Acesso de Maiores de 23 anos Prova escrita de Matemática 29 de Junho de 2011 Duração da prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

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1 Versão A Acesso de Maiores de aos Prova escrita de Matemática 9 de Jho de 011 Dração da prova: 150 mitos. Tolerâcia: 0 mitos. Primeira Parte As oito qestões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada ma delas são idicadas qatro alterativas, das qais só ma está correcta. Escreva a folha de resposta a letra correspodete à alterativa qe seleccioar para respoder a cada qestão. Se apresetar mais do qe ma resposta, a qestão será alada, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível. Não apresete cálclos. 1. Qatro livros de história, seis livros de filosofia e dois de matemática devem ser arrmados ma prateleira de ma biblioteca. De qatas formas diferetes se pode fazer a arrmação se os livros de cada disciplia ficarem jtos? A) 4 6 B) 4! 6!!! C) 4! 6!! D) 4! 6!!. Seja Ω o espaço de resltados associado a ma determiada eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos (A Ω e B Ω). Sabe-se qe: - P (A) = 0. - P (B) = P (A B) = 0.4 (P desiga probabilidade) Qal é a probabilidade de se realizar pelo meos m dos acotecimetos A e B? A) 0.4 B) 0.04 C) 0.6 D) Cosidere cico potos do plao escolhidos de forma qe ão haja, etre os cico potos, três qe sejam colieares. Qatas rectas diferetes podemos defiir com estes potos? A) 10 B) 0 C) 5 D) 15

2 4. Cosidere a fção real, de variável real, defiida por ϕ() = cos( ). A epressão de ϕ () é igal a A) se( ) B) (1 ) se( ) C) 1 se( ) D) se( 1) 5. O gráfico da figra represeta, m certo itervalo, a derivada da fção ψ. Qal das segites afirmações é verdadeira? A) ψ é moótoa. B) ψ tem míimo local em a. C) ψ tem máimo local em b. D) ψ tem míimo local em c. 6. Cosidere a fção real, de variável real, defiida por l( + 1), se 0 ζ() = l( + 1), se > 0. Cosidere a scessão de termo geral = 1. Qal é o valor de lim ζ( )? + A) 0 B) 1 C) + D) ( ) π 7. O úmero compleo z = cis 4 + θ é m úmero real positivo se A) θ = π 4 B) θ = π 4 C) θ = 5π 4 D) θ = 7π 4 ( π ) 8. Se z 1 = + 4 i e z = cis, etão z 1 z é igal a: 5 A) 14 B) 4 C) 10 D) 9

3 Segda Parte Nas qestões desta segda parte, apresete o se raciocíio de forma clara, idicado todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. 9. Cosidere os úmeros compleos z 1 = ( π ) cis e z = 1 + i. a) Determie o úmero compleo w = i + z 1. Apresete o resltado a forma trigoométrica. z ( π ) b) Sabedo qe cos = 1 ( π ) e se =, calcle z 1 + z (ão ecessita de simplificar). 10. a) Em Portgal as matríclas dos carros têm m grpo de das letras etre dois grpos de dois algarismos. As letras e os algarismos pode ser igais o diferetes. Com este processo de costrir matríclas qatas diferetes se podem formar? (Nota: cosidere qe o alfabeto tem letras) b) Mostre qe C k = C k qaisqer qe sejam os úmeros atrais e k com k. 11. Um saco cotém 10 bolas azis, 5 verdes e pretas. Cosidere qe se retiram, sem reposição e scessivamete, 4 bolas do saco. a) Qal é a probabilidade de tirar a segite seqêcia de bolas: azl, azl, verde, verde? b) Qal é a probabilidade de tirar pelo meos ma bola azl? 1. Seja a R. Cosidere a fção real de variável real defiida por l( + 1) + a, se < 0 f() = + 1, se 0. a) Determie o domíio de f. b) Determie a de modo qe f seja cotía em = 0. c) Mostre qe f tem m, e m só, zero o itervalo ]0, 1[. 1. Cosidere a fção real de domíio R + defiida por g() = a) Recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, mostre qe g tem m, e m só, míimo local. b) Mostre qe o gráfico de g tem ma assímptota oblíqa e determie a eqação redzida dessa assímptota.

4 14. Na figra, A, B e C são colieares, O é a origem das coordeadas, B = (1, 1), O, B, D e E são vértices de m qadrado, A e D estão sobre o eio das ordeadas e C e E sobre o eio das abcissas. é a amplitde, em radiaos, do âglo OCA ( ]0, π [ ). a) Calcle a área do triâglo [BEC] em fção de tg(). b) Calcle a área do triâglo [ADB] em fção de tg(). c) Mostre qe a área do triâglo [AOC] é epressa por A() = 1 + tg() + 1 tg(). 15. Em determiado mometo é despejado m polete m crso de ága. Após t horas de ter sido despejado, a cocetração do polete m poto de cotrolo é dada, em mg/l, pela epressão C(t) = t e 0.t a) Calcle lim t + C(t). Qal o sigificado deste valor o coteto da sitação apresetada? b) Determie ao fim de qatas horas se verifica a cocetração máima o poto de cotrolo.

5 Cotações Primeira parte Cada resposta certa Cada resposta errada Cada qestão ão respodida o alada Segda parte a) b) a) b) a) b) a) b) c) a) b) a) b) c) a) b) Total

6 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) = ρ cis (θ ) 1 Diagoal maior Diagoal meor Base maior + Base meor 1 α r tg a + tg b 1 tg a. tg b θ+kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., 1} Probabilidades µ = p + + p 1 lim 1 + = e se lim = 1 0 l( + 1) lim = 1 0 l lim = 0 + lim e 1 lim = 1 0 e p 1 1 σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 687 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 997 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v 1 ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} 1 ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} 1 ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 65.V1 Págia 4/ 11