Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética

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1 Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 4 Números primos, úmeros compostos e o Teorema Fudametal da Aritmética 1 O Teorema Fudametal da Aritmética Estamos agora protos para euciar o teorema que caracteriza todo úmero atural em termos de seus costituites primos. Teorema 1 (Teorema Fudametal da Aritmética). Seja 2 um úmero atural. Podemos escrever de uma úica forma como um produto = p 1 p m ode m 1 é um atural e p 1... p m são primos. Demostração. Mostramos a existêcia da fatoração de em primos por idução. Se é primo ão há o que provar (escrevemos m = 1, p 1 = ). Se é composto podemos escrever = ab, a,b N, 1 < a <, 1 < b <. Por hipótese de idução, a e b se decompõem como produto de primos. Jutado as fatorações de a e b (e reordeado os fatores) obtemos uma fatoração de. Vamos agora mostrar a uicidade. Supoha por absurdo que possui duas fatorações diferetes = p 1 p m = q 1 q m, com p 1... p m, q 1... q m e que é míimo com tal propriedade. Como p 1 q 1 q m temos p 1 q i para algum valor de i pelo corolário??. Logo, como q i é primo, p 1 = q i e p 1 q 1. Aalogamete temos q 1 p 1, e portato p 1 = q 1. Mas /p 1 = p 2 p m = q 2 q m admite uma úica fatoração, pela miimalidade de, dode m = m e p i = q i para todo i, o que cotradiz o fato de ter duas fatorações. Outra forma de escrever a fatoração acima é = p e pem m,

2 com p 1 < < p m e e i > 0. Aida outra formulação é escrever = 2 e 2 3 e 3 5 e 5...p ep... odeoprodutoétomadosobretodos os primosmasapeasum úmerofiitode expoetes é maior do que zero. Vamos os referir a qualquer destas expressões como a fatoração caôica de em primos. A fatoração úica em primos se aplica em cotextos mais gerais, como veremos mais tarde. Aqui, como aplicação imediata do Teorema Fudametal da Aritmética, vamos mostrar a prova atribuída a Euclides para a existêcia de ifiitos primos (uma prova com mais de 2000 aos e que aida fucioa!). Teorema 2 (Euclides). Existem ifiitos primos. Demostração. Supohaporabsurdoquep 1,p 2,...,p m fossemtodos osprimos. O úmero N = p 1 p 2...p m 1 > 1 ão seria divisível por ehum primo p i, o que cotradiz o Teorema Fudametal da Aritmética. Observe que ão provamos que p 1 p 2...p m 1 é primo para algum cojuto fiito de primos(por exemplo, os m primeiros primos). Aliás, = = ão é primo. Não se cohece ehuma fórmula simples que gere sempre úmeros primos. Embora a quatidade de primos seja ifiita, uma questão atural é saber o quão raros ou frequetes eles são. Na seguda parte do livro, discutiremos mais a fudo esta questão sobre a distribuição dos primos. Por outro lado, é iteressate otar que existem cadeias arbitrariamete logas de úmeros compostos cosecutivos: a sequêcia (k 1)!2,(k 1)!3,(k 1)!4,...,(k 1)!(k 1), ehum termo é primo, pois eles admitem fatores próprios 2,3,4,...,k 1, respectivamete. Uma iteressate prova alterativa, devida a Erdős, de que existem ifiitos primos é a seguite: Supoha, por cotradição, que existe um úmero fiito de primos, digamos p 1,p 2,...,p k. Seja um úmero atural. Etão podemos escrever qualquer úmero m a forma m = m 2 1 m 2, ode m 2 1 e m 2 = p a 1 1 pa 2 2 pa k k ode a k = 0 ou 1 para cada k. Assim, cosiderado todas as possíveis maeiras de escrever os aturais m, temos: 2 k escolhas para m 2 e o máximo escolhas para m 1. Ou seja, para todo atural, vale que 2 k, o que é absurdo, pois esta desigualdade ão vale para suficietemete grade. Exemplo 3 (OIbM1987). A sequêcia p é defiida da seguite forma: (i) p 1 = 2. 2

3 (ii) Para todo 2, p é o maior divisor primo da expressão Demostre que p é diferete de 5. p 1 p 2 p 3 p 1 1. Solução: Dado que p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 7, segue-se que para qualquer 3, p 1 p 2 p 1 é múltiplo de 2 e de 3, portato p 1 p 2 p 1 1 ão é múltiplo em de 2 em de 3. Além disso, como p 1 = 2, etão p é ímpar para todo 2, assim p 1 p 2 p 1 ão é múltiplo de 4. Supohamos que exista tal que p = 5, isto é, o maior divisor primo de p 1 p 2 p 1 1 é 5. Como 2 e 3 ão dividem p 1 p 2 p 1 1, temos que Portato p 1 p 2 p 1 1 = 5 k. p 1 p 2 p 1 = 5 k 1 = (5 1)(5 k 1 5 k 2 51), logo 4 p 1 p 2 p 1, o que é uma cotradição. Exemplo 4. Determie todas as teras (a, b, c) de iteiros positivos tais que a 2 = 2 b c 4. Solução: Como a 2 = 2 b c 4 (a c 2 )(a c 2 ) = 2 b, pelo Teorema Fudametal da Aritmética existem dois aturais m > tais que m = b, a c 2 = 2 e a c 2 = 2 m. Subtraido as duas últimas equações, obtemos que 2c 2 = 2 m 2, assim c 2 = 2 1 (2 m 1). Como 2 1 e 2 m 1 são primos etre si, e o seu produto é um quadrado perfeito (i.e. os expoetes das potêcias de primos distitos são pares), ovamete pelo Teorema Fudametal da Aritmética 2 1 e 2 m 1 devem ser quadrados perfeitos. Assim, 1 é par e 2 m 1 = (2k 1) 2 para algum iteiro positivo k. Como 2 m = (2k 1) 2 1 = 4k(k 1)2 é divisível por 2 mas ão por 4, temos m = 1. Assim, fazedo 1 = 2t, temos que todas as soluções são da forma (a,b,c) = (3 2 2t,4t3,2 t ) com t N e é fácil verificar que todos os úmeros desta forma são soluções. Do Teorema Fudametal da Aritmética, segue que todo divisor de = p e pem m é da forma p d pdm m com 0 d i e i. Assim, obtemos o outro algoritmo usual para calcular o mdc de dois úmeros: fatoramos os dois úmeros em primos e tomamos os fatores comus com os meores expoetes. Este algoritmo é bem meos eficiete do que o de Euclides para iteiros grades (que em geral ão sabemos fatorar de forma eficiete computacioalmete) mas é istrutivo saber que os dois algoritmos dão o mesmo resultado. Além disso, este algoritmo tem cosequêcias teóricas importates, como por exemplo o 3

4 Corolário 5. Se mdc(a,) = mdc(b,) = 1, etão mdc(ab,) = 1. Demostração. Evidete a partir do algoritmo descrito acima. Para ecerrar esta seção, vejamos aida algumas outras aplicações do Teorema Fudametal da Aritmética. Proposição 6. Seja = p e pem m a fatoração de em potêcias de primos distitos p i e seja σ k () def = d, d>0 dk a soma das k-ésimas potêcias dos divisores positivos de. Etão σ k () = p(e 11)k 1 1 p k p(em1)k m 1 p k. m 1 Para k = 0, a fórmula acima deve ser iterpretada tomado-se o limite k 0, de modo que a quatidade de divisores positivos de é σ 0 () = (e 1 1) (e m 1). Demostração. Como a soma a defiição de σ k () percorre todos os úmeros da forma d k = p d 1k 1...pm dmk com 0 d i e i, temos a seguite fatoração: σ k () = (1p k 1 p 2k 1 p e 1k 1 )... (1p k m p 2k m p emk m ). Somado as progressões geométricas 1 p k i p2k i p e ik i resultado segue. = p(ei1)k i p k i 1 Proposição 7 (Fatores do Fatorial). Seja p um primo. Etão a maior potêcia de p que divide! é p α ode α = p p 2 p 3 Observe que a soma acima é fiita pois os termos p i são evetualmete zero. Demostração. No produto! = , apeas os múltiplos de p cotribuem com um fator p. Há p tais múltiplos etre 1 e. Destes, os que são múltiplos de p 2 cotribuem com um fator p extra e há p 2 tais fatores. Detre estes últimos, os que são múltiplos de p 3 cotribuem com mais um fator p e assim por diate, resultado a fórmula acima. Exemplo 8. Determie com quatos zeros termia 1000!. Solução: O problema é equivalete a determiar qual a maior potêcia de 10 que divide 1000! e como há muito mais fatores 2 do que 5 em 1000!, o expoete desta potêcia coicide com o da maior potêcia de 5 que divide 1000!, ou seja, Assim, 1000! termia com 249 zeros = , o 4

5 Problemas Propostos Problema 9. Mostre que se é um úmero atural composto, etão é divisível por um primo p com p. Problema 10 (IMO1989). Prove que, para todo iteiro positivo, existem iteiros positivos cosecutivos, ehum dos quais é potêcia de primo. Problema 11 (Chi1998). Ecotre todos os para os quais 1 ( ( 1) ( 2) ) 3 divide Problema 12 (IMO2002). Sejam d 1 < d 2 < < d k os divisores positivos de um iteiro > 1. Seja d = d 1 d 2 d 2 d 3 d k 1 d k. Mostre que d < 2 e ecotre todos os para os quais d 2. Problema 13 (IMO1997). Ecotre todos os pares (x, y) de iteiros positivos tais que x y2 = y x. Problema 14. Geeralizar o resultado aterior para x y = y x, ode x e y são iteiros positivos. Problema 15 (IMO1984). Sejam a,b,c,d iteiros ímpares tais que 0 < a < b < c < d e ad = bc. Demostre que se ad = 2 k e bc = 2 m para iteiros k e m, etão a = 1. Dicas e Soluções 10. Cosidere os iteiros (1)! 2 k,2 k Note que 1 ( ( 1) ( 2) ) 3 = (1) = (1) (1)2 3(1) Temos d = 2 d k d k 1 2 d k 1 d k 2 2 d 2 d 1 < 2 ( ) = 2 ( ) = 2. Por outro lado, se p é o meor primo que divide 2, temos que d d k 1 d k = 2 2 p. Como p é o maior divisor próprio de 2 e d > d k 1 d k se k > 2, temos que d 2 se, e somete se, = p é primo. 13. Sejam x = p α pα e y = p β pβ as fatorações caôicas de x e y. Temos α j = p q β j e x = y p/q ode p q = x Q, com p,q iteiros positivos y 2 e mdc(p,q) = 1. Assim, p α j e q β j para todo j, dode x = a p e y = a q, para um certo iteiro positivo a. Se a = 1, temos x = y = 1, o que é uma solução. Supohamos que a > 1. A igualdade x y2 = y x pode ser escrita como (a p ) y2 = (a q ) x, que equivale a py 2 = qx, ou seja, pa 2q = qa p. Se 2q p, temos q p = a2q p N, dode p = 1 e a 2q 1 = a 2q p = q, absurdo, pois para todo a 2 e q 1, a 2q 1 2q 11 = 2q > q. Se, por outro lado, 2q < p, teremos p q = ap 2q N, dode q = 1 e a p 2 = a p 2q = p. 5

6 Como 2 2 >, 5, 3 2 >, 4 e a 2 >, a 4, 3, temos que as úicas possibilidades são (a,p) = (2,4) e (a,p) = (3,3), o que os dá as soluções x = 16,y = 2 e x = 27,y = 3, que, juto com a solução x = y = 1, costituem todas as soluções do problema. 15. Note que 2 k 2 m = ad (bc) = bc d d (bc) = (d b)(d c)/d > 0. Assim, se k > m. De ad = bc, segue que a(2 k a) = b(2 m b), o que equivale a (b a)(b a) = b 2 a 2 = 2 m (b 2 k m a). Como a e b são ímpares, b a e ba são pares, mas um deles ão é múltiplo de 4. Assim, temos duas possibilidades: b a = 2 m 1 t e ba = 2s, com t e s ímpares ou b a = 2t e ba = 2 m 1 s, com t e s ímpares. Se b a = 2 m 1 t e b a = 2s, com t e s ímpares, temos em particular b = a2 m 1 t > 2 m 1, absurdo, pois bc = 2 m e b < c, dode b < 2 m 1. Se b a = 2t e ba = 2 m 1 s, com t e s ímpares, temos b = t2 m 2 s e a = 2 m 2 s t, e, de 2 m st = (b a)(b a) = 2 m (b 2 k m a), temos st = b 2 k m a = (2 k m 1)t 2 m 2 (2 k m 1)s = 2t (2 k m 1)(2 m 2 s t) < 2t (pois 2 m 2 s t = a > 0). Assim, s < 2, dode s = 1, e logo t = st = (2 k m 1)t 2 m 2 (2 k m 1)s = (2 k m 1)t 2 m 2 (2 k m 1), dode 2 m 2 (2 k m 1) = 2 k m t. Daí segue que m 2 = k m e t = 2 k m 1 = 2 m 2 1, dode a = 2 m 2 s t = 2 m 2 t = 1. Referêcias [1] F. E. Brochero Martiez, C. G. Moreira, N. C. Saldaha, E. Tega - Teoria dos Números - um passeio com primos e outros úmeros familiares pelo mudo iteiro, Projeto Euclides, IMPA, 2010.