UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DE PONTOS CRÍTICOS

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1 UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DE PONTOS CRÍTICOS INTRODUÇÃO Carlos Herique Togo e Atôio Carlos Nogueira Hoje em dia, um dos mais produtivos e atraetes ramos da Matemática é a Teoria de Sigularidades A Teoria de Sigularidades ão é uma teoria o setido axiomático usual Na verdade, é precisamete sua dimesão abragete, suas vagas froteiras e suas iterações com outros ramos, ão só da Matemática, mas da ciêcia em geral que a toram tão atraete É comum se pesar que a Teoria de Sigularidades é um descedete direto do Cálculo Diferecial e uma vez que este é ferrameta, por excelêcia, para se estudar física, equações difereciais e a geometria de curvas e superfícies é de se esperar que a Teoria de Sigularidades teha aplicações estas áreas De certa forma, a Teoria de Sigularidades é uma extesão de vasto alcace do estudo de fuções em potos de máximo e míimo; este caso as fuções são substituídas por famílias de fuções Hoje a Teoria de Sigularidades é uma das áreas mais desevolvidas da Matemática e aida muito tem a ser feito; além disso, esta teoria possui diversas aplicações em variados campos, como por exemplo, física e robótica A melhor maeira de se itroduzir a Teoria de Sigularidades é mostrado em ação uma situação cocreta, ode ão há dúvida sobre o que está ocorredo e também que requeira um míimo ecessário de cohecimeto prévio, como por exemplo, em algumas situações geométricas que de uma maeira oportua serão itroduzidas PONTOS CRÍTICOS Um dos problemas cetrais da Teoria de Sigularidades é a classificação de tipos de potos críticos; iicia-se esta seção esta classificação provado-se o Lema de Morse, que classifica potos críticos para qualquer úmero de variáveis Estes potos críticos serão chamados potos críticos de Morse CLASSIFICAÇÃO DE PONTOS CRÍTICOS Seja f :R R uma fução de classe C, isto é, uma fução que possui derivada de todas as ordes e cada uma dessas derivadas é uma fução cotíua Um poto u R é dito um poto crítico de f se as derivadas parciais de f se aulam em u, isto é, se f ( u) f ( u) f ( u) = = K = = 0, ode u = ( x, x, K, x ) Aluo do PROMAT FAMAT Orietador

2 O valor f u é etão chamado um valor crítico de f Geometricamete, potos críticos ocorrem quado o gráfico de f possui uma tagete horizotal Se =, ou seja, tem-se uma fução f :R R, os potos críticos de f são classificados como máximo local, míimo local e potos de iflexão Para =, quado f :R R, existem mais possibilidades Os mais comus são os máximos, míimos e as selas Exemplos destes casos são dados respectivamete por, f = x y ; f = x + y ; f = x y Observe que estes três casos o poto crítico é a origem Existe, etretato uma grade variedade de tipos mais complicados de fuções, ode a aálise de potos críticos ão é tão trivial Por exemplo, as fuções f x, y = x 3 3xy ; f = x ; f x, y = x y Destes três últimos a fução f x, y = x 3 3xy é a meos complicada, o setido de que o poto crítico é isolado, ou seja, suficietemete próximo a ele ão existe outro poto crítico Nos outros dois casos, a origem ão é um poto crítico isolado: o caso f = x tem-se uma reta de potos críticos e o caso f = x y têm-se duas retas de potos críticos Apesar de aparecerem em situações tão simples e corriqueiras, os potos críticos ão isolados ão ocorrem com freqüêcia as aplicações A distição mais importate, etretato, se faz etre potos críticos ão degeerados e potos críticos degeerados Defiição : Seja u R e f :R R Cosidere que u seja um poto crítico de f Se a matriz Hessiaa de f em u possui determiate ão-ulo, etão u é um poto crítico ão degeerado de f Caso cotrário, u é um poto crítico degeerado de f A matriz Hessiaa de f :R R em um poto u R é a matriz quadrada de ordem dada por, Hess f u = i j Por exemplo, se f x, y = x + y, etão Hess ( f ) = Assim, a matriz Hessiaa da fução f calculada a origem será

3 0 Hess ( f ) ( 0,0 ) = 0 Esta matriz tem determiate igual a quatro, etão a origem é um poto crítico ão degeerado da fução f = x + y Por outro lado, se f x, y = x 3xy, etão segue que Hess ( f ) ( 0,0 ) =, 0 0 cujo determiate é ulo Desta forma a origem é um poto crítico degeerado para a fução f = x 3 3xy Pode-se provar que potos críticos ão degeerados são sempre isolados, porém a recíproca ão é verdadeira O LEMA DE MORSE Os potos críticos ão degeerados são completamete classificados por um teorema, cohecido a literatura matemática como Lema de Morse Teorema (Lema de Morse): Seja u R um poto crítico ão degeerado da fução f :R R de classe C Etão existe uma mudaça de coordeadas ψ em R, isto é, uma fução ψ : U R, ode U é uma vizihaça do poto u, tal que a fução f o ψ :U R é dada por, ( f oψ )( u) = f ( u) y y K y + y + + K+ y, U para todo y = y, y, K, y, l l l Na prova do Lema de Morse faz-se uso do seguite lema, aceito sem demostração Lema : Seja f :R R uma fução de classe C em uma vizihaça da 0 origem, com f 0 = Etão existem fuções R f : R, de classe C, i =, K,, defiidas em uma vizihaça da origem tais que ( 0) f i ( 0 ) = = 0 i Agora, coloca-se o i f = xi i = fi, xi R com Lema : Seja f :R R ( como o Lema, para = )

4 Se = = = 0 f em ( 0,0), para R, etão existem fuções g, g g, defiidas em uma vizihaça de ( 0,0), tas que f = x g + xyg + y g, 3 Se f = = = = = = 0 em ( 0,0), para R, etão x y existem fuções g, g, g g, defiidas em uma vizihaça de ( 0, 0) tais que 3, f = x g + x yg + xy g3 + y g 4 f g, g ( 0, 0) f = x g + y g 3 Se é como o item, etão existem fuções, defiidas em uma vizihaça de tais que 3 Demostração: Seja :R f R tal que = = = 0 f em (,0) 0, para x, y R Pelo Lema existem fuções f : R Re f : R R defiidas em uma vizihaça da origem tais que f = xf + yf, com ( 0,0) ( 0,0) f 0,0 = = 0 e f 0,0 = = 0 Agora, pode-se aplicar o Lema à fução, obtedo-se fuções f : R R e f : R R defiidas em uma vizihaça de ( 0,0) tais que f = xf + yf Aalogamete, aplicado o Lema à fução f, tem-se f = xf + yf f = x xf + yf + y xf + yf = x f + xyf + xyf + y, portato Assim, ( ) ( ) f f + xy( f + f ) y f f = x + Desta maeira, existem fuções g,, g f, defiidas em uma vizihaça da origem em tais que f = x g + xyg + y g, que é o resultado desejado R 3 g Tem-se agora f = = = = = = 0 em ( 0,0), para x y R Do item aterior tem-se que f x ( xf + yf ) + y ( xf + yf ) ( 0) ( 0) ( 0) f 0 = = = 0 = 3 = Desta forma, por hipótese Aplicado o Lema à fução f, cosegue-se obter fuções f : R Re f : R R defiidas em uma vizihaça de ( 0, 0) tais que f = xf + yf ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) Temos f ( 0) = = = =, pois f é de classe C

5 Assim f ( 0) ( 0) = = 0, por hipótese Aplica-se, etão, o Lema à fução f ; logo se escreve f = xf + yf, ode f : R R e f : R R são defiidas em uma vizihaça de ( 0,0) Também ( 0) aplicado à fução ( 0) ( 0) ( 0) f = = = = 0, por hipótese Pelo Lema f, tem-se f xf + yf f : R R e f : 0,0 f ( 0) ( 0) ( 0) 0 = = = = 0 são defiidas em uma vizihaça de Fialmete, =, ode R R, por hipótese Etão pelo Lema escreve-se ˆ ˆ f = xf + yf, ode fˆ : R R e fˆ : R R são defiidas em uma vizihaça de ( 0,0) Daí, f = x ( x ( xf ) ) ( ( ˆ ˆ + yf + y xf + yf + y x xf + y f + y xf + yf )) Trabalhado-se esta expressão, se observa que existem fuções g, g, g g, defiidas em uma vizihaça da origem, tais que 3, f = x g + x yg + xy g3 + y g 4, como se queria demostrar 3 Tem-se f como o item aterior Desta forma pode-se escrever f da seguite maeira, f = x ( xg + yg ) + y ( xg3 + yg4 ) Etão existem fuções g, g defiidas em uma vizihaça de ( 0, 0) tais que f = x g + y g, o que demostra o item 3 A demostração do Lema de Morse será feita para o caso segue exatamete a mesma liha de raciocíio = ; o caso geral Prova do Lema de Morse, caso = : Pode-se supor, sem perda de geeralidade, que o poto crítico u R é a origem, ou seja, u = ( 0,0) Como u é um poto crítico da fução :R f R, deve-se ter = = 0 em ( 0, 0) Desevolvedo a fução f em série de Taylor, até a ordem, em toro do ) poto ( 0,0 obtém-se (ote que f é de classe C ):

6 f + = f ( 0,0) f + ( 0,0) ( y ) 0 + g ( x, ode g 0,0 = 0 e ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) x 0 + y 0 + x 0 + ( xy 0 ) são os termos de ordem superior o desevolvimeto Como f 0,0 = 0, tem-se f = f ( 0,0) + ( ax + bxy + cy ) + g, ode ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) a =, b = e c = Observe que como f é de classe C, se x y ( 0,0) ( 0, 0) tem que = logo g Note que f ( 0,0) = f ( 0,0) + g ( 0,0), logo ( 0,0) = 0 g ( 0,0) = 0 e ( 0,0) g ( 0,0) = 0 e g ; ( 0,0) ( 0,0) g ( 0, ) = + 0, logo = 0 ( 0,0) ( 0,0) g ( 0, ) = + 0, ( 0,0) g = 0 ; também Assim, g e todas as suas derivadas de primeira e seguda ordem se aulam em ( 0,0) A hipótese de que u = ( 0, 0) é um poto crítico ão degeerado de f é equivalete à codição b ac 0, uma vez que ( f ) = Hess, 0 ( 0 etão o determiate de Hess f 0, ) é igual a ac b que é diferete de zero, pois ( 0, 0) é poto crítico ão degeerado Observe que ac b 0 equivale a b ac 0 Assim, se a 0 pode-se completar quadrados a parte quadrática de f obtedo-se, b b ax + bxy + cy = a x + y + c y a a Também se c 0, tem-se ax a b b c 0, b b + bxy + cy = c y + x + a x c c Se a = c = 0, etão b 0 e assim pode-se escrever

7 No caso em que [( x + ( x ) ] b ax + bxy + cy = bxy = y a 0, faz-se a seguite mudaça de coordeadas X = x + b a y a, Y = y ac b e etão a parte quadrática de f toma a forma ± X ± Y Tem-se que a aplicação : R R dada por φ x, y = X, Y é ivertível Na verdade φ é um difeomorfismo (ver defiição abaixo) φ Fórmulas semelhates se verificam para os outros dois casos; assim deduzse que existe uma mudaça de coordeadas ψ em R (ou seja, um difeomorfismo local) tal que a composta oψ :R f R tem a forma ( x, a d ± x ± y + h, ode d = f ( 0,0) Observe que os siais ± são idepedetes e, portato existem quatro casos Também se tem que h e todas as suas derivadas de ordem e se aulam em ( 0,0) Aplicado o item 3 do Lema à fução, obtêm-se fuções h e defiidas em uma vizihaça de ( 0,0) tais que h = x h + y h e etão a expressão acima de f oψ se tora ode e h se aulam em 0,0 Para valores pequeos de h ( x, d ± x ( + h ) ± y ( + h a a ), Colocado X x ( + h ) e Y = y ( h ) + h h x e y, + h e h são ão ulos + =, tem-se que a aplicação oψ :R f R dada por ( x, a d ± X ± Y é um difeomorfismo em uma vizihaça de ( 0,0) Usado esta mudaça de coordeadas obtêm-se as seguites formas ormais: a d + X + Y a d + X Y a d X Y ode d = f ( 0, 0) Isto coclui a demostração Defiição : Um difeomorfismo é uma aplicação de difereciável, ivertível e sua iversa é difereciável R em R que é

8 Observações referetes ao Lema de Morse: Não é ecessário icluir a forma d X + Y, pois ( x, a ( y, x) é uma mudaça de coordeadas, o que sigifica que se trocado x por y e y por x se tem o mesmo resultado Os três casos do Lema de Morse correspodem, respectivamete, a um míimo, uma sela e um máximo para a fução f em ( 0,0) (figura ) 3 O Lema de Morse diz que a fução ão apeas se comporta como uma das três formas ormais acima, além disso, f é igual a uma delas a meos de uma mudaça de coordeadas o plao Máximo Míimo Sela Figura 3 PONTOS CRÍTICOS DEGENERADOS Os potos críticos ão degeerados são completamete classificados pelo Lema de Morse Quato aos potos críticos degeerados, a situação é diferete Iicia-se esta seção o estudo dos potos críticos degeerados o caso mais simples, ou seja, de uma fução f :R R Assume-se que f tem um poto crítico a origem e que f ( 0 ) = 0 Desta maeira, deve-se ter f '( 0) = 0 Pelo que foi visto, a origem é poto crítico ão degeerado da fução f :R R se, e somete se, f ''( 0) 0, uma vez que Hess ( f ) 0 = f ''(0) Pelo Lema de Morse existe uma mudaça de coordeadas ψ :R R, defiida em uma vizihaça U da origem tal que f oψ :R R é dada por ( f o ψ )( 0) = f ( 0) ± x, e como f ( 0 ) = 0 se tem que ( f oψ )( 0) = ± x Neste caso, ( f o ψ )( 0) = x, se f ''( 0) > 0 e ( f o ψ )( 0) = x, se f ''( 0) < 0 Etretato, se f ''( 0) = 0, obtém-se uma classificação mais refiada tomadose mais termos da série de Taylor de f Esta classificação, porém, ão diz ada sobre fuções tais como exp para as quais a série de Taylor é zero x

9 Nota : Cosidere a fução f :R R dada por f ( x) = exp, 0 = 0, = 0 se x e f x se x x Expadido esta fução em série de Taylor em toro do poto x = 0 obtém-se que todos os termos da expasão são iguais à zero, visto que qualquer derivada da fução f o poto x = 0 é igual à zero (a fução f defiida desta forma é cohecida como fução chata) Por esta razão se diz que a série de Taylor desta fução f é zero Lema 3: Seja q :R R uma fução de classe C tal que, ( 0 ) = q' ( 0) = q' '( 0) = = q ( 0) = 0 q K Etão em alguma vizihaça da origem, existe uma fução C ( + ) ( 0) 0 l :R R de 0 classe tal que q x = x + l x e, além disso, se q, etão l 0 Demostração: A prova é feita por idução sobre Quado = 0, o Lema se aplica e segue o resultado Para 0, usa-se o mesmo Lema para mostrar que q ( x) = x l ( x), ode l :R R é uma fução de classe C Como q é de classe C, difereciado esta relação m vezes, obtém-se que ( m ) ( m ) ( m q x = x l x m l ) + ( x) Observe que esta relação é obtida uma vez que, q' K ' ' ' '' '' '' '' ''' ( x) = l ( x) + xl ( x) ; q'' ( x) = l ( x) + l ( x) + xl ( x) ; q''' ( x) = l ( x) + l ( x) + l ( x) + xl ( x) q ( m ) ( x ) m xl ( x ) ml ( m ; = + ) ( x ) Fazedo = 0 Como a fução ' '' l K = satisfaz a hipótese de idução, tem-se que em alguma x deduz-se que ( 0 = l 0 = l 0 = = l ) ( 0) 0 vizihaça da origem, existe uma fução + l x = x l x Assim, q x = x x l x = x l x Note que, q' x = x ( + ) l x + x l' x, q' M q l ( ) '( x) = x (( + ) l ( x) + x l' ( x) ) + x ( l' ( x) ( + ) + x l' '( x) ) l :R R de classe C tal que ( + ) ( x) ( ) l ( x) ( ) x l ( x) x l ( x) x l ( + = +! + +! + ( + ) + ) ( x) ( q + ) ( 0) = ( + )! l ( 0) e daí, se ( + q ) ( 0) 0 segue que l ( 0) 0 logo, demostração, Isto coclui a ;

10 Com este Lema em mãos, pode-se euciar o Teorema : Seja f :R R uma fução de classe C, tal que ( 0 = f ' 0 = f '' 0 = = f ) ( 0) = 0 ( f ) ( 0) 0 f K, mas Etão existe uma mudaça de coordeadas sob a qual f toma a forma x, se é ímpar, e x ou x, se é par Demostração: Pelo Lema 3 tem-se que f x = x l x, com l ( 0) 0 Cosidere os casos: é ímpar: Defia h x = x l x Observe que ( ) ( x) ( l( x) ) x ( l ( x) ) ( ) = + l' ( x), logo '( 0) = ( l ( 0) ) 0 h' h, etão h é um difeomorfismo em alguma vizihaça da origem Além disso, se tem que ( h ( x) ) = x l ( x) = f ( x) ( f h )( x) = f ( h ( x) ) = x ( ) f y = h y, logo ( f h )( x) = ( h ( ) = h h ( x) = ( Id x ) = x composta Desta maeira segue que a o, visto que colocado y = h x, tem-se ( o é par: Têm-se duas possibilidades: 0 x h ( x) x ( l ( x) ) a) l x >, : este caso, defie-se como o item, isto é, f se trasforma em x =, e o resultado segue 0 x ( ) ) ( ) = ( ) b) l x <, : este caso defie-se h x = x l x Desta maeira h ( x) = x ( l x ) = x ( l ( x) ) = f (x) Assim, tem-se que a composta f o h x = f h x = x, visto que colocado z h x, tem-se f z = h z, logo ( f o h ) ( x) = f ( h ( x) ) = h ( z) = h h ( x) ( = Id ( x) Estes dois casos cocluem a demostração = x O Lema de Morse (teorema ) e o teorema motivam uma importate oção Defiição 3: Sejam u R, u R, U R, U R, ode U,U são vizihaças dos potos u, u, respectivamete Diz-se que f :U R e f R são fuções R - equivaletes se existirem vizihaças V, com :U u V, i =,, um difeomorfismo h : V V e uma costate R i i f ( u) = f ( h ( u) ) + c, u V e i U i h u = u c tal que Nota : Seja u R Etão f :, u deota uma fução defiida em alguma vizihaça de alguma vizihaça de 0 R 0 R u 0 u 0 Duas tais fuções são equivaletes se elas coicidem em

11 A seteça, f g as fuções f e g coicidem em uma vizihaça de, é uma relação de equivalêcia (é reflexiva, simétrica e trasitiva) As fuções que se relacioam com f segudo, formam uma classe de equivalêcia que é chamada um germe de f em u 0 Defiição 4: Supoha que f :, t R seja A - equivalete a ± x + R 0 A t0 Etão, para 0, dizemos que f tem tipo em, ou uma A sigularidade em t 0 Por exemplo, tipo A sigifica simplesmete que f '( t0 ) 0 0 Um dos problemas cetrais a Teoria de Sigularidades é classificar fuções segudo R -equivalêcia Um exemplo disto já foi feito o Lema de Morse, ode uma fução f defiida em uma vizihaça de um poto crítico ão degeerado é R - l l + equivalete à fução g dada por g = y K y + y + K+ y u 0 No teorema, se tem que uma fução ula é equivalete a ± x para algum f :R R com série de Taylor ão Como existe o Lema de Morse para potos críticos ão degeerados, também se tem um resultado para os potos críticos degeerados, que permite ecotrar formas ormais para uma fução f em uma vizihaça de tal poto em dimesões maiores que Este resultado é cohecido como Splittig lemma e é euciado a seguir Teorema 3 (Splittig lemma): Seja f :R R uma fução de classe C, com derivadas parciais de primeira ordem iguais a zero a origem e cuja matriz Hessiaa a origem tem posto r Etão f é R -equivalete, a origem, a uma fução da forma ( x, x ) ± K ± xr + g r + K ± x,, ode R r g : R é uma fução de classe C Este teorema mostra que o comportameto de uma fução próximo a um poto crítico degeerado pode ser determiado estudado-se uma fução evolvedo um úmero de variáveis meor (igual a r : este úmero é chamado o coposto (ou cora) de f ) Esta redução do úmero de variáveis é que tora o Splittig lemma tão útil e surpreedete Exemplo: Seja uma fução f : R R, com a origem sedo um poto crítico degeerado; sob certas codições pode-se mostrar com o auxílio do Splittig lemma, que esta fução é R-equivalete a uma das seguites formas ormais:

12 3 a x xy ( umbílico elíptico) 3 3 a x + y ( umbílico hiperbólico) 4 a x y + y ( umbílico parabólico) Umbílico elíptico Umbílico hiperbólico Figura Umbílico parabólico Referêcias Bibliográficas [] Bruce, JW e Gibli, PJ; Curves ad Sigularities; Seguda edição; Cambridge Uiversity Press; 99 [] Teeblat, Keti; Itrodução à Geometria Diferecial; Editora Uiversidade de Brasília; 988 [3] Sauders, PT; A Itroductio to Catastrophe Theory; Cambridge Uiversity Press; 980