Desigualdades Clássicas

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1 Desigualdades Clássicas Márcio Nascimeto da Silva 9 de maio de 009 Resumo As desigualdades são de extrema importâcia as ciêcias. Sua utilização vai desde a estimativa de uma gradeza com um certo erro pré-defiido, passado por problemas de olimpíadas de Matemática até a demostração de grades teoremas. O presete trabalho trata de algumas desigualdades que são de grade uso a demostração de resultados a matemática, sedo, de certa forma, um trabalho bastate técico. Palavras-Chave: desigualdades, Hölder, Cauchy. 1 Médias Artimética e Geométrica A média aritmética de dois úmeros ão egativos x, y é defiida por A(x, y) = x + y já a média geométrica de tais úmeros é dada por G(x, y) = xy Um dos resultados mais utilizados tato a demostração de algus teoremas, como a demostração de outras igualdades é o seguite Teorema 1.1 Se x, y são úmeros ão egativos, etão a média geométrica deles ão é maior que sua média artimética. Ocorre igualdade das médias se, e somete se, x = y. Prova: Devemos mostrar que G(x, y) A(x, y). Sedo x, y ão egativos, podemos supor x = a e y = b. Daí, o que temos a mostrar é ab a + b Cosidere o úmero ão egativo (a b). Etão (1) (a b) 0 a + b ab 0 a + b ab a + b ab x + y xy Sedo (a b) 0 uma seteça verdadeira, segue que (1) também o é. Além disso, se x = y, temos: x = y a = b a = b (a b) = 0 a + b ab = 0 a + b = ab x + y = xy 1

2 Vejamos uma prova geométrica para o mesmo resultado. Cosidere a reta y = x e os potos O(0, 0), P (c, 0), Q(0, c), T (d, d), R(c, d), S(c, c) como mostra a Figura 1. S y=x Q T R c d O d c P Figura 1: Prova geométrica para a Desigualdade G(x, y) A(x, y). Claramete, a área do retâgulo OP RQ é estritamete meor do que a soma das áreas dos triâgulos OP S e OQT, ou seja: cd < c + d Perceba que quado aumetamos o triâgulo OQT de modo que T coicida com S, teremos isto é, quado c = d, obtemos area(op RS) = area(op S) + area(oqt ) cd = c + d Nosso próximo passo é geeralizar a desigualdade etre as médias aritmética e geométrica para úmeros ão egativos. Defiamos, pois, as médias esses casos. Sejam x 1, x,..., x, úmeros ão egativos. A média aritmética de tais úmeros é dada por e a média geométrica é A(x 1, x,..., x ) = x 1 + x x G(x 1, x,..., x ) = x 1.x..x Para verificar que G(x 1, x,..., x ) A(x 1, x,..., x ), precisaremos do seguite resultado. Lema 1.1 Se x 1.x..x = 1 etão x 1 + x x. Prova: Provemos por idução, iiciado com o caso =. Mostremos que Se x 1.x = 1, temos dois casos a cosiderar: x 1.x = 1 = x 1 + x ou x 1 = x = 1 ou x 1 1, x 1 Se x 1 = x = 1, etão, obviamete, x 1 + x =. Se x 1 1, x 1 etão devemos ter x 1 < 1 e x > 1 (oux 1 > 1 e x < 1). De fato, se ambos fossem maiores que 1, o produto seria maior que 1. Se ambos fossem meores que 1, o produto seria meor que 1. Assim, temos:

3 x 1 > 1 = x 1 1 > 0 x < 1 = 1 x > 0 e portato Por outro lado e assim (x 1 1)(1 x ) > 0 (x 1 1)(1 x ) = x 1 + x x 1.x 1 x 1 + x = x 1 x (x 1 1)(1 x ) > x 1 x + 1 = = e está provado que x 1.x = 1 = x 1 + x ocorredo igualdade somete quado x 1 = x = 1. Passemos agora à hipótese de idução, isto é, vamos supor e mostrar que x 1.x..x k = 1 = x 1 + x x k k x 1.x..x k.x k+1 = 1 = x 1 + x x k + x k+1 k + 1 Novamete, separemos em dois casos: (i) Os termos x i são todos iguais e portato iguais a 1; (ii) Os termos ão são todos iguais. No caso (i), sedo x 1 = x =... = x k = x k+1 = 1, temos obviamete x 1 +x +...+x k +x k+1 = k + 1 k + 1. Cosideremos, etão, o caso em que os termos x i ão são todos iguais. Para que o produto de tais úmeros seja exatamete 1, é ecessário que tehamos termos meores que 1 e termos maiores que 1. De fato, se todos fossem maiores que 1, o produto seria maior que 1. Se todos fossem meores que 1, o produto seria meor que 1. Vamos supor x 1 < 1 e x k+1 > 1. Etão x 1 1 < 0 e 1 x k+1 < 0, sedo o produto (x 1 1)(1 x k+1 ) positivo. Além disso, fazedo y 1 = x 1.x k+1, temos: x 1.x..x k.x k+1 = 1 (x 1.x k+1 ).x..x k = 1 (y 1 ).x..x k = 1 e pela hipótese de idução, se o produto de k termos é igual a 1, etão sua soma é maior do que ou igual a k. Em símbolos: (y 1 ).x..x k = 1 = (y 1 ) + x + + x k k Por outro lado, desevolvedo a soma x 1 + x x k+1, temos: x 1 + x x k + x k+1 = (y 1 + x x k ) + x k+1 + x 1 y 1 k + x k+1 + x 1 y 1 = k x k+1 + x 1 y 1 = k x k+1 + x 1 (x 1.x k+1 ) = k x k+1 (1 x 1 ) + (x 1 1) = k (x 1 1)(1 x k+1 ) > k + 1 Agora passemos a geeralização do Teorema

4 Teorema 1. A média geométrica de úmeros ão egativos ão é maior que a sua média aritmética. Prova: Devemos mostrar que, se x 1, x,..., x são úmeros ão egativos, etão: x1.x..x x 1 + x x Se g = x 1.x..x. Etão e portato Pelo Lema 1.1, 1 = x 1.x..x g = x 1.x..x g.g..g x 1 g.x g..x g = 1 x1 = g.x g..x g x 1 g + x g x g 1 g (x 1 + x x ) x 1 + x x.g x 1 + x x g x 1 + x x g x 1 + x x x 1.x..x Desigualdade de Cauchy Sejam a, b, c, d R. Etão (a + b )(c + d ) (ac + bd) Para demostrar tal resultado, vamos desevolver o lado esquerdo até que fializemos com a desigualdade acima. Temos: (a + b )(c + d ) = a c + b d + a d + b c = (ac) + (ac)(bd) + (bd) + (ad) (ad)(bc) + (bc) = (ac + bd) + (ad bc) (ac + bd) a desigualdade vem do fato de (ad bc) 0. Vejamos uma prova geométrica para tal desigualdade. Cosidere a Figura. Utilizado a fórmula para a distâcia etre dois potos, temos: d(o, P ) = c + d d(o, Q) = a + b d(p, Q) = (a c) + (b d) 4

5 d P b O θ c a Q Figura : Iterpretação geométrica para a Desigualdade de Cauchy. Pela lei dos cosseos, temos: d(p, Q) = d(o, P ) + d(o, Q).d(O, P ).d(o, Q). cos θ (a c) + (b d) = (c + d ) + (a + b ). (c + d )(a + b ). cos θ cos θ = (a c) + (b d) (a + b ) (c + d ). (c + d )(a + b ) cos θ = = cos θ = ac + bd (c + d )(a + b ) (ac + bd) (c + d )(a + b ) Como cos θ 1, segue que (ac + bd) (c + d )(a + b ) 1 (c + d )(a + b ) (ac + bd) Observe que ocorre igualdade se os potos P, Q, O, são colieares. A desigualdade de Cauchy pode ser geeralizada. Teorema.1 (Desigualdade de Cauchy) Dados a 1, a,..., a e b 1, b,..., b úmeros reais, temos (a 1 + a a )(b 1 + b b ) (a 1 b 1 + a b a b ) 3 Desigualdade de Hölder Podemos obter uma forma aida mais geral para o Teorema.1: Teorema 3.1 (Desigualdade de Hölder) Sejam a 1, a,..., a, b 1, b,..., b úmeros ão egativos. Se p, q são racioais tais que 1 p + 1 = 1, etão q (a p 1 + ap ap ) 1/p. (b q 1 + bq bq ) 1/q a 1 b 1 + a b a b Para demostrar tal desigualdade, vamos utilizar o seguite resultado auxiliar. 5

6 Lema 3.1 Seam p, q Q e a, b 0. Etão a p p + bq q ab Agora passemos a prova do Teorema 3.1. Sejam p, q Q tais que 1 p + 1 q = 1 e defia a = a 1 (a p ap ) 1/p Pelo Lema 3.1, temos b = b 1 (b q bq ) 1/q a p 1 p (a p ap ) + b q 1 q (b q bq ) a 1.b 1 Em seguida, defiido Também pelo Lema 3.1, temos a a = (a p ap ) 1/p b b = (b q bq ) 1/q a p p (a p ap ) + b q q (b q bq ) a.b Efim, podemos defiir e pelo Lema 3.1, teremos a p k p (a p ap ) + para todo k {1,,..., }. {1,,..., }, teremos: a k a = (a p ap ) 1/p b k b = (b q bq ) 1/q b q k q (b q bq ) a k.b k () Fazedo o somatório das desigualdades como em (), com k a p ap p (a p ap ) + bq bq q (b q bq ) 1 p + 1 q a 1.b a.b 1 a 1.b a.b a 1.b a.b a 1.b a.b Referêcias [1] BECKENBACH, Edwi. BELLMAN, Richard. A Itroductio to Iequalities. Yale Uiversity. New York, [] KOROVKIN, P. P. Desigualdades. Tradução para o Espahol, Editorial Mir,