Orientação de trabalho:

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1 Apoio Matemática Fiita Orietação de trabalho: Cotiue o estudo do Capítulo 1 - secção 1 (pág 37 a 49 do maual Secção 1: Coeficietes biomiais Nesta secção irá apreder/relembrar os coceitos: pricípio de idução matemática (ver págia seguite; coeficiete biomial, biómio de Newto; igualdades biomiais; coeficiete multiomial Esta secção está dispoível em Veja, também, a págia web de apoio o tópico 4, ou clique directamete o li: Em particular, cosulte as págias: Pricípios básicos de cotages (págia : esta págia deverá ler as subsecções 1, e 3, sobre o pricípio da multiplicação, da adição e do complemetar Os dois primeiros pricípios fudametam a difereça etre multiplicar e somar cotages O pricípio do complemetar aplica-se quado a uma cotagem geral queremos excluir cotages particulares Agrupametos (págia 3: esta págia explica os diferetes tipos de agrupametos que podemos ter Permutações e arrajos (págia 4: esta págia ecotra as defiições de potêcia decrescete arrajo sem repetição e de permutação Veja os exemplos 1 a 6 Combiações (págia 5: esta págia ecotra as defiições de coeficiete biomial, biómio de Newto e as igualdades biomiais mais importates Veja os exemplos 1, Permutações com repetição (págia 6: esta págia deverá ler as subsecções 61 e 6 acerca do coeficiete multiomial Veja os exemplos 1, -(a e 3 O exercício -(b usa o pricípio da iclusão/exclusão que será estudado a próxima semaa Esta págia complemeta o estudo da secção 1 do maual, mas ão o substitui Resolva os exercícios propostos a Folha ( exer das pág 49 a 5 do maual Competêcias a adquirir: saber aplicar o pricípio de idução matemática; aplicar as igualdades biomiais; iterpretar e cotar os elemetos de cojutos fiitos Matemática Fiita 1

2 Pricípio de Idução Matemática Quado temos afirmações acerca de todos os úmeros aturais podemos usar um método cohecido por método de idução matemática e que pode ser euciado por: Seja P( uma proposição em N Se (1 P( 0 for verdadeira, e ( 0 (P( P( + 1 for verdadeira etão, também, é verdadeira em N a proposição 0 P( (1 - é o caso base; ( - é o passo de idução O atecedete da implicação P( é chamado a hipótese de idução e o cosequete P( + 1 a tese de idução O que este método diz é que: Se dada codição sobre os úmeros aturais é verdadeira para um úmero cocreto 0 e se sempre que ela é verdadeira para 0 também o é para o seu sucessor + 1 etão a codição P( é uma proposição verdadeira para todos os úmeros aturais 0 A ideia de idução pode ser ilustrada pela seguite situação Imagiemos uma fila ifiita de soldadihos umerados, por úmeros aturais cosecutivos ( 1, e supohamos que eles estão dispostos de tal modo que se qualquer um deles cai, digamos o que tem úmero, ele bate o seguite, isto é o que tem úmero + 1, e este também cai Assim, se o primeiro soldado a cair for 0 etão cairá o 0 + 1, depois o 0 +, e assim sucessivamete Portato, todos os soldados a partir do 0 cairão Outro exemplo clássico é o das peças de domió idicado o maual Existe uma outra versão do método de idução, o método de idução completa, que será estudado o tema 3 Breve ota histórica O coceito de idução matemática aparece, formulado de maeira abstracta, pela primeira vez a obra Traité du Triagle Arithmétique, escrita o século XIX pelo matemático fracês Blaise Pascal No etato, é também recohecida uma certa forma de idução matemática, uma forma arcaica, os trabalhos do matemático italiao Giovai Vacca do século XVI 1 Números aturais cosecutivos são úmeros da forma, + 1 ALC

3 Folha : Exercícios (pág 49 a 5 do maual Coeficietes biomiais (secção 1 1 De quatas maeiras possíveis se podem setar cico pessoas: (a Numa fila? (b Em círculo, cosiderado apeas a posição relativa das pessoas? Cico rapazes e cico raparigas vão setar-se uma bacada Idique de quatas maeiras se podem setar, para cada uma das seguites codições: (a Os rapazes setam-se todos os cico lugares à esquerda (b Nehum par de rapazes se seta em lugares cotíguos (c O Pacrácio e a Egrácia têm de ficar lado a lado 3 Admita que x 0 0 e que x +1 x + + Mostre, por idução, que x ( + 1 para todo N 4 Mostre por idução que: (a (+1, para 1 (b para todo 1, 3 divide 3 + (c ( 1( 3( 5 1 (, para 1 (d ( + 1! 1 + j0 j( + 1 j (e x x x +1 + x Nota prévia: (ao exercício 5 As potêcias factoriais crescetes e decrescetes são defiidas como um poliómio que poderá tomar valores reais: x x(x 1 (x 1 e x x(x + 1 (x + 1 com x R, N Quado a variação é os úmeros aturais tem-se! (! se, N, A oção de factorial é somete defiida os aturais Esse coceito pode ser estedido aos reais defiido factorial à custa de itegrais, mas ão é do âmbito desta uc 5 (a Mostre, por idução, que ( x ( 1 x (b Substituido x por x a igualdade da alíea aterior, coclua que ( x ( 1 x Matemática Fiita 1

4 6 (a Qual é o coeficiete de x 5 o desevolvimeto de (1 + x 11? (b Qual é o coeficiete de x 3 o desevolvimeto de (3 4x 6? (c Qual é o desevolvimeto de x y 5 o desevolvimeto de (ax + by 7? 7 Num exame fez-se a seguite perguta: Quatas palavras de cico caracteres se podem escrever com as letras a, b, c e d, de modo a que cada letra apareça pelo meos uma vez? Um dos aluos, o Mário, respodeu do seguite modo: Bom, primeiro reservamos quatro lugares para quatro letras: há ( 5 4 maeiras de o fazer Para cada um desses quatro lugares há 4! maeiras de colocar as quatro letras Depois, ( o lugar restate, podemos colocar uma letra qualquer A resposta é, portato, 5 4 4!4 Um outro aluo, o Rui, respodeu assim: Se há cico lugares para quatro letras, etão uma das letras aparecerá repetida E apeas uma, já que todas as letras têm que aparecer Há ( 5 maeiras possíveis de colocar a letra que se repete, e os três restates lugares colocam-se as outras três letras Como tal, a resposta é 4 ( 5 3! Quem respodeu certo? Justifique a sua resposta! 8 (a Num baralho de 5 quatas mãos de cico cartas é que existem? (b E quatas mãos de cico cartas com exactamete dois ouros é que existem? 9 Idique qual a alíea que respode ao seguite problema: Um homem tem dez amigos De quatas maeiras pode ele ir jatar com dois ou mais amigos? (a (b 10 i 10 i (c 8; ( 10 ; i 10 i ; (d 10 11; (e Quatas maeiras há de re-arrajar as letras das seguites palavras? (a DRACONIANO (b CICERONE (c INFINITO 11 Quatas maeiras há de re-arrajar as letras das seguites palavras de modo a que ão apareçam vogais cosecutivas? (a BOLA (b GORGONZOLA (c FINITO [Sugestão: Primeiro trate das cosoates] ALC

5 1 Quatas sequêcias biárias de comprimeto cotêm exactamete zeros, ehum dos quais cosecutivos? 13 Quatas sequêcias biárias de comprimeto é que existem (a em que as primeiro etradas apeas aparece o 1? (b em que o úmero de zeros é igual ao úmero de us? (c Justifique que o úmero ( de sequêcias biárias de comprimeto em que existem mais zeros que us é 1 ( 14 Na demostração da lei de Pascal diz-se que o cojuto {A P ([]: A} tem cardialidade ( 1 1 Qual é a correspodêcia biuívoca que justifica esta afirmação? 15 Sete automóveis diferetes estão estacioados um parque de estacioameto que tem o seguite aspecto: Jardim Faculdade (a Quatas são as maeiras possíveis de estacioar? (b Desses sete automóveis, três pertecem a assistetes e quatro a professores Sabedo que os automóveis dos assistetes estão estacioados mais loge da faculdade do que os automóveis dos professores, quatas são as cofigurações possíveis desse estacioameto 16 (a Mostre através de um argumeto combiatorial que ( ( ( + + i i i 1 ( i [Sugestão: Use um raciocíio semelhate ao que se fez quado se demostrou a lei de Pascal] (b Utilizado uma igualdade similar à apresetada a alíea aterior, escreva ( i em termos de coeficietes biomiais da forma combiações 3 tomadas qualquer coisa a qualquer coisa 17 Mostre que ( ( ( (a por meio da fórmula da expasão factorial (b através de um argumeto combiatorial 18 Obteha a igualdade ( 0 ( como caso particular da covolução de Vadermode Matemática Fiita 3

6 19 (a Cosidere o coeficiete biomial ( 9 5 Proceda à sua expasão, de acordo com a fórmula de Pascal, bifurcado, em cada passo, apeas o ídice iferior mais alto (b Demostre a adição do ídice superior, por meio de um argumeto combiatorial 0 Deduza a fórmula do biómio descedete, dada por (x + y 0 ( x y ode x, y N (de facto, a fórmula é válida para úmeros complexos arbitrários [Sugestão: Divida ambos os membros por! e utilize a covolução de Vadermode] 1 Mostre, por idução, que m 0 ( r (r m + 1 ( r m + 1 * Uma sequêcia fiita diz-se uimodal se vai crescedo até certa altura e a partir daí decresce Mostre que a sequêcia ( ( ( (,,,, 0 1 é uimodal [Sugestão: Mostre, por idução em, que ( ( i < j para i < j ] 3 Fez o dois últimos exercícios? Em caso afirmativo, peso que domia razoavelmete bem o pricípio da idução matemática Mas, será que ão lhe escapou ada? Eis um quebra-cabeças Vamos demostrar que todos os cavalos têm a mesma cor O úmero de cavalos é fiito, pelo que vamos demostrar que qualquer colecção de cavalos é costituída por cavalos da mesma cor A demostração é por idução em Se é igual a 1, estamos a preseça de uma colecção com um só cavalo Logo, todos os cavalos desta colecção têm a mesma cor Cosideremos, agora, uma colecção de + 1 cavalos X {c 1, c,,c, c +1 } Cada uma das colecções Y {c 1, c,,c } e Z {c,,c, c +1 } tem cavalos Por hipótese de idução, os cavalos em Y têm todos a mesma cor, e os cavalos em Z também têm todos a mesma cor Logo, todos os cavalos em X têm a mesma cor O que é que correu mal? 4 Qual é o coeficiete de xy w 3 z 4 o desevolvimeto de (4x + 3y + z + w 10? 4 ALC

7 Folha : Soluções 1 (a 5! (b 5!/5 4! (a 5! 5! (b 5! 6! (c 9! ( ( ( ( ( (a (b 3 3 ( (c a b ( 7 a b 5 7 O Rui respodeu certo O Mário faz uma sobrecotagem pois cota cada situação duas vezes ( ( ( (a (b A resposta correcta é a (d ( ( ( ( (a 4! 10!,,, 1, 1, 1, 1!!! ( ( ( (b 4! 8!,, 1, 1, 1, 1!! ( ( 8 8 (5 8! (c 3! 3,, 1, 1, 1 3 3!! ( ( 3 6! 7 4! 11 (a!! (b! 4 3! ( ( 13 (a (! (b!! ( 4 3! (c 3! 3! (c ( 1 ( 14 Seja X { A P ([]: A } A afirmação #X ( 1 1 é justificada pela bijecção Φ: X P 1 ([ 1] defiida por Φ(A A \ {}, pra todo A X 15 (a (b ( i ( ! (b ( ! 4! ( ( ( i i 1 i 18 Use a lei da simetria e a covolução de Vadermode ( 3 i 3 3 O argumeto ão fucioa para o passo da idução que vai das colecções de um cavalo para as colecções de dois cavalos 4 ( ,, 4, 3 10! 1!! 4! 3! Matemática Fiita 5

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9 Folha : Resolução detalhada 1 (a Há 5! maeiras, porque este problema é equivalete a formar todas as sequêcias (ordeadas de 5 objectos sem repetição (b As rotações do círculo ão mudam a posição relativa das pessoas: A B E A D E C D B C E C D B C A B E A D D C B A E Como há cico rotações possíveis, a resposta é 5!/5 4! Coicide com o exercício 13 da AF1 e terá resolução detalhada o RAF1 3 Para 0, ( + 1 0, como se queria verificar (caso base Supohamos, por hipótese de idução, que se tem x ( + 1 para um dado Etão, vem: x +1 x + + ( ( + 1( + a primeira igualdade vale por hipótese, equato a seguda vale por hipótese de idução 4 (b Em primeiro lugar, 3 divide 3 + é o mesmo que 3 + é múltiplo de 3, deota-se por e sigifica que existe um úmero atural tal que Procedamos etão à demostração Para começar, temos de provar 3 ( (Base de Idução mas isto é evidetemete verdade (3 3 1 Admitamos em seguida que 3 ( 3 + (Hipótese de Idução para provar que 3 (( ( + 1 (Tese de Idução Por hipótese de idução, podemos escrever 3 + 3, ode é um certo úmero atural Temos etão ( ( ( (e A base de idução cosiste em 3 + hip id ( x R x 0 x x 1 + 0x 0 (Base de Idução e é verdadeira, visto que ambos os membros têm o valor x Admitimos que com vista a provar que x R x x x +1 + x (Hipótese de Idução x R x +1 x x + + ( + 1x +1 (Tese de Idução Matemática Fiita 7

10 Note-se que x +1 x(x 1 ; assim, x +1 x x(x 1 x x(x 1 (x x ((x 1 (x 1 + (x 1 ( x (x (x 1 + (x 1 x ((x ( + 1(x 1 hip id x(x ( + 1x(x 1 x + + ( + 1x +1 5 O caso base 0 dá origem à igualdade 1 1 e, portato, vale Supohamos, por hipótese de idução, que se tem ( x ( 1 x para um dado Vem: ( x +1 ( x ( x ( 1 x ( 1(x + ( 1 +1 x +1 a primeira igualdade vale por defiição de potêcia decrescete, equato a seguda vale por hipótese de idução 6 Neste exercício usa-se o biómio de Newto: (a Temos (x + y 0 (1 + x 11 ( x y para quaisquer x, y C e N 11 0 ( 11 1 x ( 11 x 11 Portato o coeficiete de x 5 obtém-se quado 11 5, ou seja 6 Este coeficete é, pois, ( ( ! 5! 6! (b Temos (3 4x ( 6 3 ( 4x ( 6 3 ( 4 6 x 6 Portato o coeficiete de x 3 obtém-se quado 6 3, ou seja 3 Este coeficete é, pois, ( ( 4 3 ( (c Temos (ax + by ( 7 (ax (by ( 7 a b 7 x y 7 Portato o coeficiete de x y 5 obtém-se quado Este coeficete é, pois, ( 7 a b 5 7 O Rui respodeu certo O Mário faz uma sobrecotagem pois cota cada situação duas vezes Por exemplo, temos a b c d a }{{} os 4 primeiros lugares são reservados e a repete a b c d a } {{ } os 4 últimos lugares são reservados e a repete 8 (a ( 5 5 úmero de subcojutos com 5 elemetos de um cojuto com 5 elemetos 8 ALC

11 (b Existem 13 cartas de ouros e existem cartas que ão são de ouros Existem ( 13 ( escolhas de cartas de ouros de etre 13 distitas Para cada escolha fixa temos escolhas de 3 cartas que ão são de ouros Portato, pelo pricípio da multiplicação, o úmeros de mãos pedido é: ( ( O úmero de maeiras de ir jatar com j amigos é ( 10 j O úmero de maeiras de ir jatar com um qualquer cojuto de amigos é 10 A resposta correcta é a (d, pois há que excluir do total o úmero de maeiras de ir jatar com 0 ou com 1 amigos: 10 ( 10 0 ( (a A palavra DRACONIANO tem 10 letras e tem A s, O s, N s Assim o úmero de maeiras distitas de re-arrajar estas letras é o úmero de permutações com repetição de 10 elemetos tomados a, a, a, 1 a 1, 1 a 1 e 1 a 1, 1 a 1 ou seja Alterativa: ( 10,,, 1, 1, 1, 1 10!!!! 1! 1! 1! 1! 10!!! Existem 10 posições para as letras e ( 10 subcojutos de posições para a letra A Para cada escolha fixa, sobram 8 posições para as restates e existem ( 8 escolhas de posições para O Para cada escolha fixa, sobram 6 posições para as restates e existem ( 6 escolhas de posições para N Para cada escolha fixa, sobram 4 posições As restates 4 letras são distitas e podem ser permutadas de 4! maeiras Pelo pricípio da multiplicação: ( 10 ( 8 ( 6 4! 10!!! 4! 11 (b!( 6! 7 O primeiro factor represeta o úmero de maeiras de escrever as 6 cosoates 4 3! (ote-se que há duas iguais; o segudo o úmero de maeiras de escolher os itervalos etre cosoates ode serão colocadas vogais; o terceiro o úmero de maeiras de dispor aí as vogais 1 Em cada um dos 1 itervalos etre os zeros, há ecessariamete um um Assim, resta distribuir os restates ( 1 us (bolas pelos + 1 espaços (icluido ates do primeiro e depois do último zero zeros itervalos etre os zeros espaços - ates do primeiro e depois do último zero O úmero de maeiras de o fazer é: ( ( ( ( 1 13 (a (basta preecher as restates etradas de todas as maeiras possíveis (b (!!! ( - cota o úmero de sequêcias de comprimeto com us e zeros Matemática Fiita 9

12 (c Seja S o cojuto de todas as sequêcias de comprimeto Cosideremos os cojutos: S 1 {s S: s tem igual úmero de 0 e 1}, S {s S: s tem mais 0 do que 1}, S 3 {s S: s tem meos 0 do que 1} Etão S S 1 S S 3 sedo a uião disjuta Temos que, por simetria, #S #S 3 Agora S S 3 {s S : s tem diferete úmero de 0 e 1} e tem-se ( #(S S 3 #S \ #S 1 por (b Assim #S 1 #(S S 3 1 ( ( 14 Seja X { A P ([]: A } A afirmação #X ( 1 1 é justificada pela bijecção X P 1 ([ 1] A A \ {} Recorde-se que, por defiição, #P 1 ([ 1] ( 1 1 (justifique que é uma bijecção 15 (a 10 7 ( ! pois temos de escolher 7 lugares de etre 10 e para cada escolha fixa os carros podem ser estacioados de 7! maeiras (b O automóvel dos professores mais à esquerda ocupa, ou o quarto, ou o quito, ou o sexto, ou o sétimo lugar a cotar da esquerda Adicioado o úmero de possibilidades para cada um destes casos ficamos com: 3! ! Alterativa: ( ! 4! pois temos de escolher 7 lugares de etre 10 e para cada escolha fixa os 3 carros dos assistetes têm de ser estacioados mais à esquerda e os 4 dos professores mais à direita, logo podem ser estacioados de 3! 4! maeiras 16 (a O primeiro membro da igualdade é ( i #Pi ([] Tem-se ode P i ([] A 1 A A 3 A 4 A 1 { A P i ([]:, 1 / A }, A { A P i ([]: A, 1 / A } A 3 { A P i ([]: / A, 1 A }, A 4 { A P i ([]:, 1 A } e #A 1 ( i, #A #A 3 ( i 1, #A4 ( i Portato ( ( ( ( + + i i i 1 i (b Neste caso, podemos escrever P i ([] como uião disjuta de 8 subcojutos: P i ([] B 1 B B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 ode os B j são defiidos tedo em cota que dado B [] com i elemetos etão ou B ou B, ou 1 B ou 1 B, ou B ou B Por exemplo B 1 { B P i ([]:, 1, / B }, B { B P i ([]: B, 1, / B }, Depois calcular o cardial de cada B j e cocluir que 10 ALC

13 ( i ( ( ( i i 1 i ( 3 i 3 17 (a Temos ( ( (! ( + 1 ( ( + 1!( 1! (!!! (b A igualdade euciada é, obviamete, equivalete a ( ( ( Supohamos que se pretede, dum cojuto de pessoas, formar uma comissão composta por + 1 elemetos, dos quais um é o presidete e são vogais Ambos os membros da igualdade acima cotam o úmero de maeiras de o fazer: o primeiro caso, escolhem-se +1 elemetos para costituir a comissão, etre os quais, por sua vez, se escolhe o presidete; o segudo caso, escolhem-se vogais para a comissão e escolhe-se o presidete de etre os ão escolhidos para vogais Alterativa: Ambos os membros da igualdade cotam o úmero de maeiras de formar, detro de um cojuto de pessoas, uma comissão composta por + 1 pessoas, uma das quais é o presidete e as outras os vogais Por um lado, podem escolher-se primeiro + 1 pessoas detro de pessoas e, depois, escolher um presidete detro das + 1 pessoas escolhidas Por outro lado, podem escolher-se primeiro vogais detro de pessoas e, depois, escolher um presidete detro das pessoas restates 18 Temos que 0 ( 0 ( ( (1 0 ( ( ( (1 - Lei da Simetria, ( - Covolução de Vadermode ( + (, 19 (a Temos ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Alterativa: Temos ( r + 0 ( r + r+ ( ( ( l r r r r r lr 8 4 ( 4 ode usamos a lei da simetria a primeira igualdade, fazemos a mudaça de variável r + l a seguda igualdade, usamos a fórmula da adição do ídice superior a terceira igualdade e voltamos a usar a lei da simetria a quarta igualdade (b Seja X {1,,, + 1} um cojuto com + 1 elemetos O coeficiete ( +1 m+1 dá o úmero de maeiras de obter m + 1 elemetos detro de X Outra maeira de cotar este úmero de maeiras é a seguite: quado retiramos m + 1 elemetos detro de X, o maior elemeto retirado é um úmero + 1 etre m + 1 e + 1; quado retiramos esse maior elemeto + 1, etão há ( m maeiras de retirarmos os restates (porque + 1 é o maior que retiramos e aida temos que retirar m de etre Ao todo, há ( m m maeiras Matemática Fiita 11

14 0 Justifique os passos itermédios: ( (x + y x + y! ( x y! 0 0 cov de Vadermode 0 1 Faremos idução em m Comecemos por 0 ( r (r r N 1 ( r 1 ( ( x y 0 1! (! x y (Base de Idução Facilmete se verifica que a igualdade é verdadeira (ambos os membros são iguais a r Passemos, pois, ao Passo de Idução Admitido m ( r (r r N m + 1 ( r (Hipótese de Idução m + 1 provemos Tem-se m+1 0 r N 0 m+1 0 ( r (r ( r (r m + ( r m + m ( r (r ( r (r + m + 1 m 1 0 m + 1 ( ( r r (r + m + 1 m + 1 m 1 ( ( r m r m + 1 m 1 m + ( ( r r m+1 (r m 1 m + m + (m + ( r m+ (Tese de Idução ( r m + (por hip de id Aplicado a lei da simetria, basta provar, pelo método de idução matemática, que ( ( N, < se i < j < i j 3 O argumeto ão fucioa para o passo da idução que vai das colecções de um cavalo para as colecções de dois cavalos 4 Temos (4x + 3y + z + w i 1,i,i 3,i 4 0 i 1 +i +i 3 +i 4 10 ( 10 (4x i 1 (3y i (z i 3 w i 4 i 1, i, i 3, i 4 Para obtermos xy w 3 z 4 terá de ser i 1 1, i, i 3 4, i 4 3 Logo o coeficiete pedido é: ( ! 1,, 4, 3 1!! 4! 3! ALC