INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA LISTA DE REVISÃO. Nome: DATA: 05/12/2016. d) 4 3 a) 44 b) 22 c) 20 d) 15 e) 10. Se um saco

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1 INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA LISTA DE REVISÃO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Nome: DATA: 0//06 ) Se x+ y e x y, etão x + y é a) 66. b) 67. c) 68. d) 69. e) 70. ) Cosiderado-se que x 97, y 907 e z xy, o valor da expressão x+ y z é: a) 679 b) 8 c) 7 d) 98 e) 77 x ) Se a, o valor da expressão x x a + a A x x a + a é: 8) Uma empresa recebeu uma plailha impressa com úmeros iteiros positivos e meores ou iguais a 8 7. A tarefa de um fucioário cosiste em escolher dois úmeros da plailha uma úica vez e realizar a operação de multiplicação etre eles. Para que o fucioário teha precisão absoluta e possa visualizar todos os algarismos do úmero obtido após a multiplicação, ele deverá utilizar uma calculadora cujo visor teha capacidade míima de dígitos igual a: a) 7 b) c) 7 d) a) b) c) 0 d) e) 0 ) Se um ao-luz correspode à distâcia percorrida pela luz em um ao, qual é a ordem de gradeza, em metros, da distâcia percorrida pela luz em aos, levado-se em cosideração um ao tedo 6 dias e a velocidade da luz igual a km s? a) 8 0 b) 0 0 c) 0 d) ) O valor de ( ) ( ) ( ) 0 e) , + é: a) b) c) 7 d) 9 e) 6) Um grão de feijão pesa, 0 g. Se um saco cotém 0 g de grãos de feijão, 90 sacos cotêm: 7 a),8 0 grãos de feijão b) c) d) e) 6,8 0 grãos de feijão 8,8 0 grãos de feijão,8 0 grãos de feijão,8 0 grãos de feijão 7) Sedo x e y dois úmeros reais ão ulos, a expressão (x + y ) é equivalete a a) x y. x + y xy b). x+ y + e) x + y. d) ( ) x y. c) x + y. 9) Um código umérico tem a forma ABC DEF GHIJ, sedo que cada letra represeta um algarismo diferete. Em cada uma das três partes do código, os algarismos estão em ordem decrescete, ou seja, A > B > C, D > E > F e G > H > I > J. Sabe-se aida que D, E e F são úmeros pares cosecutivos, e que G, H, I e J são úmeros ímpares cosecutivos. Se A + B + C 7, etão C é igual a a) 9. b) 8. c) 6. d). e) 0. 0) Um casal que plaejou uma viagem de férias para uma ilha, ode há um hotel com acomodações A e B, pagou atecipadamete x reais pelas diárias a acomodação A, que cobrava R$ 0,00 por dia. Ao chegar o hotel eles optaram pela acomodação B, que cobrava R$ 00,00 pela diária, pois perceberam que, assim, eles poderiam ficar mais dias hospedados este hotel. Sabedo que, além dos x reais já pagos, eles aida gastaram R$ 0,00 por dia com alimetação e que ão houve outras despesas, a quatia que esse casal gastou esse hotel é um úmero compreedido etre a) 00 e 00 b) 00 e 900 c) 900 e 600 d) 600 e 6800

2 ) Duas máquias A e B de modelos diferetes, matedo cada qual sua velocidade de produção costate, produzem jutas peças iguais, gastado simultaeamete horas e 0 miutos. A máquia A fucioado soziha, matedo sua velocidade costate, produziria, em horas de fucioameto, dessas peças.é correto afirmar que a máquia B, matedo sua velocidade de produção costate, produziria também dessas peças em a) 0 miutos. b) 0 miutos. c) 60 miutos. d) 0 miutos. ) Uma caixa de capacidade 6, m deve ser abastecida com água. Abaixo estão represetados três recipietes que podem ser utilizados para esse fim. x y x y + xy ) O valor da expressão, x + y x y em que x e y e x y e x y, é a) b) c) d) ) As costates A, B, C e D são tais que a igualdade Ax + B Dx + C + (x + x + ) (x + ) x + x + x + é válida para x. a) Deduza, da igualdade acima, um sistema liear com quatro equações, satisfeito pelas costates A, B, C e D. b) Resolva esse sistema e ecotre os valores dessas costates. 6) Sabe-se que a fução Assim, f () é x+ f(x) é ivertível. a) b) c) 6 d) Cosiderado que ão há perda o trasporte da água, afirma-se que: I. Pode-se usar qualquer um dos recipietes 00 vezes para echer a caixa. II. Se os recipietes A, B e C forem usados, respectivamete, 6, e 0 vezes, a caixa ficará com sua capacidade máxima. III. Após usar 0 vezes cada um dos recipietes, aida ão teremos metade da capacidade da caixa ocupada. Das afirmativas acima, tem-se que é(são) verdadeira(s) a) ehuma delas. b) apeas a III. c) apeas a II. d) apeas a I. ) A igualdade correta para quaisquer a e b, úmeros reais maiores do que zero, é a) a b + a+ b b) a a + b b c) ( a b) a b d) + a+ b a b a b e) a b a + ab + b 7) Se é o cojuto dos úmeros reais, a fução x + f: dada por f(x) possui iversa a) f (x). b) f (x). x + x + c) f (x) x +. d) f (x) x. x + e) f (x). * 8) Seja + o cojuto dos úmeros reais positivos * x e f: + a fução defiida por f(x). Esta * fução é ivertível. Se f : + é sua iversa, etão, o valor de f (6) f () f () é a). b) 8. c) 7. d). 9) A fução real de variável real defiida por x+ f(x) é ivertível. Se f é sua iversa, etão, x o valor de [f(0) + f (0) + f ( )] é a). b). c) 9. d) 6.

3 0) O úmero de bactérias de uma determiada cultura pode ser modelado utilizado a fução t B(t) 800 0, sedo B o úmero de bactérias presetes a cultura e t o tempo dado em horas a partir do iício da observação. Aproximadamete, quatas horas serão ecessárias para se observar.000 bactérias essa cultura? Cosidere log 0,0. a) 0 horas. b) 0 horas. c) 0 horas. d) 0 horas. e) 00 horas. ) A magitude de um terremoto, a escala Richter, E é dada por M log ode E é a eergia E0 liberada o eveto e E 0 é uma costate fixada para qualquer terremoto. Houve dois terremotos recetemete: um ocorreu o Chile, de magitude M 8,, e outro, o Japão, de magitude M 8,8, ambos essa escala. Cosiderado E e E as eergias liberadas pelos terremotos o Chile e o Japão, respectivamete, é CORRETO afirmar: E a) 0 E b) E E c) E 0 < < E E d) E < < 0 e) 0 E E > ) Adotado os valores log 0,0 e log 0,8, em que prazo um capital triplica quado aplicado a juros compostos à taxa de juro de 0% ao ao? a) aos e meio b) 6 aos c) 6 aos e meio d) 7 aos e) 7 aos e meio ) Um supermercado vede dois tipos de sabão líquido para lavagem de roupas: o sabão C, mais cocetrado, e o sabão D, mais diluído. Para cada lavagem de roupas com o sabão C, Sofia gasta 0m do produto; usado o sabão D, ela gasta 00m. O sabão C é vedido apeas em vasilhames de 600m, custado reais cada vasilhame. O sabão D é vedido apeas em vasilhames de litros, custado reais cada vasilhame. Na compra de vasilhames do sabão D, o supermercado dá um descoto de % o preço de cada vasilhame desse sabão, quado < 0. Quado > 0, esse descoto é de 0%. Sofia resolve comprar vasilhames do sabão D. Calcule a) quatos cetavos de reais Sofia gastaria com o sabão C em cada lavagem de roupas, se o comprasse; b) o valor míimo de para que Sofia gaste meos reais com o sabão D do que com o sabão C, em cada lavagem de roupas; c) o úmero máximo de vasilhames do sabão D que Sofia pode comprar com 8 reais. ) O retâgulo ABCD tem dois vértices a parábola x de equação y x+ e dois vértices o eixo 6 6 x, como a figura abaixo. Sabedo que D (,0), faça o que se pede. a) Determie as coordeadas do poto A. b) Determie as coordeadas do poto C. c) Calcule a área do retâgulo ABCD. ) Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plao cartesiao. Supoha que o istate t suas posições são dadas pelos pares ordeados ( ) s A t ( t, t + t + 0 ) e sb ( t) ( t, t + 9 ), respectivamete. Sabedo que os robôs começam a se mover em t 0, a) DETERMINE o istate t em que o robô A se chocará com o robô B. b) Supoha que haja um terceiro robô C cuja posição é dada por sc ( t) ( t, kt + ), em que k é um úmero real positivo. DETERMINE o maior valor de k para que a trajetória do robô C itercepte a trajetória do robô A.

4 6) Cosidere a fução afim f(x) ax + b defiida para todo úmero real x, ode a e b são úmeros reais. Sabedo que f(), podemos afirmar que f(f() + f()) é igual a a). b). c). d). 7) Dadas as fuções f(x) x e g(x) x + x + c, o maior valor iteiro de c tal que a equação g(f(x)) 0 apresete raízes reais é a). b). c). d). 8) O gráfico a seguir represeta a fução real f(x), defiida o itervalo [, 6]. Cosiderado a fução h(x) f(x ), etão, o valor da expressão dada por f(h()) + h(f()) é igual a: a) 7. b). c). d). 9) Cosidere as fuções reais f(x) x + e g(x) x k, com k. Podemos afirmar que f g(x) g f(x) para qualquer x real se o valor de k for igual a: a) 0 b) c) d) e) 0) Cosiderado as fuções f(x) x e g( x ) x +, o valor de k, com k, tal que f(g(k)) é a). b). c). d). ) Sejam as fuções f(x) x e g(x) x x +. Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))? a) b) c) d) Soluções ) [B] x + y (x + y) x + y + x y 69 Como x y, temos: x + y + 69 x + y 67 ) Como z xy, segue que x + y z x xy + y ( x y ). Portato, x+ y z ( x y) x y x ) Sabedo que a, vem x x x (a ) + a + a x A a x x a + a x a + x a x x a + a x + x a a x a + x a x a + a x + ) [E] 7. A distâcia percorrida é dada por ,89 0 km,89 0 m. Em cosequêcia, como,89 < 0,6, segue 6 que a resposta é 0. ) [D] ( ) ( ) ( ) 6) [A] , Total de grãos:

5 0 ( ) , , ,8 0. 7) [A] Lembrado que temos a, a (x + y ) + x y y + x x y x y. x + y 8) [C] com a 0 e, O maior produto possível para os dois úmeros escolhidos será: ( ) Portato, o úmero de dígitos ecessários será o úmero de algarismos de ( ) ( ) , ou seja, um úmero com + 6 0dígitos. 9) [E] Tem-se que DEF {0, 6, 86} e GHIJ {7, 97}. Assim, por ispeção, cocluímos que a úica possibilidade para o código é e, portato, C 0. 0) [B] Sedo d o úmero de dias programados iicialmete pelo casal, pode-se escrever: Acomodação A x 0d Acomodação B x 00(d + ) 0d 00(d + ) 0d 00d 00 0d 00 d 0 dias Logo, o casal programou iicialmete férias de 0 dias, porém ao chegar o hotel optaram por ficar mais dois dias hospedados. Assim, ficaram um total de dias de férias. Cosiderado os 00 reais da diária e os 0 reais gastos por dia com alimetação, o valor total gasto o hotel foi de (00 + 0) 00 reais. ) [D] A produção P das duas máquias jutas será (cosiderado o tempo em miutos): P 60 A produção de peças da máquia A fucioado soziha será: P A PA A produção de peças da máquia B fucioado soziha durate o tempo t será: P B PB t t t Se a velocidade de produção é costate, etão pode-se escrever: PA + PB t (t + 0) 60 0t t t 80t 900 t 0 miutos ) [D] [I] VERDADEIRA. Trasformado todas as uidades para metros, calculado o volume de cada um dos recipietes e quatas vezes cada um teria que ser usado para echer a caixa, temse: Recipiete A VA 0, 0, 0, 0,06 m 6, m 0,06 m 00 vezes Recipiete B VB 0, 0, 0,8 0,06 m 6, m 0,06 m 00 vezes Recipiete C VC 0,8 0,8 0, 0,06 m 6, m 0,06 m 00 vezes

6 [II] FALSA. Como a capacidade de todos os recipietes é a mesma, etão os recipietes serão usados vezes. É ecessário usar qualquer um dos recipietes 00 vezes para echer a caixa. [III] FALSA. Como a capacidade de todos os recipietes é a mesma, pode-se escrever: VA VB VC Vrecipiete 0VA + 0VB + 0VC 60 Vrecipiete 60 0,06,8 m >, m (metade da caixa) Portato, após usar 0 vezes cada um dos recipietes, teremos mais da metade da caixa cheia. ) [E] [A] Tomado a e b, temos 9. Absurdo. [B] Tomado a e b, vem. Absurdo. [C] Tomado a e b, segue que. Absurdo. [D] Tomado a e b, obtém-se +. Absurdo. [E] De fato, pois a b (a b)(a + ab + b ) a b, a + ab + b a + ab + b para quaisquer a e b reais positivos. ) [A] x y x y + xy + x y x y ( + ) x y xy x y ( + ) ( ) + x y x y x y y x x y xy ( x + y) y+ x ( + ) ( ) x y x y xy ( + ) y x xy xy x y ( ) + ( + ) ( ) xy y x x y x y ( y x ) x+ y x y ( ) ( ) ( + ) ( x+ y) ( x y) ( x y ) y x (y x) (x y) ) a) Resolvedo a igualdade, pode-se escrever: (x + x + ) (x + ) (Ax + B)(x + ) + (Dx + C)(x + x + ) (x + x + ) (x + ) Ax + Ax + Bx + B + Dx + Dx + Dx + Cx + Cx + C (A + D)x + (B + C + D)x + (A + C + D)x + (B + C) A + D 0 B + C + D 0 A + C + D 0 B + C b) Resolvedo o sistema, tem-se: Resolvedo a expressão do euciado, tem-se: 6

7 A + D 0 ( ) + L B + C + D 0 A + C + D 0 B + C A + D 0 ( ) + L B + C + D 0 C D 0 B + C A + D 0 B + C + D 0 C D 0 ( ) + L 8D C A + D 0 B + C + D 0 C D 0 ( ) + L 0D C D 0 A 0 B 0 6) [D] Se f possui iversa, etão queremos calcular x tal que f(x). Assim, vem x+ x. x+ y yx y x + x (y )x y + y + x. y Portato, sedo f : {} {}, a iversa de x + f é f : {} {}, com f (x). x Daí, como f (0), f (0) e f ( ) 0, vem [f(0) + f (0) + f ( )] ( + ( ) + 0) 9. 0) [C] Tem-se que t 0 B(t) ) [D] t 0 t 0 log log t log log0 log 0 t 0, 0, 0 t 06,67 h. 7) [D] Determiado a fução iversa da fução x + f(x), temos: ( ) + f x x f (x) x f (x) x 8) [A] A fução iversa de f é f (x) log x. Logo, segue que f (6) f () f () log 6 log log 9) [C] log log. Tem-se que E E M M log log E0 E0 E M M log E E log (M M ) E E (M M ) 0. E Portato, sedo M M 8,8 8, 0,6, vem 9 0 E 0 < < 0. E Tem-se que 7

8 ) [B] Seja o prazo ecessário, em aos, para que um capital C triplique, quado aplicado à taxa de juro de 0% ao ao. Logo, C C (+ 0,) (,) log log 0 log ( log + log log0) 0,8 0,08 6. ) 0 a) Sofia gastaria R$ 0,60, ou seja, 600 sesseta cetavos de reais, em cada lavagem com o sabão C. b) Como ABCD é retâgulo, cocluímos facilmete que yb ya. Assim, C x x C + x C x C x 8 e, portato, C (8, 0). c) A área do retâgulo ABCD é dada por (xc x D) f(x A) (8 ) u.a. ) C b) Se, o gasto por lavagem com o sabão D é igual a 00 R$ 0, O valor de, com < 0, para que Sofia gaste meos reais com o sabão D do que com o sabão C, em cada lavagem de roupas, deve ser tal que 00 6 < > 8,, ou seja, o valor míimo de é 9. c) Como 0,7 R$ 8,80, tem-se que <. Desse modo, o úmero de vasilhames do sabão D, que Sofia pode comprar com 8 reais, é tal que 0 8 <. 00 ) a) Sabedo que D (, 0), vem xa xd. Além disso, como A pertece à parábola, temos a) S A(t) S B(t) t + t + 0 t + 9 t t 0 Resolvedo a equação, temos b) S A(t) S C(t) kt + t + t + 0 t + k t + 0 ( ) + t. Para que k seja máximo, o delta deverá ser zero, pois assim a reta será tagete à parábola. (k ).. 0 k 6k + 0, resolvedo a equação, temos: k ou k Se k, temos t t + 0, logo t (válido) Se k, temos t + t + 0, logo t (iválido) Portato, o maior valor de k deverá ser. y f(x ) A A

9 6) [D] Tem-se que f() a + b. Além disso, como f() a + b e f() a + b, vem f() + f() a + b + a + b (a + b). Portato, segue que f(f() + f()) f(). 7) [B] Tem-se que g(f (x)) 0 (x ) + (x ) + c 0 x + x + c 0. A equação terá raízes reais desde que seu discrimiate seja positivo, isto é, (c ) > 0 (c ) < c < +. Portato, o maior valor iteiro de c tal que a equação g(f(x)) 0 apresete raízes reais é. f (g(x)) ( x + ) f(g(x)) 6x + f(g(x)) 6x + Calculado a iversa de f(g(x)), tem-se: x x x 6y + y f(g(x)) 6 6 Por fim, substituido k e resolvedo a equação proposta o euciado, tem-se: k f(g(k)) k 6 k 6 ) [B] Lembrado que uma fução só está bem defiida quado cohecemos o seu domíio, cotradomíio e a lei de associação, vamos supor que f: e g:. Além disso, por exemplo, a fução g f está defiida apeas quado o cotradomíio de f é igual ao domíio de g. Desse modo, o valor de x para o qual se tem f(g(x)) g(f(x)) é x x + (x ) (x ) + x x x 6x + 9 x + 6 6x + x. 8) [D] Calculo de f(h()) h(x) f(x ) h() f( ) f() h() f(h()) f() Calculo de h(f()) h(f()) h() f( ) f( ) h(f()) Portato, f(h()) + h(f()) + ( ) 9) [A] Substituido e desevolvedo a expressão dada: f g(x) g f(x) f(g(x)) g(f(x)) f(g(x)) (x k) + f(g(x)) x k + g(f(x)) x + k x k + x + k k k k 0 0) [D] Calculado f(g(x)), tem-se: 9