Aula 5 de Bases Matemáticas

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1 Aula 5 de Bases Matemáticas Rodrigo Hause de julho de 04 Pricípio da Idução Fiita. Versão Fraca Deição (P.I.F., versão fraca) Seja p() uma proposição aberta o uiverso dos úmeros aturais. SE valem ambas as propriedades abaixo: (Base de idução) p( 0 ) é verdadeira para algum 0 N (Passo de idução) p() p( + ) para todo 0 ENTÃO p() é verdadeira para todo 0. Exercício Demostre que + para todo úmero atural. Demostração. Seja p() = +. Demostraremos que p() é verdadeira para todo N usado o P. I. F. Base de idução: p(0) é verdadeira? Ou seja, 0 + 0? Sim. Passo de idução: p() p( + ) para todo 0? Assuma que p() é verdade, ou seja, que +. O que podemos dizer sobre +? + ( + ) , pois Logo, se p(), etão p( + ) é verdade. Como tato a base, quato o passo de idução são válidos, etão p() é verdade para todo 0. Ao usar o PIF, teha cuidado! É ecessário demostrar tato a base, quato o passo de idução. A falta de cuidado com o PIF pode levar a coclusões absurdas, tais como as que se seguem.

2 Absurdo É verdade que = 0 para todo N. Demostração errada. Seja p() = = 0. Como p(0) é válida, pois 0 = 0, etão p() vale para todo. Erro a demostração: ão mostramos que o passo de idução é válido! É impossível demostrar que vale o passo de idução, já que p() é falsa para > 0. Absurdo + é ímpar para todo 0 Demostração errada. Seja p() = + é ímpar. Assuma que p() é válida, logo + = k + para algum k N. O que podemos dizer de ( + ) + ( + )? ( + ) + ( + ) = = + }{{} =k+, por hipótese = k = (k + + ) + }{{} N + + Logo, ( + ) + ( + ) também é ímpar, portato está demostrado que + é ímpar para todo N. Erro a demostração: Não demostramos que a base de idução p(0) é válida. Veja que são falsas: p(0) = é ímpar p() = + é ímpar p() = + é ímpar Não existe ehum 0 que sirva para demostrar a base de idução, uma vez que p() é falso para todo. Veja que + = ( + ) é sempre par: se for par, etão o produto ( + ) é múltiplo de ; se se for ímpar, etão + é par e o produto ( + ) cotiua sedo múltiplo de. Logo, ão p() = + é par é verdadeira para todo N. Vamos voltar para o uso correto do PIF. Exercício Demostre que o úmero máximo de movimetos ecessários para resolver o jogo das Torres de Haoi com discos é, o máximo,. O jogo das Torres de Haoi é composto de uma plataforma ode estão xados 3 pios e discos de tamahos diferetes que possuem um furo o meio para ecaixarem os pios. Regra geral: em qualquer coguração dos discos, é proibido haver um disco maior sobre um disco meor. Na coguração iicial, todos os discos estão ecaixados em um dos pios.

3 Cada jogada cosiste em mover um disco de um pio para outro, sempre respeitado a regra geral. O objetivo do jogo é mover todos os discos do pio origial para um dos outros dois pios. Seja T () o úmero de movimetos ecessários para resolver o jogo das Torres de Haói com discos. Exemplos: com disco, T () = movimeto (mova o disco do pio origem para outro pio). com discos: Iício o. movimeto o. movimeto 3o. movimeto T () 3 (para provar que T () = 3, precisaríamos demostrar que ão dá para resolver em meos do que 3 movimetos) Podemos refrasear o euciado do exercício como: demostre que T () para todo. Demostração. Cosideremos a proposição p() = T (). Vamos demostrá-la para usado o PIF. Base de idução: p() é verdadeira? Ou seja, queremos saber se vale T (). Isto é verdade, pois para resolver o problema para apeas disco, basta movê-lo para outro pio ( movimeto). Passo de idução: p() p( + )? Supoha que p() é verdadeiro, ou seja, T (), o que sigica que podemos resolver o problema para discos em, o máximo, 3

4 movimetos. Como podemos usar este fato para resolver o problema para + discos? + + T() mov. Iício Mova os discos meores para outro pio mov. T() mov. + + Mova disco maior para pio ão ocupado Mova os discos meores para cima do disco maior De acordo com o raciocíio mostrado o diagrama acima, podemos resolver o problema das torres de Haoi com + discos usado, o máximo, T () + + T () movimetos, ou seja: T ( + ) T () + T ( + ) ( ) + T ( + ) + T ( + ) + A última desigualdade demostra que p( + ) é válida.. Versão Forte Exercício 3 Demostre que todo úmero atural maior ou igual a dois é primo ou produto de primos. Demostração. Seja p() = é primo ou é produto de primos. Usaremos o PIF para demostrar que p() é verdadeira para. Base de idução: p() é verdade? Sim, pois é primo. Passo de idução: p() p( + )? Assuma que p() é válida, ou seja, que é primo ou é produto de primos. O que podemos falar de +? Se + for primo, p(+) já é verdade e ão há mais ada a demostrar. Caso cotrário, + ão é primo, o que sigica que + é múltiplo de algum atural a, ou seja + = a k para algum k N 4

5 Note que, tato a quato k ão podem ser maiores do que +, pois caso cotrário, o produto seria maior do que +. Ambos tampouco podem ser iguais a +, pois isto implicaria que o outro úmero é igual a, o que resultaria em + primo, pois ele só seria divisível por + e, o que cotradiria o fato de + ão ser primo. Portato, temos + = a k, ode a e k. Vamos iterromper a demostração por um mometo para observar que, com a versão fraca do PIF, ada podemos armar sobre a em sobre k, já que a úica hipótese é que é primo ou produto de primos. Se a < ou k <, ca difícil usar a versão fraca. Nestes casos, usamos uma outra versão do PIF, chamada de versão forte. Deição (Versão forte do Pricípio da Idução Fiita) Seja p() uma proposição aberta o uiverso dos úmeros aturais. SE valem ambas as propriedades abaixo: (Base de idução) p( 0 ) é verdadeira para algum 0 N (Passo de idução) p( 0 ) e p( 0 + ) e... p( ) e p() p( + ) para todo 0 ENTÃO p() é verdadeira para todo 0. Note que a úica difereça etre a versão fraca e a versão forte é que a versão forte podemos assumir como verdadeiras as proposições p( 0 ), p( 0 + ),..., p( ), p(). Retorado à demostração aterior, vamos reescrever o passo de idução (ão precisamos mexer a demostração da base de idução pois ela é idêtica para as duas versões). Retorado à demostração do Exercício 3: Passo de idução: p( 0 ) e p( 0 + ) e... p( ) e p() p( + )? Assuma que são verdadeiras p( 0 ), p( 0 +),..., p(), ou seja, que todos os úmeros aturais etre 0 e são primos ou produtos de primos. Como já visto ateriormete, se + ão é primo, etão + = a k, ode a, k são úmeros aturais etre e. Pela hipótese do passo de idução, tato a quato k são iteiros ou produto de primos, logo a k é produto de primos. 5