Prova Escrita de Matemática A

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1 Exame Nacioal do Esio Secudário Decreto-Lei.º 74/004, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática A.º Ao de Escolaridade Prova 635/.ª Fase Prova Especial 4 Págias Duração da Prova: 50 miutos. Tolerâcia: 30 miutos. 0 Prova 635 Págia / 4

2 Págia em braco - Prova 635 Págia / 4

3 Utilize apeas caeta ou esferográfica de tita idelével, azul ou preta, excepto as respostas que impliquem a elaboração de costruções, de desehos ou de outras represetações, que podem ser, primeiramete, elaborados a lápis, sedo, a seguir, passados a tita. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o trasferidor e a calculadora gráfica sempre que for ecessário. Não é permitido o uso de corrector. Em caso de egao, deve riscar de forma iequívoca aquilo que pretede que ão seja classificado. Escreva de forma legível a umeração dos grupos e dos ites, bem como as respectivas respostas. As respostas ilegíveis ou que ão possam ser idetificadas são classificadas com zero potos. Para cada item, apresete apeas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lugar. Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra que idetifica a úica opção escolhida. Não apresete cálculos, em justificações. A prova iclui, a págia 4, um Formulário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. Prova 635 Págia 3/ 4

4 Formulário Comprimeto de um arco de circuferêcia a r (a amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio ) Áreas de figuras plaas Losago: Diagoal maior# Diagoal meor Trapézio: Base maior + Base meor # Altura Polígoo regular: Semiperímetro Sector circular: ar Apótema (a amplitude, em radia os, do âgulo ao cetro; r raio) Áreas de superfícies Área lateral de um coe: p r g (r raio da base; g geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 p r (r raio) Volumes Pirâmide: # Área da base # Altura 3 Coe: # Área da base # Altura 3 Esfera: 4 p r r- raio 3 3 _ i Trigoometria se (a + b) = sea. cosb + seb. cosa cos (a + b) = cosa. cosb - sea. seb tg a + tg b tg (a + b) = tg a tg b Complexos _ ρcisθi = ρ cis _ θi $ ρcisθ = ρ cisc θ+ k π m, k! # 0,, - f Probabilidades µ = p x + f + p x σ = p _ x µ i + f + p _ x µ i _ cosuil = ul tg u l = ul _ i cosu Se X én_ µσ, i, etão: P_ µ σ X µ + σi. 0, 687 P_ µ σ X µ + σi. 0, 9545 P_ µ 3σ X µ + 3σi. 0, 9973 Regras de derivação _ u+ vil = ul + vl $ $ $ $ $ _ u vil = ul v + u vl u l = ul v u vl a v k v au u au _ il = l l a _ a! R l u l = ul _ i u $ $ l $ $ u _ il = u ul _! Ri _ seuil = u cos u eu _ il = ul $ e u $ $ se u log u au l = l _ i u l a Limites otáveis limc + m = e lim se x = x " 0 x lim x " 0 lim l _ x + i = x " 0 x lim l x = 0 x " + 3 x lim x " + 3 $ ex = x e x x p _ a! R = + 3 _ p! Ri + + # -i # -i Prova 635 Págia 4/ 4

5 GRUPO I Na resposta a cada um dos ites deste grupo, seleccioe a úica opção correcta. Escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra que idetifica a úica opção escolhida. Não apresete cálculos, em justificações.. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa experiêcia aleatória e sejam A e B dois acotecimetos ^A W e B Wh. Sabe-se que: PA ^ h= 09, PA (, B) = 073, A e B são acotecimetos idepedetes Qual é o valor de P(B )? (A) 0,63 (B) 0,657 (C) 0,073 (D) 0,7. Uma turma do.º ao de uma escola secudária tem 8 raparigas e 0 rapazes. Nessa turma, 0 aluos têm Iglês. Dos aluos da turma que têm Iglês só 4 são rapazes. Escolhe-se, ao acaso, um aluo dessa turma. Qual é a probabilidade de o aluo escolhido ão ter Iglês, sabedo que é rapariga? (A) 9 (B) 9 (C) 3 5 (D) 4 Prova 635 Págia 5/ 4

6 3. O terceiro elemeto de uma liha do triâgulo de Pascal é A soma dos três primeiros elemetos dessa liha é 6 46 Qual é a soma dos três últimos elemetos da liha seguite? (A) 6 45 (B) 6 46 (C) (D) Cosidere a fução f, de domíio A 0, + 37, defiida por fx () Z e x se 0 x # ] = [ ] 4 + se x \ x Seja (u ) uma sucessão de úmeros reais, de termos positivos, tal que lim f_ u i = 3 Qual das expressões seguites pode defiir o termo geral da sucessão (u )? (A) (B) (C) (D) Prova 635 Págia 6/ 4

7 5. Na Figura, está represetada, um referecial o.. xoy, parte do gráfico de uma fução h, primeira derivada de h h' y O x Figura Em qual das opções seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução h? (A) (B) (C) (D) Prova 635 Págia 7/ 4

8 6. Sejam f e g duas fuções deriváveis em Sabe-se que: f_ i= fl_ i= gx _ i= _ x i# f_ xi, para todo o valor real de x Qual é a equação reduzida da recta tagete ao gráfico de g o poto de abcissa? (A) y (B) y (C) y (D) y = 3x- = 3x+ 4 = x- =- 3x+ 7. Em, cojuto dos úmeros complexos, cosidere z = 8 cisc p m 6 Qual dos úmeros complexos seguites é uma das raízes de ídice seis de z? (A) cise 5p o 36 (B) cisc- p m 36 (C) (D) cisc 5p m 36 cisc- p m 36 Prova 635 Págia 8/ 4

9 8. Na Figura, estão represetados, o plao complexo, seis potos, M, N, P, Q, R e S Sabe-se que: o poto M é a imagem geométrica do úmero complexo z o poto N é a imagem geométrica do úmero complexo z = + i z # Im( z) N R Q P M S O Re( z) Figura Qual dos potos seguites pode ser a imagem geométrica do úmero complexo z? (A) poto P (B) poto Q (C) poto R (D) poto S Prova 635 Págia 9/ 4

10 GRUPO II Na resposta a cada um dos ites deste grupo, apresete todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações ecessárias. Ateção: quado, para um resultado, ão é pedida a aproximação, apresete sempre o valor exacto.. Em, cojuto dos úmeros complexos, resolva os dois ites seguites sem recorrer à calculadora... Seja w o úmero complexo com coeficiete da parte imagiária positivo que é solução da equação z + z + = 0 Determie w Apresete o resultado a forma trigoométrica... Seja z um úmero complexo. Mostre que ( zr + i) # ( z i) = z i, para qualquer úmero complexo z ^zr desigaocojugadodezh. Na Figura 3, está represetado um tetraedro com as faces umeradas de a 4 3 Figura 3.. O João tem um catálogo de titas com cores diferetes, uma das quais é a sua preferida. O João seleccioa, ao acaso, 4 cores diferetes para pitar as quatro faces do tetraedro. Cada uma das faces é pitada com uma úica cor. Determie a probabilidade de o tetraedro ter uma das faces pitadas com a cor preferida do João. Apresete o resultado a forma de fracção irredutível. Prova 635 Págia 0/ 4

11 .. Cosidere a experiêcia aleatória que cosiste em laçar 3 vezes o tetraedro represetado a Figura 3 e registar, em cada laçameto, o úmero iscrito a face voltada para baixo. Seja X a variável aleatória «úmero de vezes que, esses três laçametos do tetraedro, se regista o úmero». Costrua a tabela de distribuição de probabilidades da variável X Apresete as probabilidades a forma de fracção..3. Cosidere, agora, a experiêcia aleatória que cosiste em laçar 4 vezes o tetraedro represetado a Figura 3 e registar, em cada laçameto, o úmero iscrito a face voltada para baixo. Sejam I e J os acotecimetos seguites. I : «o úmero registado os três primeiros laçametos do tetraedro é o úmero»; J : «a soma dos úmeros registados os quatro laçametos do tetraedro é meor do que 0». Idique o valor de PJ; ^ I h sem aplicar a fórmula da probabilidade codicioada. Numa composição, explique o seu raciocíio, começado por referir o sigificado de cotexto da situação descrita. PJ; ^ I h o 3. O mometo sísmico, M 0, é uma medida da quatidade total de eergia que se trasforma durate um sismo. Só uma pequea fracção do mometo sísmico é covertida em eergia sísmica irradiada, E, que é a que os sismógrafos registam. 5 A eergia sísmica irradiada é estimada, em Joules, por E = M 0 #,6# 0 A magitude, M, de um sismo é estimada por M = log0 ] Eg,9 3 Resolva os dois ites seguites recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. 3.. Admita que um sismo que ocorreu o Haiti, em 00, teve magitude 7, Determie o mometo sísmico, M 0, para esse sismo. Escreva o resultado a forma a 0, com iteiro relativo e com a etre e Sejam M e M as magitudes de dois sismos. Mostre que, se a difereça etre a magitude M e a magitude M é igual a 3, etão a eergia sísmica irradiada por um dos sismos é dez vezes superior à eergia sísmica irradiada pelo outro sismo. Prova 635 Págia / 4

12 4. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por Z ] x k + e ] se x x fx () = [ ] x + l x se x $ \ (k desiga um úmero real) Resolva os dois ites seguites recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. 4.. Determie k, sabedo que f é cotíua em x = 4.. Cosidere, agora, k = 3 Estude a fução f quato à existêcia de assimptotas horizotais do gráfico de f 5. Na Figura 4, está represetado, um referecial o.. xoy, o gráfico da fução g, de domíio -p, p F <, defiida por gx _ i= x cos x Sabe-se que C e D são potos do gráfico de g cujas ordeadas são extremos relativos de g Figura 4 Determie os valores exactos das coordeadas dos potos C e D recorredo a métodos exclusivamete aalíticos. Prova 635 Págia / 4

13 6. Na Figura 5, está represetada, um referecial o.. xoy, parte do gráfico da fução f, de domíio A -3,67, defiida por f () x = + 5l 3 c xm Cosidere que um poto C se desloca ao logo do gráfico de f, e que C tem coordeadas positivas. Para cada posição do poto C, cosidere o rectâgulo [OACB ], em que o poto A pertece ao eixo das abcissas e o poto B pertece ao eixo das ordeadas. y f B C O A x Figura 5 Determie, recorredo à calculadora gráfica, a abcissa do poto A para a qual a área do rectâgulo [OACB ] é máxima. Na sua resposta, deve: escrever a expressão que dá a área do rectâgulo [OACB ] em fução da abcissa do poto A; reproduzir o gráfico da fução ou os gráficos das fuções que tiver ecessidade de visualizar a calculadora, devidamete idetificado(s), icluido o referecial; idicar a abcissa do poto A com arredodameto às cetésimas. FIM Prova 635 Págia 3/ 4

14 COTAÇÕES GRUPO I...(8 5 potos) potos 40 potos GRUPO II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos 60 potos TOTAL potos Prova 635 Págia 4/ 4