Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica

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1 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e b. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, c a a e d, b defiidas para valores iteiros positivos de, cosidere as seguites afirmações: I. a é uma progressão geométrica; II. b é uma progressão geométrica; III. c é uma progressão aritmética; IV. d é uma progressão geométrica. São verdadeiras apeas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV.. (Uicamp 05) Se ( α, α,..., α ) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, etão α 7 é igual a a) 6. b) 7. c) 8. d) 9.. (Espcex (Ama) 05) Na figura abaixo temos uma espiral formada pela uião de ifiitos semicírculos cujos cetros pertecem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo aterior, o comprimeto da espiral é igual a a) π. b) π. c) π. d) 4 π. e) 5 π. 4. (Fuvest 05) Um alfabeto miimalista é costituído por apeas dois símbolos, represetados por * e #. Uma palavra de comprimeto,, é formada por escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimeto e #* * # é uma palavra de comprimeto 4. Usado esse alfabeto miimalista, a) quatas palavras de comprimeto meor do que 6 podem ser formadas? b) qual é o meor valor de N para o qual é possível formar de palavras de tamaho meor ou igual a N? Págia de

2 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e 5. (Ita 05) Seja (a,a,a,...) a sequêcia defiida da seguite forma: a, a e a a a para. Cosidere as afirmações a seguir: I. Existem três termos cosecutivos, a p, ap, a p, que, esta ordem, formam uma progressão geométrica. II. a 7 é um úmero primo. III. Se é múltiplo de, etão a é par. É (são) verdadeira(s) a) apeas II. b) apeas I e II. c) apeas I e III. d) apeas II e III. e) I, II e III. 6. (Uesp 05) Para cada atural, seja o úmero vezes K vezes Se, para que valor se aproxima K? 7. (Uicamp 05) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de úmeros reais, com razão q 0 e a 0. a) Mostre que x é uma raiz do poliômio cúbico p(x) a bx cx dx. q b) Sejam e e f úmeros reais quaisquer e cosidere o sistema liear as variáveis x e y, a c x e. Determie para que valores da razão q esse tem solução úica. d b y f 8. (Uicamp 04) O perímetro de um triâgulo retâgulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triâgulo é igual a a),0 m. b),0 m. c),5 m. d),5 m. 9. (Uicamp 04) Dizemos que uma sequêcia de úmeros reais ão ulos (a, a, a, a 4,...) é uma progressão harmôica se a sequêcia dos iversos,,,,... é uma a a a a4 progressão aritmética (PA). 4 a) Dada a progressão harmôica,,,..., 5 9 ecotre o seu sexto termo. b) Sejam a, b e c termos cosecutivos de uma progressão harmôica. Verifique que ac b. a c 0. (Ita 04) Uma pirâmide de altura h cm e volume V 50 cm tem como base um polígoo covexo de lados. A partir de um dos vértices do polígoo traçam-se Págia de

3 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e diagoais que o decompõem em triâgulos cujas áreas S, i i,,...,, costituem uma progressão aritmética a qual S cm e S6 cm. Etão é igual a a). b) 4. c) 6. d) 8. e).. (Espcex (Ama) 04) Os úmeros aturais ímpares são dispostos como mostra o quadro ª liha ª liha 5 ª liha 7 9 4ª liha ª liha O primeiro elemeto da 4ª liha, a horizotal, é: a) 807 b) 007 c) 07 d) 507 e) (Ita 04) Cosidere os poliômios em x da forma p(x) x a x a x a x. As raízes de p(x) 0 igual a 5 a), 0, b),, c), 0, d), 0,. 4 4 e),,. 4 4 a, a, a é costituem uma progressão aritmética de razão quado. (Espm 04) Dois irmãos começaram jutos a guardar diheiro para uma viagem. Um deles guardou R$ 50,00 por mês e o outro começou com R$ 5,00 o primeiro mês, depois R$ 0,00 o segudo mês, R$ 5,00 o terceiro e assim por diate, sempre aumetado R$ 5,00 em relação ao mês aterior. Ao fial de um certo úmero de meses, os dois tiham guardado exatamete a mesma quatia. Esse úmero de meses correspode a: a) pouco mais de um ao e meio. b) pouco meos de um ao e meio. c) pouco mais de dois aos. d) pouco meos de um ao. e) exatamete um ao e dois meses. 4. (Espm 04) A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um poto A, com BC CD, DE EF, FG GH, HI IJ e assim por diate. Págia de

4 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e Cosiderado ifiita a quatidade desses segmetos, a distâcia horizotal AP alcaçada por esse móvel será de: a) 65 m b) 7 m c) 80 m d) 96 m e) 00 m 5. (Fuvest 04) Cosidere o triâgulo equilátero Δ A0OB0 de lado 7cm. a) Sedo A o poto médio do segmeto A0B 0, e B o poto simétrico de A em relação à reta determiada por O e B, 0 determie o comprimeto de OB. b) Repetido a costrução do item a), tomado agora como poto de partida o triâgulo Δ AOB, pode se obter o triâgulo Δ AOB tal que A é o poto médio do segmeto AB, e B o poto simétrico de A em relação à reta determiada por O e B. Repetido mais uma vez o procedimeto, obtém se o triâgulo Δ AOB. Assim, sucessivamete, pode se costruir uma sequêcia de triâgulos Δ AOB tais que, para todo, A é o poto médio de AB, e B, o poto simétrico de A em relação à reta determiada por O e B, coforme figura abaixo. Deotado por a, para, o comprimeto do segmeto A A, verifique que a,a,a,... é uma progressão geométrica. Determie sua razão. c) Determie, em fução de, uma expressão para o comprimeto da liha poligoal A A A...A,. 0 O poto P é simétrico ao poto P em relação à reta r se o segmeto PP' é perpedicular à reta r e a iterseção de PP' e r é o poto médio de PP'. 6. (Fgv 04) a) Um sábio da Atiguidade propôs o seguite problema aos seus discípulos: Págia 4 de

5 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 metros de raio e se movimeta saltado em liha reta até o cetro. Em cada salto, avaça a metade do que avaçou o salto aterior. No primeiro salto avaça 4 metros. Em quatos saltos chega ao cetro? b) O mesmo sábio faz a seguite afirmação em relação à situação do tem A: Se o primeiro salto da rã é de metros, ela ão chega ao cetro. Justifique a afirmação. Págia 5 de

6 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e Gabarito: Resposta da questão : [E] [I] Falsa. Tem-se que a ( ). Logo, como a razão a ( ) a ( ) ão é costate, segue que a ão é uma progressão geométrica. [II] Falsa. De fato, a razão ( ) b b ão é costate. Daí, podemos cocluir que b ão é uma progressão geométrica. [III] Verdadeira. A difereça etre quaisquer dois termos cosecutivos da sequêcia c é a a ( ) 4( ) 4 ( 4 4) Desse modo, c é uma progressão aritmética de primeiro termo e razão igual a. [IV] Verdadeira. De (II), temos 8 e razão igual a 4. d, que é uma progressão geométrica de primeiro termo Resposta da questão : [A] Como α 7 é o termo médio da progressão aritmética, segue-se que 78 α7 e, portato, temos α7 6. Resposta da questão : [B] Comprimeto de uma semicircuferêcia de raio Logo, a soma pedida será dada por: S π π π 4 π 8... S π ( ) S π S π πr r : π r Págia 6 de

7 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e Resposta da questão 4: a) palavras com uma letra: palavras com duas letras: palavras com três letras: E assim sucessivamete. Portato, o úmero de palavras de comprimeto meor do que 6 será dado por: b) Utilizado a fórmula da soma dos primeiros termos de uma P.G, temos: N 6 0 N 6 0 N 6 0 N Logo, N 0 N 9. Resposta da questão 5: [D] [I] Falsa. Cosiderado a existêcia dos termos da sequêcia a codição dada, temos: 5 x q x q x q q 0 q (irracioal) Portato, ão existem termos desta sequêcia que formam uma P.G, pois os termos são todos positivos e ão ulos. [II] Verdadeira. Determiado o sétimo termo da sequêcia, temos a7, que é um úmero primo. [III] Verdadeira. Aalisado a paridade da sequêcia (ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par,...) percebemos que os termos de ordem, 6, 9,,... são pares. Portato, apeas as afirmações [II] e [III] são verdadeiras. Resposta da questão 6: Tem-se que K 4 4. Págia 7 de

8 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e Se, etão 0 e, portato, segue que K. Resposta da questão 7: a) Tem-se que b aq, c aq e d aq. Logo, vem p a aq aq aq q q q q a a a a 0. Por coseguite, x é uma raiz do poliômio p(x). q b) De (a), obtemos a c x e a aq x e. d b y f aq aq y f Sabedo que a 0, q 0 e q, o sistema terá solução úica se, e somete se, a aq aq aq 5 0 a q a q 0 a q( q )( q ) 0. Portato, além de q 0, deve-se ter q. Resposta da questão 8: [C] Sejam x, x r e x r as medidas, em metros, dos lados do triâgulo, com x, r 0. Aplicado o Teorema de Pitágoras, ecotramos x r. Logo, os lados do triâgulo medem r, 4r e 5r. Sabedo que o perímetro do triâgulo mede 6,0 m, vem r 4r 5r 6 r. Portato, a área do triâgulo é igual a r 4r 6,5 m. Resposta da questão 9: 4 a) Se a progressão,,, 5 9 é harmôica, etão a sequêcia 5 9,,, 4 é uma Págia 8 de

9 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e progressão aritmética de razão 9 5. Daí, seu sexto termo é dado por a Em cosequêcia, o resultado pedido é 4. 5 b) Sabedo que em toda progressão aritmética cada termo é igual à média aritmética do seu atecessor e do seu sucessor (exceto o primeiro e o último), tem-se a c a c b b ac ac b. a c Resposta da questão 0: [C] Se a altura da pirâmide mede cm e seu volume 50cm, etão a área da base é tal que 50 S Si 50cm. i i i Além disso, temos S6 S r r r cm. Logo, S S r S S cm. Por coseguite, o valor de é Si [ S ( ) r] 50 ( ) i ( ) ( ) Resposta da questão : [E] Até a 4 a liha, temos: Págia 9 de

10 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e (4) termos. Portato, o primeiro elemeto da 4ª liha será o 904º úmero atural ímpar. Etão: a Resposta da questão : [C] Sejam,,, e as raízes de p(x). Podemos escrever p(x) sob a forma p(x) x 0x a x a x a x a. Assim, das Relações de Girard, tem-se Portato, p(x) x(x ) x x (x ) x(x ) x x x x implica em (a, a, a ), 0,. 4 4 Resposta da questão : [A] Seja o úmero de meses decorridos até que os dois irmãos veham a ter o mesmo capital. Tem-se que, , ou seja, um ao e sete meses, o que equivale a pouco mais de um ao e meio. Resposta da questão 4: [C] Pelo Teorema de Pitágoras aplicado o triâgulo ABC, ecotramos facilmete AC 0 m. Págia 0 de

11 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e Os triâgulos ABC, CDE, EFG, são semelhates por AA. Logo, como a razão de semelhaça é igual a CD, segue-se que AC 0 m, CE 5 m, AB EG m, costituem uma 4 0 progressão geométrica cujo limite da soma dos primeiros termos é dado por 80 m. 4 Resposta da questão 5: a) Como OB0 AB, AA AB e OA é comum aos triâgulos OAA e OBA, segue-se que os triâgulos OAA e OBA são cogruetes por LAL. Além disso, OAB 0 OAA 90 e AB0 A 60 implicam em OAB 60. Portato, o triâgulo OA B é equilátero. Desse modo, o resultado pedido correspode à altura do triâgulo A0OB 0, ou seja, 7 cm. b) Raciociado de forma iteiramete aáloga ao item (a), cocluímos que OA OA, com. Daí, como OA a A A, temos OA a, a OA para todo e, portato, a, a, a, é uma progressão geométrica de primeiro termo 7 a cm e razão. c) O comprimeto da poligoal A0AA A, com, correspode à soma dos primeiros termos da progressão geométrica a, a, a,, ou seja, 7 7( ) cm. Resposta da questão 6: a) As distâcias percorridas pela rã costituem uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 4 e razão. alcace o cetro, etão Logo, se é o úmero de saltos ecessários para que a rã Págia de

12 Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e 7,5 4 7, b) Supodo que a rã pudesse dar tatos saltos quato quisesse, teríamos lim S 6. Portato, como 6 7,5, cocluímos que a rã ão chegaria ao cetro. Págia de