1. Revisão Matemática

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1 Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete (iferiormete) se algum escalar b tal que : b ( b) para Diz-se limitada se é limitada superiormete e iferiormete. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

2 Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se ser ão-crescete (ão-decrescete) se ( ), ( ) PROPOSIÇÃO 17.1: Qualquer sequêcia ão-crescete ou ão-decrescete de escalares coverge para um úmero possivelmete ifiito. Se a sequêcia é tambem limitada etão coverge para um úmero real fiito. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

3 Sequêcias de Escalares O supremo de um cojuto (de escalares) ão vazio A, deomiado de supa, é defiido como o meor escalar tal que y para y A NOTA: Se um tal escalar ão eistir, diz-se que o supremo de A é. O ífimo é defiido de modo semelhate como o maior escalar tal que y para y A NOTA: Se um tal escalar ão eistir, diz-se que o ífimo de A é. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

4 Dada uma sequêcia { } defiido por sup = 1,2,... semelhate). Sequêcias de Escalares Dada uma sequêcia { } seja:, o supremo da sequêcia desigado por sup é. (O ífimo da sequêcia é defiido de modo y m = sup { m } e z = if{ m } m A sequêcias { } m y e { z } são, respectivamete, ão-crescetes e ão-decrescetes, e m portato têm limite (possivelmete ifiito) (Proposição 17.1) O limite de y m é desigado por lim m sup m e o limite de z m por lim m if m. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

5 Sequêcias de Escalares PROPOSIÇÃO 18.1: Seja { } uma sequêcia de escalares. (a) Verifica-se if lim if lim sup sup (b) { } coverge ambas iguais sse lim if ao limite de { }. = lim sup e, esse caso, aquelas quatidade s são (c) Se y lim if lim if y lim sup lim sup y Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

6 Uma sequêcia { } de vectores em Sequêcias de Vectores R diz-se covergir para covergir para coordeada i de para qualquer i. R se a coordeada i de { } diz-se limitada (ou uma sequêcia de Cauchy) se cada uma das correspodetes sequêcias de coordeadas for limitada (ou uma sequêcia de Cauchy respectivamete). DEFINIÇÃO 5.1: Diz-se que um vector em R se eiste uma subsequêcia de { } que coverge para. Seja A um subcojuto de R. Diz-se que R cosistido de elemetos R é um poto limite de uma sequêcia { } é um poto limite de A se eiste uma sequêcia { } de A, que coverge para. ou lim = Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

7 Sequêcias de Vectores PROPOSIÇÃO 19.1: (a) Uma sequêcia limitada de vectores em poto limite. (b) Uma sequêcia em (c) Qualquer sequêcia limitada em (d) Seja { } R coverge sse tem um úico R coverge sse é uma sequêcia de Cauchy. R tem pelo meos um poto limite. uma sequêcia de escalares. Se lim sup ( lim if ) é fiito etão. é o maior (meor) poto limite de { } NOTA: Se p é um iteiro positivo e sse lim h( ) para todas as sequêcias { } 0 p = 0 covergem para 0. : R Rm, etão diz-se que ( ) p h = 0 Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04 h, com 0 para todo o, que

8 DEFINIÇÃO 6.1: Cojutos Fechados e Abertos (a) Um cojuto A R diz-se fechado se cotem todos os seus potos limite. Diz-se aberto se o seu complemeto (o cojuto A ) é fechado. (b) Diz-se limitado se algum c R tal que a amplitude de qualquer coordeada de qualquer elemeto de A é meor do que c. (c) Diz-se compacto se qualquer sequêcia de elemetos de A tem uma subsequêcia que coverge para um elemeto de A. (d) A vizihaça de um vector é um cojuto aberto cotedo. (e) Se A R e, diz-se que é um poto iterior de A se eiste uma vizihaça de que está cotida em A. (f) Um vector A que ão é um poto iterior de A diz-se ser um poto de froteira de A. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

9 Cojutos Fechados e Abertos PROPOSIÇÃO 20.1: (a) A uião de um úmero fiito de cojutos fechados é fechada. (b) A itersecção de cojutos fechados é fechada. (c) A uião de cojutos abertos é aberta. (d) A itersecção de um úmero fiito de cojutos abertos é aberta. (e) Um cojuto é aberto sse todos os seus elemetos são potos iteriores. (f) Qualquer subespaço de (g) Um subcojuto de R é fechado R é compacto sse é fechado e limitado Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

10 Seja A R e f A R - Se a sequêcia 1. Revisão Matemática Cotiuidade :. Seja um poto limite de A. f tem um limite comum z para qualquer sequêcia { } de elemetos de A tal que lim =, etão podemos escrever que : A otação f ( y) lim sigifica limite de y y lim f ( y) f ode { } = z é uma subsequêcia de elemetos de A covergido para e satisfazedo. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

11 DEFINIÇÃO 7.1: Seja (a) Uma fução f 1. Revisão Matemática A R m Cotiuidade : A R diz-se cotiua um poto A lim y f ( y) = f ( ). se Diz-se cotiua em A se é cotiua em qualquer A. (b) Uma fução real f : A R diz-se semi-cotíua superior um vector A se f ( ) lim sup f ( ) para qualquer sequêcia { } de elemetos de A covergido para. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

12 Cotiuidade (c) Uma fução real ( ) f : A R diz-se coerciva se lim f = para qualquer sequêcia { } de elemetos de A tal que para alguma orma. (d) Seja A R. Uma fução f : A R diz-se cotíua à direita, um poto A se ( y) f ( ) lim f = y NOTA : É fácil de ver que quado A R, uma fução ão-decrescete e cotíua à direita f : A R é semi-cotíua superior. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

13 Cotiuidade PROPOSIÇÃO 21.1: (a) A composição de duas fuções cotíuas é cotíua. (b) Qualquer orma do vector R é uma fução cotíua. (c) Seja f A R : Rm R cotíua, e seja aberto (fechado). Etão o cojuto Rm f ( ) A é aberto (fechado). Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

14 Cojutos Fechados e Abertos PROPOSIÇÃO 22.1: (Teorema de Weierstrass) Seja A um subcojuto ão vazio de R e seja f : A R uma fução semi-cotíua iferior em todos os potos de A. Assuma que uma das seguites codições se verifica : (1) A é compacto (2) A é fechado e f é coerciva (3) Eiste um escalar γ tal que o cojuto A f ( ) γ é ão vazio e compacto. Etão, eiste um vector A tal que f ( ) = if f ( z) = arg mi f ( z) z A z A Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

15 Cojutos Fechados e Abertos PROPOSIÇÃO 23.1: (Propriedade de equivalêcia de ormas): Para quaisquer duas ormas e em tal que c R R, eiste alguma costate positiva c R NOTA : Se uma sequêcia coverge com respeito a uma orma, etão coverge com respeito a todas as outras ormas PROPOSIÇÃO 24.1: Se um subcojuto de R é aberto (fechado, limitado, ou compacto) para alguma orma, etão é aberto (fechado, limitado, ou compacto) para todas as outras ormas. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

16 2. Aálise Covea Cojutos e Fuções Coveas DEFINIÇÃO 1.2: Seja C um subcojuto de R. Diz-se que C é coveo se α ( 1 α ) y C, y C, [ 0,1] + α (D1.2) DEFINIÇÃO 2.2: Seja C um subcojuto coveo de covea se f R. A fução ( α + ( 1 α ) y) α f ( ) + ( 1 α ) f ( y), y C, α [ 0,1] f : C R diz-se (D2.2) OBS: (a) f diz-se côcava se f é covea (b) f diz-se estrictamete covea se a desigualdade em (D2.2) for estricta para todos os, y C com y e α 0, 1. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

17 PROPOSIÇÃO 1.2: 2. Aálise Covea Cojutos e Fuções Coveas (a) Para qualquer colecção itersecção i I i C i C é coveo. i I de cojutos coveos, o cojuto de (b) A soma vectorial + C, C de dois cojutos coveos C e C é 1 2 coveo. (c) A imagem de um cojuto sob uma trasformação liear é covea. (d) Se C é um cojuto coveo e { C f ( ) α } { } f : C R é uma fução covea, os cojutos e C f ( ) <α são coveos para todos os escalares α. Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

18 2. Aálise Covea Cojutos e Fuções Coveas PROPOSIÇÃO 2.2: (a) Uma fuçaõ liear é covea. (b) Qualquer orma de um vector é covea. (c) A soma pesada de fuções coveas, (com pesos positivos), é covea. (d) Se I é um cojuto de ídices, C R é um cojuto, e f : C R é coveo para cada i I, etão a fução h :C (, + ] defiida por : i h ( ) =sup f ( ) i é também covea. i I Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

19 2. Aálise Covea Caracterização de Fuções Coveas Difereciáveis PROPOSIÇÃO 3.2: Seja C R um cojuto coveo e seja R R f : difereciável em C. (a) A fução f é covea em sse. f ( z) f ( ) + ( z ) f ( ), z C. (b) Se a desigualdade aterior for estrita sempre que covea em C. z, etão f é estritamete Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04

20 2. Aálise Covea Caracterização de Fuções Coveas Difereciáveis PROPOSIÇÃO 4.2: Seja C R um cojuto coveo e seja f : R R dupla e cotiuamete difereciável em C, e seja Q uma matriz real simétrica. (a) Se 2 f ( ) é positiva semidefiida para todo C, etão f é covea em C. (b) Se 2 f ( ) é positiva defiida para qualquer C, etão f é estritamete covea em C. (c) Se C = R e f é covea, etão 2 f ( ) é positiva semidefiida para todo C. (d) A fução quadrática f ( ) = Q, ode Q é uma matriz simétrica. É covea sse Q é positiva semidefiida. Para além disso, f é estritamete covea sse Q é positiva defiida. OBS: (c) também se verifica quado se assume que C tem um iterior ão vazio (em vez de ser igual a R ). Prof. João Setieiro ISR 1 º Semestre 2003 / 04