Proposta de teste de avaliação

Transcrição

1 Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 miutos Data:

2 Cadero (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetifica a opção escolhida. Na resposta aos restates ites, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato.. O úmero de pessoas de uma certa comuidade que tiveram cotacto com uma otícia falsa, em milhares, t dias após ter sido colocada uma rede social, é dado, aproimadamete, por: N t ke Sabe-se que o istate iicial a otícia foi lida por 0 pessoas dessa comuidade... Mostre que k 99. t.. Quatos dias decorreram até que três mil pessoas da comuidade tivessem cotactado com a otícia? Apresete o resultado arredodado às uidades..3. De acordo com este modelo e com o decorrer do tempo, 80% das pessoas da comuidade virão a ter cotacto com a otícia. Quatas pessoas fazem parte desta comuidade?. Uma fote de água com caudal variável começou a echer um reservatório com a forma de um cubo com 3 metros de aresta, às 9 horas de determiado dia. A altura da água o reservatório, em metros, thoras após as 9 horas é dada por l h t t. O caudal da fote, ou seja, a taa de variação do volume da água o depósito, às horas desse dia é dado por: (A) 0,5 metro cúbico por hora (C) 75 litros por miuto (B) 500 litros por hora (D) 4500 litros por miuto.

3 3. Se M represetar a magitude de um sismo a escala de Richter e I a itesidade desse sismo (metade da oda de choque desse sismo registada por um sismógrafo em determiadas codições) etão log I M S sedo S a itesidade de um terramoto padrão usada para comparação. 3.. A magitude de um terramoto de itesidade 00S é: (A) 0 (B) (C) (D) Sabe-se que: O terramoto de Lisboa de 755 teve magitude M 8,7 e itesidade I. Em fevereiro de 969 ocorreu em Portugal um sismo de magitude M 8 e itesidade I. Sabedo que I k I, determie o valor de k arredodado às uidades. 4. Um capital de euros foi colocado um baco à taa aual omial de,8% o regime de juros compostos e com capitalizações trimestrais. Qual é, com aproimação às cetésimas do euro, o capital acumulado ao fim de um ao? (A) 08, (B) 080,00 (C) 08,08 (D) 08,49 Fim do Cadero COTAÇÕES (Cadero ) Item Cotação (em potos)

4 Cadero (ão é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetificam a opção escolhida. 5. Na figura está represetada uma semicircuferêcia de cetro o poto O e raio. C Q r Sabe-se que: R A O S B P AB é um diâmetro da semicircuferêcia: o poto C pertece à semicircuferêcia e a reta r passa o poto C e é paralela a AB; OC é perpedicular a AB ; o poto P se desloca sobre o arco BC, uca coicidido com B em com C; a reta OP iterseta a reta r o poto Q; a reta AP iterseta o segmeto de reta OC o poto R; o poto S pertece ao segmeto de reta OB e é tal que o segmeto [SP] é paralelo ao segmeto OC. Para cada posição do poto P, seja a amplitude, em radiaos, do âgulo BOP 0, e seja A a área do triâgulo [OQR]. 5.. Justifique que os triâgulos ASP e AOR são semelhates e coclua que si OR. cos 5.. Mostre que A cos. cos 5.3. Estude a fução A quato à mootoia e determie o seu cotradomíio, isto é, o cojuto de valores que a área do triâgulo [OQR] pode tomar. 4

5 6. Na figura está represetada, em referecial Oy, parte do gráfico da fução f, de domíio R, defiida por f 4e. y f t b a O Na figura está também represetada a reta t, tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa. A reta t iterseta o eio O o poto de abcissa a e o eio Oy o poto de ordeada b. Quais são os valores de a e b? (A) a e b (B) a e b (C) a e b (D) a e b 7. Cosidere, para um certo úmero real k, a fução g, de domíio R, defiida por g k se 0 k e e l( ) se Determie k sabedo que a fução g é cotíua em Estude a fução g quato à eistêcia de assítota ao respetivo gráfico em. 8. Cosidere a fução f, de domíio R \ 0, defiida por Seja uma sucessão tal que lim f. e f. Qual das epressões seguites pode ser o termo geral da sucessão? (A) e (B) l (C) Fim da prova l COTAÇÕES (Cadero ) (D) e Item Cotação (em potos) TOTAL (Cadero + Cadero ) 00 5

6 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: r ( amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio) Áreas de figuras plaas Polígoo regular: Semiperímetro Apótema Setor circular: r ( amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio) Probabilidades p p p p Se X é N,, etão: P X, P X 0, 9545 P 3 X 3 0, 9973 Áreas de superfícies Área lateral de um coe: r g (r raio da base; g geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 r (r raio) Volumes Pirâmide: Área da base 3 Altura Coe: Área da base 3 Altura 3 Esfera: 4 r (r raio) 3 Progressões Soma dos primeiros termos de uma progressão (u): Progressão aritmética: u u Progressão geométrica: r u r Trigoometria si cos a b si a cos b si b cos a a b cos a cos b si a si b si A si B si C a b c a b c bccos A Compleos i i cis cis ou e e k k i cis cis ou e e k 0,..., e N Regras de derivação u v ' u' v' u v ' u' v u v' u u' v u v' v v u ' u u' R si u ' u' cos u cos u ' u' si u u' cos u ta u ' u e u' e u u u a u' a I a a R \ u' I u u u' u I a log u a R \ a Limites otáveis lim si lim 0 e lim 0 I lim 0 e lim p e N pr 6

7 Proposta de resolução. Nt ke.. 0 0,0 milhares t Cadero.. N00,00,00,0 0 ke k 0,00,0k 0,000 k k,99 0,0k 0 k 0 0, 0k,99 k,99 k k k 99 0,0 N t e t 0 99e t 3 99e t t 33597e t t e 9 e t l t 5,99 t 5, Decorreram seis dias. lim N t lim 99e 990 t lim e t 0.3. Com o decorrer do tempo, de acordo com este modelo, 000 pessoas da comuidade virão a ter cotacto com a otícia. Seja o úmero de pessoas da comuidade: 000 0, ,8 Fazem parte da comuidade cerca de pessoas.. htlt l t h t t t t t Às horas correspode t 3. h 3 0,5 3 4 A taa de variação da altura da água, às horas, é 0,5 m/h. 7

8 A uma altura de 0,5 metro de água correspode um volume de ,5 m 4,5 m 3 3 4,5 m 4500 dm 4500L Portato, a essa hora, a taa de variação do volume de água o reservatório é de 3 4,5 m por hora, ou seja, 4500L por hora. 60 mi 4500 L mi Às horas desse dia a fote tem um caudal de 75 litros por miuto. Resposta: (C) 3 3 0, log I M S e I 00S 00S M S log log00 log0 Resposta: (C) 3.. M 8, 7; M 8 M I S log I S I S 8,7 8,7 8,7 log 0 0 M I S log I S I S 8 8 8log 0 I S0 8,7 8,7 8 S0 I k I S0 k S0 k 8 S0 k k k 8,78 0, I S r 4. C C0 00 C , 4, r,8,8 C , 004 Resposta: (A) 4 8

9 5. Cadero 5.. Dado que OP, temos SP si e OS cos Os triâgulos ASP e AOR são semelhates atededo a que são triâgulos retâgulos com um âgulo agudo comum. Etão: R C Q r A O S B P OR SP AO, ou seja AS OR si OR si cos cos base altura 5. Área OR CQ OQR si CQ CQ cos ta CQ OC si cos si cos cos Área OR CQ OQR A cos si cos cos cos 5.3. A cos coscoscoscos cos cos si cos cossi cos sisicoscossi cos si si cos cos Temos que si 0 cos 0 para todo o 0,. e Logo, para todo o 0, A pelo que a fução A é estritamete decrescete., 0 9

10 cos cos0 lim A lim 0 0 cos cos0 4 cos cos 0 lim A lim 0 cos 0 cos 0 A 0 A 4 ց 0 Como a fução é cotíua, podemos cocluir que D A 0, 4 6. f f 4e 0 4e 4e 4 4 f 4 e 4 e e Seja y m buma equação da reta t. Poto de tagêcia: A,4 0 e e m f Equação da reta t: y4 y 4 y A ordeada a origem é. Logo, b. y 00 A reta t iterseta o eio O o poto de abcissa. Logo a. Resposta: (B) 0

11 7. g k se 0 k e e l( ) se g é cotíua em 0 se eistir lim g k k k lim g lim lim lim lim e e e e e e k k k 0 0 k k k k lim lim 0 k e 0 k k e k 0 e. k y k lim y 0 y y k e k e lim y0 y y k Se 0, y 0 k k k k lim g lim l( ) 0 l 0 l 0 g Para que eista lim g é ecessário e suficiete que k lim g lim g g00 k k Portato, se a fução g é cotíua em 0 etão k. 7.. Seja y m b a assítota ao gráfico de g em, caso eista. l l g m lim lim lim l l lim lim lim l l l l lim lim lim l 0 00 b lim g lim l lim l Logo, ão eiste assítota ao gráfico de g em.

12 8. lim e e 0 lim f lim e e l ll l l lim lim lim lim lim f lim e e liml l0 0 lim f lim e e lim lim lim 00 e e e e lim 0 0 lim f lim e e 0 l Como lim 0 e lim f 0 sucessão. Resposta: (B), a epressão l pode ser o termo geral da