Neste cap ³tulo, apresentamos o conceito de n umero primo e exploramos as primeiras propriedades dos n umeros primos.

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1 5 N umeros primos Neste cap ³tulo, apresetamos o coceito de umero primo e exploramos as primeiras propriedades dos umeros primos. 5.1 Coceitos e propriedades imprescid ³veis O iteiro positivo 1 tem somete um divisor positivo. Qualquer outro iteiro positivo, >1, tem pelo meos dois divisores positivos, 1 e. De i»c~ao 5.1 Dizemos que um iteiro p e primo se p 6= 0, p 6= 1, p 6= 1, e os uicos iteiros divisores de p s~ao 1, p, 1 e p. Dizemos que um iteiro m e composto se m 6= 0, m 6= 1, m 6= 1, em ~ao e primo. Assim sedo, um iteiro p e primo quado p 6= 1 eseus uicos divisores positivos s~ao 1 e jpj. J aumiteirom e composto quado m 6= 0,em possui divisores positivos diferetes de 1 e de jmj. O teorema abaixo estabelece o papel dos umeros primos positivos, como blocos costrutivos dos iteiros positivos maiores que 1. Teorema 5.1 Todo iteiro m, m 2, eum umero primo ou tem a forma m = p 1 p, para certos iteiros primos positivos p 1 ;::: ;p,com 2. Ou seja, cada iteiro, a partir de 2, e um umero primo ou um produto de fatores todos primos positivos. Demostra»c~ao por idu»c~ao sobre m. Se m =2,et~ao m e primo (demostre). Seja k 2 e supohamos que todo iteiro m, com2 m k, eprimoouse decomp~oe como produto de fatores primos. Trataremos de demostrar que et~ao k +1 38

2 N umeros primos 39 tamb em e primo ou se escreve como produto de fatores primos. Note que zemos uma hip otese de idu»c~ao com a ite»c~ao de utilizarmos o segudo pric ³pio de idu»c~ao ita. Cosideremos o iteiro k +1.Sek +1 e primo,et~ao ada mais temos a demostrar. Se k +1 ~ao e primo, como k +1 3, temos que k +1 e composto. Et~ao existem iteiros positivos a e b, com1 <a<k+1e 1 <b<k+1, tais que k +1se fatora a forma k +1=a b. Agora, como 2 a k e 2 b k, pela hip otese de idu»c~ao cada um dos iteiros a e b e um primo ou se decomp~oe como produto de fatores primos positivos. Logo, como k +1=ab, k +1se decomp~oe como um produto de fatores primos positivos. Assim sedo, cada iteiro m 2 e primo ou se escreve como um produto de primos. O teorema 5.1 eucia, em parte, o Teorema Fudametal da Aritm etica, que ser a estudado oportuamete. O Teorema Fudametal da Aritm etica estabelece tamb em que a decomposi»c~ao de cada iteiro positivo, maior que 1, em fatores primos, e uica, a meos da ordem dos fatores. O teorema seguite estabele um resultado que pode ser usado para testar se um iteiro positivo e primo. Como veremos, utilizado um procedimeto devido a Erat ostees, o mesmo teorema pode ser usado para listar todos os primos positivos meores que ou iguais a um iteiro positivo, quado 2. Teorema 5.2 Se e um iteiro positivo composto et~ao tem um fator primo p satisfazedo p p. Equivaletemete, se 2, e ehum primo p, com2 p p, e fator de, et~ao, e primo. Demostra»c~ao. Sedo composto, temos 2, e pelo teorema 5.1, = p 1 p s, para certos fatores primos positivos p 1 ;::: ;p s,coms 2 (se s =1, e um umero primo). Da ³, p 1 p ou p 2 p, pois se p 1 > p e p 2 > p,et~ao o que os d a uma cotradi»cao. = p 1 p s p 1 p 2 > p p = Como p 1 e p 2 s~ao fatores primos quaisquer de, coclu ³mos icidetalmete que, se 2 e um iteiro composto, ~ao pode ter dois fatores primos maiores que p, ou seja, todos os fatores primos de (com poss ³vel exce»c~ao de apeas um) s~ao meores que p.

3 N umeros primos 40 Exemplo 5.1 Para testar se o iteiro 1007 e primo observamos, com o uso de uma calculadora, que p 1007 ¼ 31; 73. Os primos positivos p satisfazedo p p1007 ¼ 31; 73 s~ao 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Com a calculadora, veri camos que 1007 ~ao e divis ³vel por ehum desses fatores, e portato e primo. J a o mesmo procedimeto, de testar os poss ³veis fatores primos p de, que satisfazem p p, os revela que 1003 = e que 1001 = O crivo de Erat ostees O teorema 5.2 pode ser usado, por exemplo, para listar os primos meores que ou iguais a, quado e umiteiropositivo. Um procedimeto para tal listagem e chamado de Crivo de Erat ostees, e cosiste em listar os umeros meores que ou iguais a crivado (demarcado) os m ultiplos dos primos meores que ou iguais a p. Como mostramos o exemplo abaixo, para =100, cosideramos como poto de partida os primos p satisfazedo 2 p p100 = 10, sedo eles 2, 3, 5 e 7. Descartamos iicialmete o umero 1, que ~ao e primo. Em seguida, demarcamos (crivamos) os m ultiplos de 2 maiores que 2. Em seguida, crivamos os m ultiplos de 3 maiores que 3. O procedimeto e repetido para os primos 5 e 7. Al em de 2, 3, 5 e 7, ser~ao primos positivos meores que 100 todos os umeros da tabela que ~ao foram crivados, pois se um iteiro positivo, 2 100, ~ao for primo, ele dever a terumfatorprimop satisfazedo p p p100. ÂÁ1 2 3 Á4 5 Á6 7 Á8 Â9 Á10 11 Á12 13 Á14 Â15 Á16 17 Á18 19 Á20 Â21 Á22 23 Á24 25 Á26 Â27 Á28 29 Á30 31 Á32 Â33 Á34 35 Á36 37 Á38 Â39 Á40 41 Á42 43 Á44 Â45 Á46 47 Á48 ÂÁ49 Á50 Â51 Á52 53 Á54 55 Á56 Â57 Á58 59 Á60 61 Á62 Â63 Á64 65 Á66 67 Á68 Â69 Á70 71 Á72 73 Á74 Â75 Á76 ÂÁ77 Á78 79 Á80 Â81 Á82 83 Á84 85 Á86 Â87 Á88 89 Á90 ÂÁ91 Á92 Â93 Á94 95 Á96 97 Á98 Â99 Á100 Observado o crivo de Erat ostees acima, escreva a lista dos primos positivos abaixo de 100. Desde muito cedo, matem aticos questioaram se o cojuto de primos positivos e ito ou ~ao. Em seus Elemetos, Euclides de Alexadria deu a resposta.

4 N umeros primos 41 Teorema 5.3 (Euclides) Existem i itos umeros primos positivos. Demostra»c~ao. Demostraremos que, sedo dado um cojuto ito qualquer de primos positivos, e poss ³vel \costruir" um primo positivo que est a fora desse cojuto. Assim, o cojuto de primos positivos e i ito. Seja et~ao fp 1 ;::: ;p g um cojuto de primos positivos distitos, 1. Cosidere o iteiro positivo a = p 1 p +1 Mostraremos que a possui um fator primo diferete dos primos p 1, :::, p. Obviamete, a e um iteiro positivo maior que cada um dos primos p 1, :::, p. Se a e primo, ele mesmo e o primo procurado, fora do cojuto fp 1 ;::: ;p g. Se a ~ao e primo, pelo teorema 5.1, ele possui um fator primo positivo q. Temos et~ao q 62 fp 1 ;::: ;p g:seq = p i para algum i 2f1;::: ;g, et~ao q j p 1 p ; como q j a, temos que q j (a p 1 p ),eportatoq j 1, o que cotradiz o fato de q ser primo. Assim, o iteiro a tem um fator primo diferete dos primos p 1, :::, p. Portato, o cojuto dos umeros primos ~ao pode ser ito. 5.3 Desidade dos umeros primos e cojecturas famosas Exporemos agora, a t ³tulo de divulga»c~ao apeas, algus resultados que evolvem a distribui»c~aodosprimosdetreositeiros O teorema dos umeros primos O teorema dos umeros primos foi cojecturado por Gauss em 1793, mas demostrado somete em 1896, pelos matem aticos Jacques Hadamard e C.J. de la Vall ee Poussi, em trabalhos idepedetes. Na matem atica uiversit aria, destacam-se duas costates um ericas muito importates. S~ao elas o umero pi, ¼ ¼ 3; 14159, que surge o estudo da circufer^ecia e suas propriedades m etricas, e o umero e ¼ 2; O umero e e de ido como sedo o limite da seqäu^ecia (1 + 1 ), =1; 2; 3;:::, ou seja, a liguagem de limites de seqäu^ecias, µ e = 1+ 1 lim!+1 2N

5 N umeros primos 42 Pode ser demostrado que o umero e e irracioal. Na tabela 5.1, exibimos valores (aproximados) de 1+ 1,para =1, 10, 100, 1000, 10000, = 1+ 1 Tabela =2 10 0; 1 1; 1 (1; 1) 10 ¼ 2; ; 01 1; 01 (1; 01) 100 ¼ 2; ; 001 1; 001 (1; 001) 1000 ¼ 2; ; ; 0001 (1; 0001) ¼ 2; ; ; (1; 00001) ¼ 2; O logaritmo atural de x, l x, parax real positivo, e de ido como sedo l x =log e x Para cada umero real positivo x, de e-se o umero ¼(x), a quatidade de umeros primos positivos p satisfazedo 2 p x. Observado o crivo de Erat ostees, costru ³do acima, temos ¼(10) = 4, ¼(20) = 15, e¼(100) = 25. Teorema 5.4 (Teorema dos umeros primos) Para valores su cietemete grades de x, veri ca-se que ¼(x) e aproximadamete igual a 1. x= l x Mais precisamete, a liguagem de limites, ¼(x) lim ³ x!1 x =1 l x Exibimos a tabela 5.2, para que o leitor aprecie evid^ecias um ericas a respeito do teorema 5.4, o qual ~ao temos codi»c~oes de demostrar aqui. Segudo o teorema 5.4, quado tede ao i ito, temos que ¼() l = ¼() l tede a 1. Por outro lado, l tamb em tede ao i ito. Assim, temos que ¼() µ ¼() l. = l tede a 0 quado tede ao i ito.

6 N umeros primos 43 Tabela 5.2. Compara»c~oes de ¼(x) com x ¼(x) x l x x (l x =log l x e x) ¼(x)= x l x ; 8 1; ; 7 1; ; 9 1; ; 4 1; ; 9 1; ; 3 1; ; 033 Assim, a porcetagem de primos positivos at e, dada aproximadamete pela fra»c~ao decimal ¼()=, tede µa zero µa medida em que cresce. Isto os revela que e cada vez mais dif ³cil ecotrar umeros primos µa medida em que ava»camos os iteiros positivos. por Para valores iteiros de muito grades, este percetual e dado aproximadamete ¼() = ¼()= l l ¼ 1 l Tabela 5.3. Desidade dos umeros primos detre os primeiros iteiros positivos. Porcetages de primos positivos at e, e compara»c~oes com 1= l. ¼() ¼() 1= l ;168 0; ; ; ; ; ; ; ; ; Observado a tabela 5.3, otamos que s~ao primos, 16;8% dos iteiros positivos at e 10 3, 7;8498% dos iteiros at e 10 6, e aproximadamete 3;1% dos iteiros at e Para estudates que cohecem c alculo itegral, uma aproxima»c~ao aida melhor para ¼(), para 2, edadapor¼() = R 1 dx. Geometricamete, R 1 dx e a 2 l x 2 l x medida da area compreedida etre a curva y =1= l x, oeixox, e as retas verticais

7 N umeros primos 44 x =2e x =. Por exemplo, para =10 14,temos¼()=( R 1 dx) ¼ 0; , 2 l x equato que ¼()=(= l ) ¼ 1; A cojectura de Goldbach Existem v arias cojecturas evolvedo umeros primos, f aceis de se euciar, costituido-se em propriedades aida ~ao demostradas e tampouco refutadas. Uma delas e sobre a exist^ecia de i itos primos da forma 2 +1,com iteiro positivo. Ou seja, ~ao se sabe se o cojuto dos primos dessa forma e ito ou i ito. Uma outra e acojecturasobreai itudedeprimosg^emeos (veja problema 8, p agia 45). Uma outra, bastate famosa, e a seguite cojectura. Cojetura de Goldbach Todo iteiro par, maior que dois, pode ser escrito como soma de dois primos positivos. Esta propriedade de iteiros pares, formulada por Christia Goldbach em uma carta escrita a Euler, em 1742, e verdadeira para todos os iteiros pares at e iteiros pares muito grades, da ordem de milh~oes. Sua validade, veri cada apeas experimetalmete em supercomputadores, prossegue sedo um problema em aberto. Como exemplo, 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10=3+7= = = = =3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53 Outra famosa cojectura de Goldbach diz que todo iteiro ³mpar, maior que 5, e soma de tr^es primos positivos. 5.4 Exerc ³cios 1. Determie quais dos seguites umeros s~ao primos, usado o teorema 5.2. (a) 101 (b) 103 (c) 107 (d) 211 (e) 213 (f) Ecotre todos os primos da forma a 4 b 4 com a e b iteiros positivos. 3. Mostre que ehum iteiro da forma 3 +1 e primo,exceto2=1 3 +1e 7 = ( 2) Mostre que se a e s~ao iteiros positivos, com 2, tais que a 1 e primo, et~ao ecessariamete a =2e e primo.

8 N umeros primos 45 Sugest~ao: Se a 3, sedo 2, temosa 1=(a 1)(a 1 +a 2 + +a+1). Se a =2e 2 e composto, temos = k` com 2 k<e 2 `<.Agora, fazemos uso da idetidade a k` 1=(a k )` 1=(a k 1) a k(` 1) + a k(` 2) + + a k Demostre que, para cada iteiro positivo, todo fator primo, do iteiro!+1, e maior que. Cocluaet~ao, por uma ova demostra»c~ao, que o cojuto dos iteiros primos positivos e i ito. 6. Demostre que, para cada iteiro positivo, existe ao meos uma seqäu^ecia de iteiros cosecutivos, todos compostos. Ou seja, o cojuto dos umeros iteiros positivos, h a espa»cos de iteiros cosecutivos, t~ao grades quato quisermos, sem a prese»ca de um uico umero primo. Sugest~ao. Fixadoumiteiropositivo, cosidere os iteiros cosecutivos ( +1)!+2; ( +1)!+3;::: ;( +1)!+; ( +1)!+( +1) 7. (a) De acordo com a proposi»c~ao euciada o problema 6, os sete iteiros cosecutivos, a partir de com 8!+ 2(= 40322), s~ao compostos. Observado o crivo de Erat ostees, µa pagia 40, mostre que estes ~ao s~ao os primeiros sete iteiros positivos cosecutivos compostos. (b)detreositeirospositivosde1 at e 100, quatas listas existem, de cico iteiros positivos cosecutivos compostos? Resposta. Nove. (c) Idique como fazer uma lista de um milh~ao de iteiros cosecutivos compostos. 8. Existem muitos pares de primos \cosecutivos", diferido etre si por duas uidades, sedo por isto chamados de primos g^emeos. Algus exemplos de primos g^emeos s~ao: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 101 e 103. A exist^ecia de um umero i ito de pares de primos g^emeos e uma cojectura matem atica famosa (umproblemaemaberto). Mostre que ~ao existem primos trig^emeos p, p +2e p +4,a~ao ser 3, 5 e Demostre que qualquer iteiro 12 e a soma de dois iteiros compostos. Sugest~ao. Sedo 12, se epar, =8+( 8). Se e ³mpar, =9+( 9). 10. (a) Mostre que sedo p(x) =x 2 x +41,tem-sep(x) primoparacadaiteirox tal que 0 x 40. Mostre, etretato, que p(41) e um iteiro composto. (b) (Goldbach) Mostre que se f(x) =a x + a 1 x a 1 x + a 0,com 1 e a 6=0, sedo os coe cietes a ;::: ;a 0 todos iteiros, et~ao existe um iteiro a tal que f(a) e composto. Sugest~ao: Assuma que f(a) e primo para todo iteiro a. Cosidere o umero primo p = f(0) = a 0. Demostre que et~ao f(kp) =p, paratodoiteirok.