XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treinamento 5 Nível 3

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PET MATEMÁTICA XX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução do treiameto 5 Nível 3 Problema. (OBM ) No deseho, temos AE BE CE CD. Além disso, α e β são medidas de âgulos. Qual é o valor da razão α β? (A) 3 5 (B) 4 5 (C) (D) 5 4 (E) 5 3 Resolução: Pelo euciado, AE BE CE CD. Isso sigica que os triâgulos ABE, BCE e ECD são isósceles. Assim, BÂE α, C ˆBE β e CÊD E ˆDC, pois são âgulos da base de triâgulos isósceles. Podemos etão ecotrar as medidas dos âgulos CÊD e E ˆDC: Agora, olhado para o triâgulo ABC, temos: CÊD E ˆDC 80o 20 o 2 80 o α + β + (α + β) 80 o 2α + 2β 80 o α + β 90 o Ao mesmo tempo, AÊB DÊC (pois são opostos pelo vértice). Etão α + α + 80o 80 o 2α 00 o e, assim, α 50 o. Veja que BÊC 80o DÊC 80o 80 o 00 o e, também, β + β + 00 o 80 o 2β 80 o e, assim, β 40 o. Logo, α β 50o 40 5 o 4 (Alterativa D). Problema 2. (OBM - 200) Os potos P, Q, R, S e T são vértices de um polígoo regular. Os lados P Q e T S são prologados até se ecotrarem em X, como mostra a gura, e Q ˆXS mede 40 o. Quatos lados o polígoo tem? (A) 9 (B) 8 (C) 24 (D) 27 (E) 40 Telefoe: (48) orm@pet.mtm.ufsc.br

2 XX ORM/SC Resolução do treiameto 5 Nível 3 Resolução: Primeiramete, vamos prologar o segmeto QR até que ele se ecotre com o segmeto XS. Assim, temos a gura a seguir, em que e é a medida do âgulo extero do polígoo: Note que α é um âgulo extero do triâgulo NSR e, assim, α e + e α 2e, pelo teorema do âgulo extero. Agora, podemos ecotrar o valor de e: 80 o 40 o + e + 2e 3e 40 o e 40o 3 Sabemos que o valor do âgulo extero é dado por 360o, em que é o úmero de lados do polígoo. Etão 360 o 360o e 40o 3 27 (Alterativa D). Problema 3. (OBM - 20) Os iteiros 30, 72 e N possuem a propriedade de que o produto de quaisquer dois é divisível pelo terceiro. Qual o meor valor possível de N? (A) 60 (B) 30 (C) (D) 360 (E) 6 Resolução: Vamos utilizar a otação a b sigicado que "a divide b". propriedades abaixo: Queremos que N possua as três N 30.72; 30 72N; 72 30N. Do segudo item, podemos perceber que se 30 72N, etão 5 2N. Como 5 e 2 são úmeros primos etre si, isso sigica que 5 N. Agora, do terceiro item, pelo mesmo motivo, se 72 30N, etão 2 5N e 2 N. Agora, como 2 e 5 são primos etre si, etão N é um múltiplo de 60. Note, agora, que N 60 é um valor possível, pois Como qualquer valor de N meor que 60 ão é múltiplo de 60, o meor valor possível para N é, portato, 60. (Alterativa A). Problema 4. (OBM - 202) Seja N {0,, 2,... } e cosidere a fução f : N N tal que f(0), f() 2, f(2) 0 e, para todo atural, satisfaz as seguites codições: i) f(3 ) 3 f() + ii) f(3 + ) 3 f() + 2 iii) f(3 + 2) 3 f() Etão f(202) é igual a? (A) 82 (B) 83 (C) 84 (D) 85 (E) 86 Resolução: Podemos começar observado a regra da fução dada o problema, e tetar escrever o úmero 202 em uma das seguites fomas 3, 3 + ou Etão, dividido 202 por 3, temos que Daí, pela propriedade iii) da fução, segue que f(202) f( ) 3 f(670). Telefoe: (48) orm@pet.mtm.ufsc.br

3 XX ORM/SC Resolução do treiameto 5 Nível 3 Agora, temos que ecotrar o valor de f(670), e para isso, podemos usar o mesmo raciocíio aterior. Etão, como e usado a propriedade ii) segue que, f(670) f( ) 3 f(223) + 2. Vamos ecotrar f(223). Como , usado a propriedade ii), podemos escrever f(223) f( ) 3 f(74) + 2. Agora, veja que , e usado a propriedade iii) da fução, temos que E como , pela propriedade i), seque que f(74) f( ) 3 f(24). f(24) f(3 8) 3 f(8) + 2. Fialmete, como , usado a propriedade iii) e sabedo que f(2) 0, podemos escrever f(8) f( ) 3 f(2) 0. Agora podemos calcular f(202) substituido os valores as equações obtidas acima. Segue que f(202) 3 f(670) 3 (3 f(223) + 2) 9 f(223) + 6. Aida, temos que Como temos que e por m f(223) 3 f(74) (3 f(24)) f(24) + 2. f(24) 3 f(8) (3 f(2)) + 2 2, f(223) f(202) 9 f(223) (Alterativa E). Problema 5. (OBM - 202) O úmero e, uma das costates mais importates da Matemática, pode ser deido por e 0! +! + 2! + 3! + em que 0! e para > 0. Etão, o úmero ( + ) 2 2 0! + 22! ! ! + é igual a (A) 2 e (B) 4 e (C) 5 e (D) e 2 (E) (e + ) 2 Resolução: Primeiro vamos abrir a potêcia ( + ) 2. Como ( + ) , temos que ( + ) Agora vamos separar o somatório da seguite maeira O objetivo agora é ecotrar os valores de e 2 2. Telefoe: (48) orm@pet.mtm.ufsc.br

4 XX ORM/SC Resolução do treiameto 5 Nível 3 Vamos usar a deição de fatorial para trabalhar com o ultimo somatório, isto é 2 2 ( )! 2 ( )!. Agora temos um detalhe sutil. Como estamos trabalhado com uma soma iita, o valor de vai ser muito grade, ou seja, os valores de ( )! e quado é muito grade estão muito próximos um do outro, isto é, ambos estão próximos de um mesmo valor e daí podemos cosiderar que são o mesmo. Nesse caso o valor é e. Portato ( )! e. Agora falta calcularmos 2. Veja que podemos escrever 2 e ( )!, daí camos com 2 ( )! ( )!. Mas ( ) +, ou seja ( )! ( )! + Para alizar o problema, basta sabermos quem é ( )!. ( )!. Ora, pela deição de fatorial ós temos que ( )! ( ) ( 2)!. Etão, podemos escrever ( )! ( ) ( 2)! ( 2)! e. Podemos armar o resultado acima pela mesma argumetação que zemos para dizer que ( )! e. Fialmete, podemos escrever que ( + ) e + e + 2e + e 5 e. (Alterativa C). Problema 6. (OBM - 205) Fabiaa tem 55 cubos de mesmo tamaho, sedo 0 deles vermelhos, 5 azuis e 30 verdes. Ela quer costruir uma torre empilhado esses cubos de modo que dois cubos vizihos teham cores diferetes. No máximo, quatos cubihos ela poderá empilhar? (A) 39 (B) 5 (C) 52 (D) 54 (E) 55 Resolução: Armo que é impossível Fabiaa costruir uma torre cotedo 52 cubos de forma a ateder as exigêcias euciadas. Com efeito, supoha que tal torre exista. Podemos represetar esse empilhameto sobre a forma (C, C 2,..., C 52 ), em que C é o primeiro cubo da torre, C 2 é o segudo, e assim por diate. Em virtude do fato de que dois cubos vizihos ão podem ter a mesma cor, obtemos que em cada par (C i, C i+ ), com i {, 2,..., 26}, deve haver um cubo cuja cor é diferete de verde. Isso acarretaria a existêcia de 26 cubos ão verdes, o que ão ocorre. Telefoe: (48) orm@pet.mtm.ufsc.br

5 XX ORM/SC Resolução do treiameto 5 Nível 3 É claro que isso mostra, também, que uma torre que dispõe das propriedades solicitadas ão pode ter mais do que 52 cubos. Por outro lado, tomado-se 5 cubos C i, i 5, fazedo com que C i seja: ) verde, quado i é impar; 2) vermelho se i é par maior do que ou igual a 20; 3) azul, caso i seja maior do que ou igual a 22 e par; etão o empilhameto (C, C 2,..., C 5 ) satisfaz a codição exigida pelo euciado, como se vê facilmete. Portato, o úmero máximo de cubos possíveis para a formação dessa torre é igual a 5. (Alterativa B). Telefoe: (48) orm@pet.mtm.ufsc.br