Matemática Aplicada. Uma solução: Sejam x e y as quantidades de melancias e melões no início da manhã. No final da manhã as quantidades eram

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1 Matemática Aplicada 1 Maoel vede melacias e melões em sua barraca o mercado de frutas. Certo dia, iiciou seu trabalho com a barraca cheia de frutas e, durate a mahã, vedeu 1 melacias e 16 melões. Maoel reparou, ates de fechar para o almoço, que para o período da tarde o úmero de melacias que tiha para veder era o dobro do úmero de melões. Durate a tarde, ele vedeu 0 melacias e 6 melões e, das frutas que restaram, havia quatidades iguais de melacias e melões. Determie quatas frutas, o total, Maoel tiha a sua barraca o iício da mahã. Sejam x e y as quatidades de melacias e melões o iício da mahã. No fial da mahã as quatidades eram Melacias: x 1 Melões: y 16 De acordo com o euciado temos x 1 = ( y 16 ), ou seja, y x = 0. No fial da tarde as quatidades eram Melacias: x Melões: y De acordo com o euciado temos x = y, ou seja, x y = 10. Somado as duas equações ecotradas temos y = 0 e, cosequetemete, x = 40. O úmero total de frutas o iício da mahã era 70. Outra opção solução: Seja x a quatidade restate de melacias e melões. No fial da mahã temos que 0 + x = ( 6 + x ) e, daí, x = 8. Assim, sobraram 16 frutas que somadas às 54 vedidas, dão 70 frutas. 1

2 Uma empresa estatal Y possui apeas fucioários cocursados e fucioários cotratados e, o ao de 006, 80% dos fucioários dessa empresa eram cocursados. Hoje, a empresa está muito maior, o úmero de fucioários cocursados dobrou, mas o úmero de fucioários cotratados é 9 vezes o que era em 006. Em uma reportagem atual sobre essa empresa, aparece a seguite frase: No ao de 006, a empresa Y tiha 80% dos fucioários admitidos por cocurso e, hoje, o úmero de fucioários cocursados é cerca de 47%, apeas. A frase acima está correta? Justifique sua resposta. Uma solução O úmero total de fucioários em 006 será represetado pelo úmero 100. A tabela abaixo resume os dados da questão: Fucioários Em 006 Hoje Cotratados Cocursados Total Hoje, a porcetagem de cocursados é 0, 47 = 47%. 40 A frase da reportagem está correta.

3 Joel possui um sítio e deseja costruir um galiheiro retagular com a cerca que possui. Para coseguir uma área bem grade para o galiheiro, ele deseja aproveitar um muro que já existe o seu quital. Na figura abaixo, AB é o muro existete, ACDE é o galiheiro que Joel pretede costruir e as lihas tracejadas represetam toda a cerca que Joel possui. O comprimeto do muro AB é de 6m e Joel possui 4m de cerca. Qual é a maior área que ele poderá cercar? Sejam BC = x e CD = a. O comprimeto da cerca de Joel é x + a+ x a = 4. Portato, a =14 x. A área do galiheiro é y = AC CD = ( 6+ x )( 14 x ) = x + 8x Para que a área seja máxima devemos ter x 8 = = 4 ( 1). Assim, as medidas do retâgulo são AC = = 10 m e CD = 14 4 = 10 m. A maior área que Joel poderá cercar é de 10m 10m = 100m.

4 4 Um dado foi jogado quatro vezes e a soma dos resultados deu 1. Quatas são as sequêcias possíveis dos resultados? a) Resultados: há 4 sequêcias. b) Resultados: há C = 6 1 sequêcias. 4 = c) Resultados: há 4 sequêcias. No total há 0 sequêcias possíveis. 4

5 5 No plao cartesiao, são dados os potos M = ( circuferêcia de cetro a origem e raio 1. Determie a medida do âgulo MPN. 1, ), N = ( 1, 0 ) e P = (, ) sobre a Como os três potos estão situados sobre a circuferêcia de cetro a origem e raio 1, abscissa e ordeada de cada poto são o cosseo e o seo de algum arco do itervalo [0 o, 60 o o o ). Sedo A = ( 1, 0) etão arc AM = 0 e arc AN =180. o Assim, arc MN =150 e, como P está o quarto quadrate, arcmn o M PˆN = = 75. 5

6 6 Dois muicípios A e B são vizihos e ambos produzem soja. No ao de 01, o muicípio A produziu 10 mil toeladas de soja equato que o muicípio B produziu 60 mil toeladas. Etretato a produção de A cresce 4% ao ao equato que a de B cresce 1% ao ao. Se essas taxas permaecerem as mesmas por logo tempo, em que ao a produção de soja do muicípio B será, pela primeira vez, maior que a produção do muicípio A? Use o que for ecessário das iformações a seguir. log = 0, 01 log = 0, 477 log7 = 0, 845 log1 = 1, 114 Em milhares de toeladas a desigualdade que modela a situação é: 60 ( 1+ 0, 1 ) > 10( 1+ 0, 04 ) ode é o úmero de aos decorridos após 01. Simplificado e arrumado temos: 1, 1 > 1, > > Com logaritmo decimal, (log14 log1) > log. Portato, log 0, 01 0, > = = = 9,... log + log7 log1 0, 01+ 0, , 0, 0 Portato, = 10 e a produção de soja do muicípio B vai superar a do muicípio A o ao de 0. 6

7 7 Flávio imagiou uma bricadeira para fazer com seu pai. Preparou dois sacos iguais, cada um cotedo 10 fichas umeradas de 1 a 10 e fez a seguite proposta ao pai: Flávio: Pai, você quer gahar um prêmio? Pai: Claro que quero. Flávio: Etão escolha um úmero de 1 a 10. Pai: Eu escolho o 9. Flávio: Você tem agora duas opções. Você pode escolher um destes sacos, que cotêm, cada um, 10 fichas umeradas de 1 a 10 e tirar duas delas. Se o 9 aparecer, você gaha. Se preferir, você pode tirar uma ficha de cada um dos sacos e, se o 9 aparecer, você gaha. Decida se as duas opções são equivaletes ou diga qual das opções dá ao pai maior probabilidade de gahar o prêmio. Justifique sua resposta. Na opção de tirar duas do mesmo saco (uma retirada e depois a outra), a probabilidade de ão sair o úmero escolhido pelo pai é = = A probabilidade que o úmero escolhido saia é p 1 = 1 = Na opção de tirar uma de cada saco, a probabilidade de ão sair o úmero escolhido pelo pai em ehuma das duas retiradas é = A probabilidade que o úmero escolhido saia é p = 1 = Logo, a primeira opção é melhor para o pai. 7

8 8 No atigo Egito, quado o rio Nilo voltava ao seu leito ormal após a cheia aual, os terreos das marges eram ovamete remarcados. Cada terreo tiha a forma de um quadrilátero e o lavrador que o ocupavaa deveria pagar um imposto que era proporcioal à área do terreo. Para obter a área de um quadrilátero, os egípcios calculavam o produto das médias aritméticas dos lados opostos, método que ão é exato, a meos que o quadrilátero seja um retâgulo. A figura abaixo mostra um terreo com a forma do quadrilátero ABCD, ode o âgulo de vértice A é reto e, uma uidade adequada (u), os lados medem AB = 1, BC = 14, CD = 14 e DA =16. D C A B A Calcule a área do quadrilátero ABCD. Use as aproximações: = 1, 414, = 1, 7, 6 =, 450. B Determie a área do quadrilátero ABCD pelo método egípcio. A No triâgulo ABD, retâgulo em A o teorema de Pitágoras forece BD = 0. Sedo M o poto médio de BD temos que MC é perpedicular a DB porque CD = CB. Assim, o triâgulo retâgulo DMC calculamos MC = = 96 = 4 6 = 4, 45 = 9, 8. A área do quadrilátero ABCD é , 8 S = + = = 194 u. B S e Pelo método egípcio a área do quadrilátero ABCD é = = 15 1 = 195 u. 8

9 9 Uma sala retagular tem 6m de comprimeto, 4m de largura e m de altura. Um iseto P está o cetro do teto e seu amigo, o iseto Q, está em um dos catos o chão da sala. O iseto P deseja ecotrar Q, percorredo a meor distâcia possível. Calcule a meor distâcia que P deve percorrer em cada um dos casos abaixo: A P é um mosquito (portato, pode voar). B P é uma formiga (portato deve se deslocar sobre as superfícies das paredes e teto). A A figura abaixo mostra a sala, suas medidas, os isetos P e Q, e o potoo M, médio da aresta EH. Mosquito voa. A meor distâcia de P até Q é o comprimeto do segmeto PQ. Como o triâgulo PME é retâgulo em M temos PE = PM + ME = + = 1. Como o triâgulo PEQ é retâgulo em E temos PQ = PE + EQ = 1 + =. Assim, PQ = m. (aprox. 4,69m) B Formiga ão voa. Há duas opções este caso. A formiga pode adar pelo teto até algum poto da aresta EF e descer pela parede da frete até Q ou etão adar pelo teto até algum poto da aresta EH e descer pela parede da esquerda até Q. Os camihos míimos para cada opção estão represetados as figuras a seguir. Em cada uma delas, girou-se o teto de 90 o para ficar o mesmo plao da parede PQ = + 5 = 4 m (aprox. 5,8m) 9

10 PQ = 6 + = 40 m (aprox. 6,m) A primeira opção mostra o percurso míimo de 4 m. 10

11 10 Dados dois úmeros reais positivos a e b há várias médias que podem ser calculadas com eles. As duas primeiras mostradas abaixo são bem cohecidas e a terceira ão é muito cohecida. a + b A média aritmética etre a e b é: A = A média geométrica etre a e b é: G = ab A média heroiaa etre a e b é: A+ G H = A Calcule essas três médias para a = 6 e b = 4. B A média heroiaa de dois úmeros positivos é 7. Se um deles é o 4, qual é o outro? C Sabe-se que para quaisquer dois úmeros reais positivos tem-se G A valedo a igualdade se, e somete se, os dois úmeros forem iguais. Mostre que a média H está sempre etre as outras duas, ou seja, mostre que G H A. A A = G = = = 144 = H = = = x + 4 x B Sejam 4 e x os dois úmeros. Devemos ter = 7. Temos 4 + x + x = 1 ou x + x 17 = 0 que é uma equação do segudo grau a icógita x. Resolvedo, temos: + x = 4 4( 17) = = Assim, x = ( 1) = = 1 C Cosidere as implicações: A+ G i) G A G A G A + G G = H A + G ii) G A A + G A A H A Assim, G H A. 11