Exame Final Nacional de Matemática B Prova ª Fase Ensino Secundário º Ano de Escolaridade

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1 Exame Fial Nacioal de Matemática B Prova ª Fase Esio Secudário º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 139/01, de 5 de julho Decreto-Lei.º 55/018, de 6 de julho Duração da Prova: 150 miutos. Tolerâcia: 30 miutos. 8 Págias Para cada resposta, idetifique o item. Utilize apeas caeta ou esferográfica de tita azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, trasferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretede que ão seja classificado. Apresete apeas uma resposta para cada item. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. A prova iclui um formulário. Nas respostas aos ites, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Sempre que recorrer à calculadora, apresete todos os elemetos visualizados a sua utilização, mais precisamete, cosoate a situação: os gráficos obtidos, com os potos relevates para a resolução assialados (por exemplo, potos de itersecção de gráficos, potos de máximos e potos de míimos); as lihas da tabela obtida que são relevates para a resolução; as listas que itroduziu a calculadora para obter as estatísticas relevates para a resolução (por exemplo, média, desvio padrão, coeficiete de correlação e declive e ordeada a origem de uma reta de regressão). Prova 735/1.ª F. Págia 1/ 8

2 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: ar ^a- amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r- raioh ou arr ^a -amplitude, emgraus, do âguloaocetro; r -raioh 180 Progressões Soma dos primeiros termos de uma progressão _ u i : Progressão aritmética: u + u 1 # Progressão geométrica: u r 1 # r 1 Áreas de figuras plaas Losago: Trapézio: Diagoal maior # Diagoal meor Base maior+ Base meor # Altura Polígoo regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar arr 360 ^a - amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r - raioh ou ^a -amplitude, emgraus, do âguloaocetro; r -raioh Áreas de superfícies Área lateral de um coe: r rg ^r- raio da base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4 r r ^r - raioh Probabilidades e Estatística Se X é uma variável aleatória discreta de valores x i com probabilidade p i, etão: : Valormédio de X : = px+ f + px 1 1 : Desvio padrão de X : v = p ] x - g + f + p ^x - h 1 1 Se X é uma variável aleatória ormal de valor médio e desvio padrão v, etão: P] - v 1 X 1 + vg. 0, 687 P] - v 1 X 1 + vg , P] - 3v 1 X 1 + 3vg , Área lateral de um cilidro reto: r rg ^r- raio da base; g- geratrizh Volumes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura 3 Coe: 1 # Áreadabase # Altura 3 Esfera: 4 3 rr ^r- raioh 3 Cilidro: Áreadabase# Altura Prova 735/1.ª F. Págia / 8

3 1. A Pote da Arrábida é uma pote em arco sobre o rio Douro, que liga o Porto a Vila Nova de Gaia. A Figura 1 é uma fotografia dessa pote. Figura 1 O arco dessa pote é parabólico e pode ser modelado por uma fução defiida por f ] xg 5 ^ x 70 xh 18 5 Na Figura, está represetado, em referecial ortogoal e moométrico, Oxy, o arco de parábola correspodete ao da Pote da Arrábida, que é parte do gráfico da fução quadrática defiida por f ] xg. y C O A x B Figura Nesta figura: os potos O e B são os extremos do arco de parábola e pertecem ao eixo Ox ; o poto A é o poto do eixo Ox cuja abcissa é o maximizate da fução f ; o poto C é o poto do gráfico de f com a mesma abcissa de A. No referecial, a uidade é o metro. O segmeto de reta 6OB@ represeta o desigado vão da pote, e o segmeto de reta 6AC@ represeta a desigada flecha da pote Determie o comprimeto, em metros, do vão da Pote da Arrábida. 1.. Determie o comprimeto, em metros, da flecha da Pote da Arrábida. Prova 735/1.ª F. Págia 3/ 8 5 ^ x 18 5

4 . Desde o dia em que um museu abriu as portas ao público, o úmero diário de visitates seguiu, durate o primeiro ao de fucioameto, um modelo aproximadamete logístico. Admita que, durate aquele ao, o úmero diário de visitates do museu, N, é dado, aproximadamete, por N]g t 8000, com 0 # t # e 00, t sedo t o tempo, em dias, decorrido desde o fial do dia da abertura..1. Determie a difereça etre o úmero de visitates do museu o último dia daquele ao e o úmero de visitates do museu o dia da abertura. Apresete o resultado arredodado às uidades. Em cálculos itermédios, se proceder a arredodametos, coserve, o míimo, duas casas decimais... Determie durate quatos dias, aquele ao, o úmero de visitates do museu foi superior a 4000 e foi iferior a Uma padaria tradicioal biceteária, situada uma zoa turística, foi trasformada um museu da padaria. Etre outros produtos, vede milho e vede trigo, em saquihos de pao ao estilo de Para estas vedas, a padaria dispõe, diariamete, de: 80 kg de milho; 60 kg de trigo; 10 saquihos de pao. Cada saquiho é vedido com 1 kg de milho ou com 1 kg de trigo. Cada saquiho de milho dá o lucro de 1 euro, e cada saquiho de trigo dá o lucro de euros Num certo dia, a padaria vedeu saquihos de milho e saquihos de trigo. Sabe-se que vedeu 0 saquihos de milho esse dia. Verifique se, as codições referidas, o lucro obtido pela padaria, esse dia, pode ter sido 80 euros. 3.. Determie quatos saquihos de milho e quatos saquihos de trigo a padaria deve veder, diariamete, para obter o lucro diário máximo as codições referidas. Na sua resposta, desige por x o úmero de saquihos de milho vedidos diariamete, e desige por y o úmero de saquihos de trigo vedidos diariamete, e apresete: a fução objetivo; as restrições do problema; uma represetação gráfica referete ao sistema de restrições; o valor de x e o valor de y correspodetes à solução do problema. Prova 735/1.ª F. Págia 4/ 8

5 4. Um dos ícoes da Holada é o moiho de veto. Na cidade de Schiedam, ecotram-se os maiores moihos de veto do mudo, algus dos quais apresetados a fotografia da Figura 3. A Figura 4, que ão está à escala, ilustra o movimeto de rotação das pás de um desses moihos, em referecial ortogoal e moométrico, Oxy. De etre outros elemetos represetados esta figura, destacam-se: Figura 3 a estrutura do moiho, cuja parte iferior tem 18 metros de altura, represetada pelo trapézio isósceles sombreado; as quatro pás do moiho, cada uma com 15 metros de comprimeto, e uma delas represetada por 6OP@ ; 15 m a extremidade de uma das pás, represetada pelo poto P ; a trajetória do movimeto de rotação dessa extremidade, represetada pela circuferêcia de cetro O e raio 15 m ; o âgulo orietado QOP, sedo Q o poto da circuferêcia y P O h ^i h pertecete ao semieixo positivo das abcissas. Seja i = QOP, com i d 60, r@, e seja h ^i h a altura, em metros, relativamete ao ível da base, da extremidade da pá, represetada por P, em fução de i Mostre que i Q x 18 m Nível da base Figura 4 h ^i h se i. 4.. Determie os valores de da pá, represetada por i para os quais a altura, relativamete ao ível da base, da extremidade P, é 40,5 m. Apresete os resultados em radiaos, arredodados às cetésimas. Prova 735/1.ª F. Págia 5/ 8

6 5. O Templo de Kukulcá, apresetado a fotografia da Figura 5, localiza-se a atiga cidade maia de Chiché Itzá, o México. Trata-se de um sólido complexo, costituído por ove trocos de pirâmide quadragular sobrepostos, quatro fachadas, cada uma com uma escadaria cetral, e um altar sobre o troco superior. Figura A base maior do troco iferior tem 55 metros de lado e está assete o solo. Admita que os comprimetos dos lados das bases maiores de cada um dos ove trocos de pirâmide são termos cosecutivos de uma progressão aritmética de razão - 5,5. Determie o comprimeto, em metros, do lado da base maior do troco superior do sólido. 5.. Cada escadaria é costituída por 91 degraus. A icliação da escadaria e a curta largura dos degraus toram a subida uma tarefa difícil. Com o casaço acumulado, o ritmo da subida vai sedo cada vez mais leto e o tempo de permaêcia em cada degrau vai aumetado. Admita que, a subida de uma das escadarias: um turista ficou 0,5 segudos o 1.º degrau; a partir daí, o quociete etre o tempo em que esse turista ficou um degrau e o tempo em que ficou o degrau aterior é 1,05. Determie quato tempo o turista demorou a subir toda a escadaria. Apresete o resultado em miutos, arredodado às uidades. Em cálculos itermédios, se proceder a arredodametos, coserve, pelo meos, duas casas decimais Na tabela seguite, relacioa-se o ídice de massa corporal, x, com o tempo, y, em miutos, que cada elemeto de um grupo de turistas demorou a subir uma das escadarias cetrais do Templo de Kukulcá. x 17,0 18,3 19,4 0,1 0,3 3,6 3,7 5,1 5, 6, y 1,5,5 8,5,3 5,1 10,0 9,5 16,1 15,1 17,0 Verifica-se a existêcia de uma correlação liear forte etre as duas variáveis. Cosidere um modelo de regressão liear obtido a partir dos dados apresetados a tabela. Estime, com base esse modelo, o tempo que um turista desse grupo com ídice de massa corporal 3,1 demoraria a subir aquela escadaria. Na sua resposta, apresete: os valores dos parâmetros da equação da reta de regressão liear de às milésimas; o valor pedido, em miutos, arredodado às décimas. Prova 735/1.ª F. Págia 6/ 8 y sobre x, arredodados

7 6. A Pirâmide de Quéops, o Egito, é a mais atiga das Sete Maravilhas do Mudo Atigo. Com o tempo, o moumeto perdeu parte da sua cúspide, sedo agora, aproximadamete, um troco de pirâmide quadragular, como se observa a fotografia da Figura 6. Figura Quado foi costruída, a pirâmide tiha 146,5 m de altura. Atualmete, o moumeto tem 138,8 m de altura e matém a base com 30,4 m de lado. A Figura 7 é um esquema de um corte perpedicular à base, que passa o seu cetro e os potos médios de duas arestas opostas dessa base. Nesta figura: G o poto B represeta o cetro da base do moumeto; D F E 6 AC@ represeta a itersecção do plao de corte com a base; 146,5 m 138,8 m o poto G represeta o vértice da pirâmide quado esta foi costruída, B e 6 BG@ represeta a altura da A 30,4 m C pirâmide essa época; Figura 7 o poto E represeta o cetro da face superior do troco de pirâmide; 6 DF@ represeta a itersecção do plao de corte com a face superior do troco de pirâmide; 6 BE@ represeta a altura atual do moumeto. Sabe-se que: AC = 30, 4 m, BG = 146, 5 m e BE = 138, 8 m. Determie o volume atual do moumeto. Apresete o resultado em metros cúbicos, arredodado às uidades. Em cálculos itermédios, se proceder a arredodametos, coserve, pelo meos, três casas decimais. 6.. Na Figura 7, fixou-se um referecial ortogoal e moométrico, de origem o poto B, tal que o poto C pertece ao semieixo positivo das abcissas. A Figura 8 represeta a situação. A uidade o referecial é o metro. D y G E F Determie as coordeadas do poto simétrico do poto C, relativamete ao eixo das ordeadas. A B C x Figura 8 Prova 735/1.ª F. Págia 7/ 8

8 6.3. Admita que, durate o período da costrução da Pirâmide de Quéops, a quatidade de pedra istalada por dia, em toeladas, segue uma distribuição ormal de valor médio 800 e desvio padrão 1. Determie a probabilidade de, um dia da costrução, escolhido ao acaso, se terem istalado meos de 776 toeladas de pedra. Apresete o resultado em percetagem, arredodado às décimas. Em cálculos itermédios, se proceder a arredodametos, coserve, pelo meos, cico casas decimais. FIM COTAÇÕES Item Cotação (em potos) TOTAL Prova 735/1.ª F. Págia 8/ 8