2.ª FASE 2018 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A ª FASE PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

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1 EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A 08.ª FASE PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Site: Facebook: EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A.ª FASE 08 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

2 CADERNO... Cosideremos a seguite figura: 0,94 0,94 0,94 A variável aleatória X tem distribuição ormal de valor médio e desvio padrão, pelo que: 0,94 P X 0,94 Logo, P X 0,07, pelo que P X 0,07 0,977 0,977. Resposta: C.. Tem-se que ACB ˆ 80º 8º 7 º 4º. Assim, pela Lei dos seos, vem que: ACB ˆ ABC ˆ se se se 4º se 8º se 4º AB se 8º se 4º AB,9 AB AC AB se 8º Resposta: C. Sejam B e F os acotecimetos: B : «o atleta escolhido pratica basquetebol» e F : «o atleta escolhido pratica futebol» Pelo euciado tem-se que P B, PF PF e que P B F. 4 Para mostrar que eiste pelo meos um atleta que pratica as duas modalidades, basta mostrar que PB F 0. Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

3 Tem-se que F PF P B 9 P B F PB F PB F. 4 P F Mas, PB F PB F PB F PB PF PB F, pelo que: PB F PB PF PB F PB F PB F 9 PB F 9 PB F Portato, como PB F 0, eiste pelo meos um atleta que pratica as duas modalidades.... Para o primeiro caracter temos cico hipóteses, uma das cico vogais. Para os restates três caracteres temos de escolher três algarismos etre os ove dispoíveis. O úmero de maeiras de o fazer é 9 C. Para cada uma destas maeiras, os três algarismos escolhidos permutam etre si de! maeiras distitas. Logo, o úmero de códigos as codições do euciado é C! A Resposta: D.. O úmero de casos possíveis é 4 4, pois para cada caracter eistem catorze hipóteses. Para o úmero de casos favoráveis temos de cotar todos os códigos de quatro algarismos distitos cujo produto ímpar. Para que esse produto seja ímpar é ecessário que todos os algarismos escolhidos sejam ímpares. Assim, dos cico algarismos ímpares escolhem-se quatro; o úmero de maeiras de o fazer é C 4. Para cada uma destas maeiras, os quatro algarismos escolhidos permutam etre si de 4! maeiras distitas. Logo, o úmero de casos favoráveis é C 4! A. 4 4 Portato, a probabilidade pedida é dada por A4. 0, As coordeadas do poto P são da forma,, P esférica dada, vem que: P z, com z 0. Assim, como o poto P pertece à superfície zp zp zp zp p z z z 4 z P P P P Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

4 Como 0 p z, vem que,, 4 P. Um vector director da recta r é r 4,,, pelo que um vector ormal a um plao perpedicular à recta r é r e portato, uma equação do plao perpedicular à recta r que cotém o poto P é: 4 y z y z y z Tem-se que C,, e A,,, pois A é o simétrico de C em relação ao plao Oy. A amplitude do âgulo AOC é igual à amplitude do âgulo etre os vectores OA e OC, pelo que: cos AOC ˆ cosoa OC OAOC,,,, i OA OC ),,,, Portato, AOC ˆ ˆ cos AOC arccos 48º i) OA A O,, 0,0,0,, e OC C O,, 0,0,0,,. A distâcia de mercúrio ao Sol quado o âgulo aumeta para o triplo é dada por d determiar 0,0º de modo que d d 0,0d d 0,97d 0,97 0,97 0, ,06cos 0,06cos Assim, d d d d. Assim, pretede-se Recorredo ao editor de fuções da calculadora, defie-se y d d a jaela 0,0, 0,97 : y 0,97 y d d O a 0º 0º d 0,97d 0 a, com a 0º. Assim, Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 4

5 6. A fução f é derivável em 0, pelo que, como o gráfico de f tem um úico poto de ifleão, a sua abcissa será ecessariamete o zero da seguda derivada de f, f. tg, vem que: cos Assim, como f f 0 0 cos cos arccos 0,96 cos cos 0, cos 0 7. Seja r, com r, a razão da progressão aritmética u. Tem-se que: Resposta: D u u r u u r u 4 r u 4 u u 9r u 4 9r u 4 u u Portato, como S, vem que: 4 r 4 9r 74 S r r 8 7r 9 8 r r 6 7 Logo, como o termos geral da progressão aritmética u é dado por u 4 9 u u r, vem que: Vejamos etão se eiste um tal que u 7: 76 u é o termo de ordem 79 da progressão aritmética u. 8. Cosiderado z C o úmero compleo cujo afio é C, pelo que z z C. z C e z são raízes de ídice de um certo úmero compleo, z e portato Mas C z z C. Resposta: A Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução

6 CADERNO Vamos começar por represetar a região admissível deste problema de Programação Liear: y C 0,0 O B, A,0 y 0 y 0 Tem-se que: 0 0 y 0 y 0 C0,0 y 0 itersecta o eio Oy o poto C 0,0 ; a recta de equação y 0 y B, y 0 e itersectam-se o poto B, ; as retas de equações Para L 0, tem-se que 0 y y. A reta de equação y, reta de ível 0, ão é paralela a ehum dos lados do polígoo OABC e portato a solução óptima deste problema é atigida um dos seus vértices. Assim: Vértice L y A,0 L 0 B, L 40 C 0,0 L O valor máimo que a fução objectivo alcaça a região admissível dada pelo sistema é 0. Resposta: B Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 6

7 9.. Tem-se que: FF c (distâcia focal), pelo que FF c c 6 PFPF a (eio maior), pelo que PF PF 0 a 0 a 0 a b c 0 b b b 64 A equação reduzida da elipse é da forma a 00 e b a y b 64, a equação reduzida da elipse é 0. Tem-se que 4 4, sedo a o semi-eio maior e b o semi-eio meor. Assim, como y Resposta: B i i i i i i i i i i i, pelo que: i i 4 4i i i 4 i z i i i i 4 8i i 6i 4 i 6 0 i i i i i i i i 4i Logo, z i i 4 i i i i i i i Escrevedo z a forma trigoométrica vem: z i sedo um argumeto de z, tem-se tg, com.ºq, pelo que. 4 4 i 4 Logo, z i e. Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 7

8 . A recta r é tagete à circuferêcia de cetro a origem o poto A, pelo que é perpedicular à recta OA: y A, O r Como OA A O, 0,0,, pelo que moa e portato m r. m OA Logo r : y b, sedo b a sua ordeada a origem. Como o poto A pertece à recta r, substituido-o a sua equação, vem b b.. Resposta: B.. Fazedo a itersecção dos três plaos, vem que: y y y y y z y z y z y z y z 0 y y y 0 y y 0 0 PF.. Logo, a itersecção dos três plaos é o cojuto vazio. Sistema impossível Resposta: D.. Tem-se que: lim lim lim e lim e e e e lim 4 Resposta: D Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 8

9 . Tem-se que: D : : 8 : 8,8 Neste domíio, tem-se: log log 8 log log 8 log log 8 log 8 log Cálculo auiliar: Assim, como a fução y baio, o cojuto solução da iequação 7 é quadrática e o seu gráfico, que é uma parábola, tem a cocavidade voltada para é,0 7, 7 0 : 0 7 y 7 Como o domíio de validade da iequação é,8, fazedo a itersecção vem: O cojuto solução da iequação dada é,0 7,,8,0 7, Tem-se que 0 e f 0 4, pelo que: 0 e e e 4 f f 0 0 lim lim lim lim e f lim e lim lim e lim lim 0 0 Limite otável Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 9 0 0

10 4.. Tem-se que: e e e 0 0 lim f lim lim 0 Logo, a recta de equação y é assimptota horizotal do gráfico de f, quado. l l l l lim f lim lim lim lim lim Limite otável Logo, a recta de equação y 0 é assimptota horizotal do gráfico de f, quado. 4.. Tem-se que f h f h. Assim, como h, vem que h h ( h tem iversa, por ser bijectiva) Logo, l f h f h f l 0. Resposta: C. Uma reta tagete ao gráfico de g um dado poto tem declive máimo, se a abcissa do poto a derivada de g tem um máimo absoluto. Tem-se: g cos se se cos se cos cos se se g se cos se cos g 0 se cos 0 cos se cos se Como se cos, vem que: cos se cos cos k k, k k k, k k k, k 6 Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução 0

11 Assim, se k 0, etão se k, etão ; 0, e 0, 6 6 ; 0, e 0, se k, etão 4 ; 0, se k, etão 6 ; 0, 6 Portato, os zeros de g que pertecem ao itervalo 0, são e. 6 6 Recorredo a uma tabela de variação do sial de g, vem: * g 0 0 g mí. má. mí. má. Assim, como: g cos se 6 6 cos se 0 e g o máimo absoluto da fução g é Nota:, pelo que o declive da recta r é. tem-se que, 6 6 se cos cos 4 g 0 ; e g tem-se que 0 0, 6 e g g 0 se 0 cos ; tem-se que, 6 e g g se cos F I M Eame Nacioal Matemática A 08.ª Fase Proposta de Resolução