(def) (def) (T é contração) (T é contração)

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1 CAPÍTULO 5 Exercícios 5 (def) (T é cotração) a) aa Ta ( ) Ta ( 0) aa0, 0 Portato, a a aa0 (def) (def) (T é cotração) b) a3a Ta ( ) Ta ( ) TTa ( ( ) TTa ( ( 0)) (T é cotração) Ta ( ) Ta ( ) 0 aa0 Portato, a3a aa0 c) Vamos fazer a prova por idução Pelo item a, a afirmação é verdadeira para Supodo, agora, a a a a,, vem 0 0 a a Ta ( ) Ta ( ) a a aa Portato, aa aa0, d) a a a a a a aa a a (por c) aa0 aa0 ( ) aa0 Portato, a a [ ] a a a a a a Ta ( ) Ta ( ) Ta ( ) Ta ( ) 0

2 e) a a a a a a a a p p p p p a a a a a a p p p p p a a p a a 0 0 aa0 [ p p ] aa0 p p f) apa [ ] a a ( 0) Portato, a pa a a 0 Seja a seqüêcia a, 0, dada por a T(a ),, ode T: é uma cotração, isto é, existe, 0, tal que Tx ( ) Ty ( ) xy Logo, temos a pa a a0, para todo atural e todo atural p (por () f) Como 0, lim a a0 Æ 0, logo, dado 0, existe 0, tal que 0 Þ a a0 E, assim, para e p quaisquer, temos 0 Þ a p a Portato, a seqüêcia a é de Cauchy Pelo Teorema, toda seqüêcia de Cauchy é covergete Logo, existe um úmero real a tal que lim a a Æ 4 Seja a seqüêcia a, 0, dada por a T(a ), Pelo Exercício, a seqüêcia a é de Cauchy e, portato, existe um úmero real a tal que lim a = a Pelo Exercício 3, a cotração T é cotíua Segue que Æ a lim a lim Ta ( ) T( lim a ) Ta ( ) Æ Æ Æ Daí, a T(a) 63

3 5 Seja T: uma cotração Etão existe um real, com 0, tal que, quaisquer que sejam os reais x e y, Tx ( ) Ty ( ) xy Pelo Exercício 4, T admite um poto fixo Supoha, agora, (por absurdo) que a e b, a b, são potos fixos para T Etão, por defiição, a T(a) e b T(b) Como T é cotração, segue que Ta ( ) Tb ( ) ab Como a e b são potos fixos, temos ab ab Daí,, o que cotraria a hipótese Logo, se T for uma cotração, etão T admitirá somete um poto fixo x 6 Seja T: dada por Tx ( ) arc tg Pelo TVM, existe c o itervalo aberto de extremidade x e y tal que c Tx ( ) Ty ( ) T( c)( xy) ( x y) 4 c Como o valor máximo de x 4 x é (verifique) segue que, quaisquer que sejam x e y, Tx ( ) Ty ( ) xy Logo, T é uma cotração Como T(0) 0 e T é cotíua, segue que 0 é o úico poto fixo da fução 7 Seja T: dada por T(x) x 3x T admite dois potos fixos a 0 e a, pois T(0) 0 e T() Como T é cotíua e admite dois potos fixos, etão T ão é cotração Exercícios 5 Pelo critério de Cauchy, dado 0, existe 0 tal que, quaisquer que sejam os aturais e p, p, Em particular, para p, Þ a a a 0 p 0 Þ a que é equivalete a lim a 0 Æ 64

4 Sedo a covergete, pelo critério de Cauchy, dado 0 existe 0 tal que, 0 quaisquer que sejam os aturais e p, p, tem-se Tedo em vista a desigualdade, Þ a a a 0 p p a a a a a a p p segue que temos, também, quaisquer que sejam e p, p, a a a, para p 0 Logo, a é covergete 0 Exercícios 53 a) Seja x se Cosideremos as seqüêcias a e b se x Temos x cos cos ( ) x se x se x se x (veja o Exemplo 3) x se ou seja se Ê x ˆ se Ê x ˆ Ë se x se x se x Ë x se (pois cos a cos b se Ê abˆ ba se Ê ˆ Ë Ë ) 65

5 Para x ( ) temos se xse x se x ( se x 0) x se Logo, as seqüêcias a e b se x satisfazem as codições do critério de Dirichlet e, portato, a série x se é covergete Seja a série Temos se se se e se cos Portato, Ê Ë cos ˆ se Como Ê cos ˆ é divergete segue, pelo critério de comparação, que Ë se aterior, é divergete (Observe: é divergete e, pelo item b do exercício cos é covergete, logo Ê cos ˆ é divergete) Ë 3 b) Seja a série cos l 3 Cosideremos a l e b cos A seqüêcia a é decrescete e lim 0 Æ l 66

6 b cos cos cos se (veja o Exercício ) Portato, pelo critério de Dirichlet, a série cos l 3 é covergete c) Seja a série b Cosideremos a a Logo, a é decrescete e lim a 0 Æ Seja b a seqüêcia,,,,,,,,,,, Logo, b 4 Segue, do critério de Dirichlet, a covergêcia da série b d) Seja a série Ê Ë Á ˆ Cosideremos a e b Temos que a é decrescete e lim a 0, Æ Ê ˆ Ë Á 67

7 Logo, Ê Ë Á ˆ As seqüêcias a e b satisfazem as codições do critério de Dirichlet Logo, a série Ê ˆ Ë Á é covergete 4 a) B é limitada e a tede a zero, logo, B a tede a zero b) Como a tede a zero, a série telescópica ( a a ) é covergete e igual a a 0 0 c) Imediato d) A série 0 Ba ( a ) 0 B a a ( ) é covergete, pois é majorada pela série covergete e) Tedo em vista a idetidade de Abel, segue que a série ab é covergete e 0 ab B ( a a ) 0 0 Esta demostração do critério de Dirichlet é muito mais elegate, ão? E, também, parece-me, muito mais atural Horas e mais horas para Abel!!! 5 No critério de Abel impomos mais sobre a série e meos sobre a seqüêcia, efraquecemos a hipótese sobre a seqüêcia a, mas em compesação exigimos que a série b seja covergete 0 Como, por hipótese, b é covergete, segue que a seqüêcia B b é 0 0 covergete Sedo a seqüêcia a crescete (ou decrescete) e limitada, tal seqüêcia será, também, covergete e, digamos, com limite a Segue que a série telescópica 68

8 ( a a ) é covergete e com soma a 0 a Segue, também, que tal série é 0 absolutamete covergete e a soma a a será a a 0, se a for crescete e 0 a 0 a, se a for decrescete Sedo a seqüêcia B covergete, ela será limitada, ou seja, existe M 0 tal que B M para todo atural Deste modo, a série 0 0 B a a ( ) é covergete, pois é majorada pela série covergete B a a Assim, ab lim Ba B( a a) Æ 0 0 Cuidado A úica hipótese sobre a série ser uma série de termos quaisquer 0 b é que ela seja covergete, mas poderá 69