas dois resultados: sim ou ão; (c) os esaios são idepedetes etre si, com probabilidade p de ocorrer sim, sedo p uma costate etre 0 e 1 (0 < p < 1) Podemos citar como exemplos: o laçameto de uma moeda só ocorre cara ou coroa, uma pesquisa ode se perguta se as pessoas aprovam ou ão um cadidato as respostas possíveis são sim ou ão. Tais experimetos são chamados de Experimetos Biomiais pois só há duas respostas possíveis para cada esaio (etapa) do experimeto. Observe os experimetos dos Exemplos 6.1 e 6.2. Exemplo 6.1 Uma moeda é laçada três vezes. Qual a probabilidade de ocorrer duas caras?

26 6 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 26 Vamos cosiderar carac e coroak e que a probabilidade de sair cara é a e coroa b 1 a. O espaço amostral do experimeto é Ω {ccc, ckk, kck, kkc, cck, ckc, kcc, kkk}. As cofigurações de amostras possíveis estão descritas a Tabela 6. o de caras cofigurações possíveis modos de orgaizar a cofiguração 3 ccc 1 ( 2 cck 3 2) ( 1 ckk 3 1) 0 kkk 1 Tabela 6: Cofigurações possíveis o Exemplo 6.1 Temos as seguites probabilidades: P(ccc) P(c) P(c) P(c) a a a a 3 P(ckk) P(c) P(k) P(k) a b b a b 2 P(kck) P(k) P(c) P(k) b a b a b 2 P(kkc) P(k) P(k) P(c) b b a a b 2 P(cck) P(c) P(c) P(k) a a b a 2 b P(ckc) P(c) P(k) P(c) a b a a 2 b P(kcc) P(k) P(c) P(c) b a a a 2 b P(kkk) P(k) P(k) P(k) b b b b 3 Observe que o somatório do resultado de todas as lihas os dá a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 3 cujos coeficietes coicidem com a liha três do Triâgulo de Pascal (da Tabela 2). Como queremos duas caras devemos cosiderar somete as lihas que têm a 2 b obtedo, o total, 3a 2 b, o que pode ser reescrito como ( 3 2) a 2 (1 a) 1.

27 6 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 27 Exemplo 6.2 Uma caixa cotém bolas azuis a proporção p e bolas vermelhas a proporção (1 p). Retira-se uma bola da caixa, observa-se sua cor e a repõe a caixa. Assim, sucessivamete, retira-se bolas da caixa. Qual a probabilidade de se obter i bolas azuis? Observe que a cada retirada da caixa só temos duas possibilidades: bola azul ou bola vermelha. O espaço amostral é Ω {aa... a, a... av,, av... v,, vv... v} Estamos iteressados o eveto sair i bolas azuis. Etão temos ( i) formas distitas de escolher i bolas azuis; p proporção das bolas azuis; (1 p) proporção de bolas vermelhas. Logo, a probabilidade de obtermos i bolas azuis é: ( ) P(i) p i (1 p) i i 6.1 Distribuição biomial e variável aleatória biomial Seja B {b 1, b 2 } e fixe 0 < p < 1. Defia Ω B. A variável aleatória biomial cota a quatidade de vezes que um determiado eveto favorável ocorre (úmero de sucessos). Defiição 6.1 A fução X : Ω R é uma variável aleatória biomial se X(ω) for igual ao úmero de b 1 s em ω. Defiição 6.2 Uma distribuição de probabilidade P segue uma distribuição biomial se ( ) P(X i) p i (1 p) i. i

28 6 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 28 Exemplo 6.3 Em uma população 20 % das pessoas são portadoras de uma certa doeça. Escolhedo cico dessas pessoas aleatoriamete com reposição, qual a probabilidade de três delas terem a doeça? A distribuição de probabilidade é biomial com 5 e p 0, 2. A probabilidade de ecotrarmos i 3 com a doeça é: ( ) 5 P(3) 0, 2 3 (1 0, 2) , 008 0, 64 0, , 12% 3 Proposição 6.1 A esperaça da variável biomial X é dada por Demostração: E [X] p. (16) De acordo com a Proposição 5.7 temos E [X] i0 i.p(x i). Utilizado propriedades de fatorial e somatório temos ( ) E [X] i p i (1 p) i i i0 i! i! ( i!) pi (1 p) i i1 i ( 1)! i (i 1)! [ i 1 + 1]! pi (1 p) i i1 ( 1)! (i 1)! [( 1) (i 1)]! pi (1 p) i i1 ( 1)! (i 1)! [( 1) (i 1)]! pi (1 p) i i1 ( ) 1 p i (1 p) i i 1 i1 1 ( ) 1 p k+1 (1 p) k 1, ode k i 1 k k0 1 ( ) 1 p p k (1 p) k 1 k k0 p [p + (1 p)] 1 p.

29 6 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 29 Exemplo 6.4 No Exemplo 6.2 vamos supor que sejam realizados 5 esaios e que a probabilidade de se retirar uma bola azul seja 40%. Seja X a variável que cota o úmero de bolas azuis. Vamos calcular a esperaça de X: E[X] p 5 0, 4 2. Proposição 6.2 A variâcia da variável X é dada por V ar(x) p (1 p). (17) Demostração: Utilizado a Proposição 5.10 vamos calcular a variâcia através da expressão V ar(x) E [ X 2] (E [X]) 2. (18) Primeiramete, para calcular o valor de E[X 2 ], aplicamos propriedades de fatorial e somatório, obtedo,

30 6 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 30 E [ X 2] ( ) i 2 p i (1 p) i i i0 i0 i1 i1 1 k0 1 k0 1 p i 2! ( i)!i! pi (1 p) i i 2! ( i)!i (i 1)! pi (1 p) i i! ( i)! (i 1)! pi (1 p) i (k + 1)! ( k 1)!k! pk+1 (1 p) k 1, ode k i 1 k! 1 ( k 1)!k! pk+1 (1 p) k 1 + k0 1 p k1 k0 k ( 1)! 1 ( k 1)!k! pk (1 p) ( 1) k + p! ( k 1)!k! pk+1 (1 p) k 1 k0 ( 1)! ( k 1)!k! pk (1 p) ( 1) k ( 1) ( 2)! ( k 1)! (k 1)! pk (1 p) ( 1) k + p [p + (1 p)] 1 1 ( 2)! p ( 1) [ 2 (k 1)]! (k 1)! p.pk 1 (1 p) ( 2) (k 1) + p k1 1 ( ) 2 p 2. ( 1) p k 1 (1 p) ( 2) (k 1) + p k 1 k1 2 ( ) 2 ( 1) p 2 p j (1 p) 2 j + p, ode j k 1 j j0 ( 1) p 2 [p + (1 p)] 2 + p ( 1) p 2 + p. Aplicado este último resultado e a Equação (16) a Expressão (18), temos V ar(x) [ ( 1) p 2 + p ] (p) 2 p [( 1) p + 1] 2 p 2 p (p p + 1) 2 p 2 p (p p + 1 p) p (1 p).

31 7 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL 31 Exemplo 6.5 Voltemos ao Exemplo 6.2, supodo 5 e p 40%. variâcia de X que cota o úmero de bolas azuis. Vamos calcular a V ar(x) p (1 p) 5 0, 4 0, 6 1, Atividade Proposta Sugerimos aqui uma atividade a ser realizada em sala de aula com aluos de esio médio. Roteiro: 1. Pesquise em toda sua escola: Você lê mais de um livro por mês? 2. Com os dados coletados, costrua uma tabela plotado a quatidade de sim e a quatidade de ão. 3. Calcule a proporção de aluos que leram mais de um livro e a proporção de aluos que leram meos de um livro. 4. Sorteado 30 aluos da escola, qual a probabilidade de se obter 10 aluos que leram mais de um livro? 7 Distribuição Multiomial A distribuição multiomial ão recebe tratameto a literatura do esio básico. Porém este é um tema iteressate, relevate, e que ão requer cohecimetos matemáticos avaçados para seu etedimeto. Uma referêcia para esta seção é o livro de modelagem estocástica de Taylor & Karlso [9]. Uma distribuição é cosiderada multiomial se: (a) cosiste de esaios; (b) cada esaio tem um úmero discreto de resultados possíveis; (c) os esaios são idepedetes etre si, com probabilidade costate de ocorrer um determiado resultado.

32 7 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL 32 Exemplo 7.1 Uma caixa cotém 5 bolas bracas, 3 bolas pretas e 2 bolas verdes. Retira-se uma bola da caixa, observa-se sua cor e a repõe a caixa. Assim, sucessivamete, retira-se 4 bolas da caixa. Qual a probabilidade de se obter 2 bolas bracas e 1 bola preta? Observe que a cada retirada da caixa temos três possibilidades: bola braca, bola preta ou bola verde. A Tabela 7 os mostra as cofigurações possíveis e a quatidade de modos de obter cada uma delas. O espaço amostral é o de bolas bracas cofigurações possíveis modos de orgaizar a cofiguração 4 bbbb 1 3 bbbv 4!/3! bbbp 4!/3! 2 bbpp 4!/(2!2!) bbpv 4!/2! bbvv 4!/(2!2!) 1 bppp 4!/3! bppv 4!/2! bpvv 4!/2! bvvv 4!/3! 0 pppp 4! pppv 4!/3! ppvv 4!/(2!2!) pvvv 4!/3! vvvv 1 Tabela 7: Cofigurações possíveis o Exemplo 7.1 Ω {bbbb, bbbp,, pppv,, vvvv}. Desejamos obter uma cofiguração da forma bbpv. Podemos observar que se trata de uma permutação de quatro letras ode a letra b se repete, ou seja, P R 2,1,1 4 4! 2! aida que a proporção de bolas bracas é 5 3, a proporção de bolas pretas é Devemos observar e a de bolas

33 7 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL 33 verdes é 2. Temos, etão, 10 P R 2,1,1 4 4! ( ) 2 ( ) 1 ( ) ! Exemplo 7.2 De forma geral podemos cosiderar uma caixa que cotém bolas bracas, bolas pretas e bolas verdes as proporções b, p e v respectivamete. Retira-se uma bola da caixa, observa-se sua cor e a repõe a caixa. Assim, sucessivamete, retira-se bolas da caixa. Qual a probabilidade de se obter i bolas bracas e j bolas pretas? Quado escolhemos as i bolas bolas bracas e j bolas pretas já estamos determiado que haverá a cofiguração ( i j) bolas verdes. Aalogamete ao Exemplo 7.1 temos P R i,j, i j! úmero de modos de orgaizar as bolas sedo i i!j!( i j)! bolas bracas, j bolas pretas e i j bolas verdes; b proporção de bolas bracas; p proporção de bolas pretas; v proporção de bolas verdes. Temos etão P(i, j, i j)! i!j!( i j)! bi p j v i j. 7.1 Distribuição multiomial e variáveis aleatórias multiomiais Sejam M {m 1, m 2,..., m t } e 0 < p 1, p 2..., p t < 1, com t p j 1. Defia Ω M. j1 Defiição 7.1 Para cada j 1,..., t, a variável aleatória multiomial X j quatidade de vezes que m j ocorre. Isto é cota a X j :Ω R X j (ω) úmero de m j em ω

34 7 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL 34 Defiição 7.2 Uma distribuição de probabilidade P segue uma distribuição multiomial se P(X 1 1, X 2 2,..., X t t )! 1! 2! t! p 1 1 p 2 2 p t t. (19) Exemplo 7.3 Uma caixa cotém 100 peças sedo 20 do tipo A, 30 do tipo B e 50 do tipo C. Retirado-se 5 peças desta caixa qual a probabilidade de se obter uma peça do tipo A e uma do tipo B? Obtedo uma peça do tipo A e uma peça do tipo B obviamete obteremos 3 peças do tipo C. Temos P(1, 1, 3) 5! 1!1!3! 0, 21 0, 3 1 0, 5 3 Proposição 7.1 Seja 0 i. A probabilidade de se obter exatamete i elemetos do tipo m j é Demostração: ( ) p i i j(1 p j ) i. (20) Vamos fazer a prova para j 1, os outros casos são aálogos. Seja A Ω o eveto em que todos os vetores ω possuem exatamete i elemetos do tipo m 1. Etão i P(A) i 2 0 i i 2 i i i t 3 i t 2 0 i i t 2 i t 1 0 p i ( 1)... ( i + 1) 1 i! i i 2 0 i i 2 i i i t 2 i t 1 0 p i! 1 ( i)i! (p 2 + p p t ) i p i! 1 ( i)i! (1 p 1) i ( ) p i i 1(1 p 1 ) i.! i!i 2!... i t 1! ( i i t 1 )! pi 1 p i p i i t 1 t ( 1)! i 2!i 3!... ( i i t 1 )! pi p i i t 1 t Note que esta proposição mostra que a distribuição de probabilidade multiomial se reduz ao caso da distribuição biomial, quado se deseja observar se um elemeto é de um tipo

35 7 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL 35 específico ou ão é. Podemos dizer etão que a distribuição biomial é um caso particular da distribuição multiomial. Pela Proposição 7.1, vemos que P(X j i) ( i) p i j (1 p j ) i, logo a esperaça de X j é dada por Decorre também que a variâcia de X j deve ser dada por Para referêcia futura, também destacamos que E[X j ] p j. (21) V ar(x j ) p j (1 p j ). (22) E[X 2 j ] ( 1)p 2 j + p j. (23) Proposição 7.2 Dadas duas variáveis aleatórias multiomiais X u e X v, com u v. A covariâcia etre X u e X v é dada por Cov(X u, X v ) p u p v. (24) Demostração: Pela Proposição 5.11 a covariâcia etre X u e X v pode ser calculada por Cov(X u, X v ) E[X u X v ] E[X u ]E[X v ]. Vamos calcular o caso em que u 1, v 2; os outros casos serão aálogos. Iicialmete calculamos E[X 1 X 2 ]. Note que as amostras que cotribuem de forma ãoula para esta média devem coter obrigatoriamete pelo meos uma coordeada m 1 e uma coordeada m 2. Também se houver i coordeadas cotedo m 1, para m 2 haverá o máximo i possíveis coordeadas. Além disso, havedo i coordeadas m 1 e j coordeadas m 2, teremos i j coordeadas para os outros elemetos m k, ou seja, P([X 1 i, X 2 j]) Em suma, tudo isto se traduz em! i!j!( i j)! pi 1p j 2(1 p 1 p 2 ) i j. 1 i E[X 1 X 2 ] ijp([x 1 i, X 2 j]) i1 j1 1 i! ij i!j!( i j)! pi 1p j 2(1 p 1 p 2 ) i j. i1 j1

36 7 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL 36 Seguem os cálculos: 1 i! E[X 1 X 2 ] ij i!j!( i j)! pi 1p j 2(1 p 1 p 2 ) i j i1 1 i1 1 i1 1 i1 1 i1 1 i1 1 i1 1 i1 j1 1 p 2 i i i! pi 1 j1 i i i! pi 1 j1 i 1 i i! pi 1 j0! j j!( i j)! pj 2(1 p 1 p 2 ) i j! (j 1)!( i j)! pj 2(1 p 1 p 2 ) i j! j!( i (j + 1))! pj+1 2 (1 p ) i (j+1) i 1 i( 1)... ( i) p i 1 i! j0 i( 1)... ( i) i! i 1 p i 1p 2 j0 ( i 1)! j!( i 1 j)! p 2 p j 2(1 p 1 p 2 ) i 1 j ( i 1 i( 1)... ( i) p i i! 1p 2 (p p 1 p 2 ) i 1 i( 1)... ( i) p i i! 1p 2 (1 p 1 ) i 1 i1 1 ( 1)p 2 i( 1)... ( i) p i i! 1(1 p 1 ) i 1 i1 i1 i( 2)... ( i) p i i! 1(1 p 1 ) 1 i 1 i( 2)! ( 1)p 2 i!( i 1)! pi 1(1 p 1 ) 1 i i0 j ) p j 2(1 p 1 p 2 ) i 1 j 2 (i + 1)( 2)! ( 1)p 2 (i + 1)!( 1 (i + 1))! pi+1 1 (1 p 1 ) 1 (i+1) 2 ( 2)! ( 1)p 1 p 2 i!( 2 i)! pi 1(1 p 1 ) 2 i i0 2 ( ) 2 ( 1)p 1 p 2 p i i 1(1 p 1 ) 2 i i0 ( 1)p 1 p 2 (p p 1 ) 2 ( 1)p 1 p 2.

37 7 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL 37 Como Cov(X 1 X 2 ) E[X i X j ] E[X j ]E[X i ] segue que Cov(X 1 X 2 ) ( 1)p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2. Observe que este resultado os idica que as variáveis aleatórias X u e X v setidos opostos. variam em Atividade Proposta Sugerimos mais uma atividade a ser realizada em sala de aula com aluos de esio médio. Roteiro: 1. Pesquise em toda sua escola: Quatos livros você lê por mês? 2. Com os dados coletados, costrua uma tabela plotado a quatidade de livros lidos da seguite forma: Meos de dois livros, exatamete dois livros ou mais de dois livros. 3. Calcule a proporção de aluos que leram meos de dois livros, a proporção dos que leram exatamete dois livros e a proporção dos que leram mais de dois livros. 4. Sorteado 30 aluos da escola com reposição, qual a probabilidade de se obter 10 aluos que leram mais de dois livros? 5. Aida sobre os 30 aluos sorteados, se X 2 é a quatidade de aluos que leram exatamete dois livros, e X 3, os que leram mais de dois livros, qual é a covariâcia etre X 2 e X 3?

38 8 SEQÜÊNCIAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MULTINOMIAIS 38 8 Seqüêcias de variáveis aleatórias multiomiais Nesta seção vamos itroduzir uma primeira oção de processo estocástico cosiderado um experimeto realizado em etapas; um experimeto que pode, iclusive, ser repetido em sala de aula. Supohamos que tehamos uma caixa C com t tipos de cores de bolas, as proporções p 1, p 2,..., p t, e uma seguda caixa D vazia. Vamos imagiar também que temos um reservatório R ode podemos ecotrar uma quatidade muito grade de todos os t tipos de cores de bolas. O experimeto cosiste os seguites passos: 1. Escolhemos uma bola da caixa C, observamos sua cor e retoramos a bola à caixa. Do reservatório R de bolas, retiramos uma bola da mesma cor, colocado-a a caixa D. Repetimos este processo vezes. 2. Esvaziamos a caixa C e derramamos o coteúdo da caixa D detro da caixa C. 3. Retoramos ao passo 1. Após repetirmos este processo um úmero grade de vezes, qual será o provável coteúdo da caixa C ao fial do processo? Para tratar este experimeto, defia X i (0) como sedo a quatidade de bolas da cor i presetes a caixa C iicialmete, e seja X i (Γ) a quatidade de bolas da cor i presetes a caixa C ao fial do passo 2 a Γ-ésima retirada. Veja a Tabela 8. Note que, como as bolas são Retirada proporção a caixa C o passo 1 proporção a caixa C o fial do passo 2 1 p 1, p 2,..., p t X 1 (1) 2 3. X 1 (1), X 2(1) X 1 (2), X 2(2).,..., Xt(1),..., Xt(2), X 2(1) X 1 (2), X 2(2) X 1 (3), X 2(3).,..., Xt(1),..., Xt(2),..., Xt(3) Γ X 1 (Γ 1), X 2(Γ 1),..., Xt(Γ 1) X 1 (Γ), X 2(Γ),..., Xt(Γ) Tabela 8: Proporções a caixa C escolhidas com reposição da caixa C, as variáveis X i (Γ) são multiomiais. Acotece, porém, que o possível valor de X i (2) depede de X i (1), o valor de X i (3) depede de X i (2), de forma

39 8 SEQÜÊNCIAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MULTINOMIAIS 39 geral, o valor de X i (Γ) depede de X i (Γ 1). Ou seja, estas variáveis possuem uma relação codicioal. Veja a Tabela 9, cujos resultados decorrem das Equações (21) e (22). Retirada Esperaça Codicioal Variâcia Codicioal 1 E[X i (1) X i (0)] X ( i(0) p i V ar(x i (1) X i (0)) X i (0) 2 E[X i (2) X i (1)] X i(1). Γ. E[X i (Γ) X i (Γ 1)] X i(γ 1) 1 X i (0) ( V ar(x i (2) X i (1)) X i (1). ) p i (1 p i ) 1 X i (1) ( ) V ar(x i (Γ) X i (Γ 1)) X i (Γ 1) 1 X i (Γ 1) Tabela 9: Esperaça e variâcia codicioais das variáveis X i. ) Podemos calcular em média o coteúdo fial da caixa C, se o coteúdo iicial seguir as proporções p 1, p 2,..., p t. Como E[X i (Γ) X i (Γ 1)] X i (Γ 1), e como, pela Proposição (5.9), E[X i (Γ)] E[E[X i (Γ) X i (Γ 1)]] etão E[X i (Γ)] E[X i (Γ 1)]. Idutivamete, é fácil ver que E[X i (Γ)] E[X i (Γ 1)]... E[X i (1)] X i (0) p i. (25) Isto mostra que, em média, se realizarmos o experimeto várias vezes, os resultados fiais para o tipo de cor de bola restate a caixa aparecerão uma proporção que replica a proporção iicial das cores das bolas. Cotudo, há mais coclusões que podemos tirar. Vamos calcular a variâcia de X i (Γ), isto é, V ar(x i (Γ)) E [ X i (Γ) 2] (E[X i (Γ)]) 2.

40 8 SEQÜÊNCIAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MULTINOMIAIS 40 Temos que E [ X i (Γ) 2] E [ E[X i (Γ) 2 X i (Γ 1)] ] [ ] 1 E [X i(γ 1)] 2 + X i (Γ 1) 1 E [ X i (Γ 1) 2] + E[X i (Γ 1)] 1 E [ X i (Γ 1) 2] + p i ode usamos ovamete a Proposição 5.9 e as Equações (23) e (25). Por idução matemática 3, obtemos E [ X i (Γ) 2] ( ) [ Γ ( ) ] Γ 1 1 [X i (0)] X i (0). Daí a variâcia de X i (Γ) será V ar(x i (Γ)) E [ X i (Γ) 2] (E[X i (Γ)]) 2 ( ) [ Γ ( ) ] Γ 1 1 [X i (0)] X i (0) X i (0) 2 [ ( ) [ Γ ( ) ] Γ 1 1 1] X i (0) X i (0) [ ( ) ] Γ 1 X i (0) 1 [ X i (0)]]. Podemos observar que, se realizarmos o experimeto diversas vezes, quato mais retiradas fizermos (Γ ), cada variável aleatória X i (Γ) terá uma variâcia cuja seqüêcia será crescete, sem ultrapassar do limite X i (0) [ X i (0)]. Isto quer dizer que os possíveis valores da proporção da bola de cor i se dispersam cada vez mais em toro da média p i, mas ão irão se dispersar demais. Em suma: Após realizarmos o experimeto uma vez, é provável obtermos ao fial apeas bolas de uma só cor. Porém se fizermos o experimeto várias e várias vezes, a cor de bola fialmete obtida irá variar de experimeto para experimeto, mas os resultados, em certa medida, estarão uma proporção que replica a proporção iicial das cores das bolas. 3 Ver Apêdice.

41 8 SEQÜÊNCIAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MULTINOMIAIS 41 Coclusão Cocluímos que a Distribuição Multiomial, que geeraliza a Distribuição Biomial, é um tema que pode ser abordado em sala de aula de esio médio com atividades práticas que facilitem sua compreesão. Ademais os coceitos matemáticos evolvidos podem ser desevolvidos com um ível de rigor acessível aos aluos do esio médio. No que tage o esio superior, acreditamos que este trabalho possa se torar uma fote de referêcia para um maior aprofudameto do tema supracitado, tato para professores de matemática quato para aluos de graduação. Agradecimetos Meus siceros agradecimetos a Deus por possibilitar a coclusão do curso, aos meus filhos Pedro e Pietra, ao meu marido Carlos Reato, aos meus pais Osmai e Atôia e a meus irmãos Osmai Jr e Michelle pelo apoio, icetivo e por compreederem os mometos de ausêcia da família devido aos estudos. Agradeço meus colegas de turma pelo apoio mútuo, aos professores do CAP pelos esiametos, à CAPES pela bolsa e ao meu orietador pela extrema competêcia, paciêcia e dedicação a execução deste trabalho. Apêdice Vamos defiir y(γ) E [ X i (Γ) 2] para cada Γ 0, 1, 2,.... Etão Afirmamos que De fato, y(γ) ( 1) y(γ 1) + X i (0). ( ) [ Γ ( ) ] Γ 1 1 y(γ) [X i (0)] X i (0). i) A afirmação é verdadeira para Γ 0, pois y(0) E [ X i (0) 2] X i (0) 2.

42 REFERÊNCIAS 42 ii) Supoha que a afirmação seja válida para Γ e vamos provar para Γ + 1. Temos que y(γ + 1) 1 y(γ) + X i(0) { ( 1 ) [ Γ ( ) ] } Γ 1 1 [X i (0)] X i (0) + X i (0) ( ) [ Γ+1 ( ) ] Γ 1 1 [X i (0)] 2 + ( 1) 1 X i (0) + X i (0) ( ) Γ+1 [ ( )] 1 ( 1) [X i (0)] 2 Γ X Γ i (0) + X i (0) ( ) [ Γ+1 ( ) ] Γ [X i (0)] X i (0). Referêcias [1] BARBETTA, Pedro Alberto, Estatística Aplicada às Ciêcias Sociais. São Paulo: Editora, [2] DANTE, Luiz Roberto, Cotexto & Aplicações. São Paulo: Ática, [3] DE SOUZA, Joamir Roberto, Novo Olhar: matemática. São Paulo: Editora FTD, [4] HEFEZ, Abramo, Elemetos de Aritmética. Rio de Jaeiro: SBM, [5] HOFFMANN, Rodolfo, Estatística para Ecoomistas, 3a.ed. São Paulo: Editora Pioeira Thomso Learig, [6] IEZZI, Gelso, DOLCE, Osvaldo, DEGENSZAJN, David & PÉRIGO, Roberto Périgo, Matemática. São Paulo: Atual Editora, [7] LIMA, Elo Lages, CARVALHO, Paulo César Pito, WAGNER, Eduardo & MOR- GADO, Augusto César, A Matemática do Esio Médio, volume 2, 6a.ed. Rio de Jaeiro: Editora SBM, [8] MORGADO, Augusto César, DE CARVALHO, Joao Bosco Pitombeira, CARVALHO, Paulo César Pito & FERNANDES, Pedro, Aálise Combiatória e Probabilidade. Rio de Jaeiro: Editora SBM, 1991.

43 REFERÊNCIAS 43 [9] TAYLOR, H. M. & KARLSON, S., A Itroductio to Stochastic Modelig. Orlado(Flórida): Academic Press, 1984.