Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica

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1 Istituto Muicipal de Esio Superior de Cataduva SP Curso de Liceciatura em Matemática 3º ao Prática de Esio da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira Estudo da Fução Expoecial e Fução Logarítmica 1. Recordado algumas características da fução liear Seja f: R R, f(x) = ax; a 0, f estritamete moótoa (f estritamete crescete ou f estritamete decrescete), temos que f(x + y) = f(x) + f(y) (Propriedade Distributiva da Multiplicação em relação à Adição) Daí, temos que: De modo semelhate temos que: f(1) = a f(x) = ax f() = f ( ) = f(1) + f(1) + f(1) + + f(1) = f(1) = a Desta forma fica demostrada formalmete a multiplicação dos úmeros iteiros a e. Pode-se utilizar a mesma estratégia para provar que a multiplicação etre úmeros racioais. Para isto basta utilizar o lugar do úmero iteiro o úmero racioal r, escrito da forma m/ com m, iteiros. 2. Recordado algumas características da fução afim Seja f: R R, f(x) = ax + b. Esta fução possui uma propriedade importate que é: f(x + h) f(x) = ah Em outras palavras isto sigifica afirmar que f(x + h) f(x) ão depede de x mas somete de h. Geometricamete falado podemos represetar esta situação da seguite forma: Isto ão ocorre, por exemplo, a fução quadrática, coforme pode-se observar a figura a seguir:

2 3. Um pouco sobre a fução expoecial Durate esta seção utilizaremos os seguites resultados: que é válida obviamete para todo a, x e y aturais e a x+y = a x a y para as codições ideais de a, m e. a m = a m Seja f: R R, f(x) = a x, a > 0 e a 1. Chamado f(x) de y tem-se que: y = a x ode y é chamado de expoecial de x ou de outra forma o x é o logaritmo de y. Caso a > 1 a fução expoecial é crescete e o caso de 0 < a < 1 a fução expoecial é decrescete. A pricipal caraterística da fução expoecial é que ela trasforma somas em produtos. Se f: R R é moótoa ijetiva (estritamete crescete ou estritamete decrescete) tal que f(x + y) = f(x) f(y) etão podo a = f(1) tem-se que f(x) = a x, x R (Teorema de caracterização da fução expoecial) A propriedade descrita ateriormete (f(x + y) = f(x) f(y)) acarreta que a fução expoecial admite apeas valores positivos. Uma cosequêcia desta afirmação é que se a fução expoecial zera em um de seus potos, ela acaba zerado em todos seus demais potos. Supoha que haja algum x 0 tal que f(x 0 ) = 0. Etão para todo x R ter-se-ia que: f(x) = f(x 0 + (x x 0 )) = f(x 0 ) f(x x 0 ) = 0 f(x x 0 ) = 0

3 Além disso se a fução expoecial ão é ideticamete ula tem-se que: f(x) = f ( x 2 + x 2 ) = f (x 2 ) f (x 2 ) = f (x 2 ) 2 > 0 Desta forma a fução expoecial possui f: R R +. Poto f(1) = a tem-se que: Em particular quado = 1 tem-se que: f( x) = f(x) f(x) f(x) f() = a = f(x) De forma aáloga pode-se mostrar que se r = m/, tem-se que f(r) = a r. Seja r = m/. Etão r = m. Logo Etão a m = f(m) = f( r) = f() r f(r) = f( a m ) = a m Desta forma fica provado que a fução expoecial é válida para todos os úmeros iteiros e racioais, sedo que também pode ser provada para úmeros reais. 4. A fução de tipo expoecial Da mesma forma que existe uma aalogia etre a fução afim e a fução liear, existe uma aalogia semelhate etre a fução de tipo expoecial e a fução expoecial. A fução de tipo expoecial possui diversas aplicações o cotidiao como, por exemplo, a desitegração radioativa e o cálculo de juros o sistema de capitalização composta. Seja f: R R, f(x) = b a x, ode b é o valor iicial e f(0) = b. A pricipal característica da fução de tipo expoecial é f(x + h) = φ(h) f(x) ou seja, a razão etre f(x + h) e f(x) ão depede de x mas apeas de h. 5. Um exemplo de utilização da fução de tipo expoecial Um idivíduo deve tomar um atibiótico (via ijetável) de 12 em 12 horas. Na bula da ijeção estava escrito que após 24 horas, 90% do pricípio ativo era expelido do orgaismo. Após 12 horas qual a cocetração do pricípio ativo da ijeção o orgaismo? Chamemos de f(x) a cocetração da substâcia que aida resta o orgaismo após x horas. Supoha que esta fução seja de tipo expoecial. Logo temos: Etão a fução pode ser escrita a forma f(x + h) = f(x) φ(h) f(x) = b a x Se após 24 horas 90% da substâcia foi elimiada do orgaismo, temos que restam aida % da substâcia o corpo. Logo, temos que:

4 A perguta deseja saber o valor de f(12). Substituido os valores a fução temos: Motado a igualdade temos: Etão o valor de a 12 é dado por: f(24) = 1 f(24) = b a 24 b a 24 = b = 1 a 12 2 = a 24 2 = 1 0,315 = 31,5% Resposta: Após 12 horas restam 31,5% da substâcia o orgaismo do idivíduo. 6. Um pouco sobre a fuções logarítmicas A fução logarítmica é a fução iversa da fução expoecial ou seja log a : R + R. Iicialmete devemos ter em mete que todo úmero real positivo pode ser escrito a forma y = a x. Em otação simbólica, temos: O gráfico da fução logarítmica é do tipo: y R + x R; y = a x Observado o gráfico da fução logarítmica é fácil ver que o cojuto imagem é formado por todo semieixo positivo dos úmeros reais Comparado os gráficos da fução expoecial e da fução logarítmica percebemos que os gráficos são simétricos em relação ao gráfico da fução idetidade f(x) = x.

5 A defiição de logaritmo é: Substituido uma relação a outra temos: y = a x x = log a y a log a y = y ou seja a fução composta da fução logarítmica com a fução expoecial é a fução idetidade. Uma propriedade da fução logarítmica é: log x y = log x + log y com log xy : R + R e f estritamete crescete. Tal propriedade é historicamete relevate pois foi dela que origiou os logaritmos. 7. A iterpretação geométrica dos logaritmos Seja f: R R, f(x) = 1. A área delimitada etre o itervalo [1, x] é log x. x Tais logaritmos são comumete chamados de logaritmos eperiaos (em homeagem a Joh Napier). Cotudo é mais adequada chama-los de logaritmos aturais. Caso a área delimitada este caso seja igual a 1 temos que x = e. Outra defiição par ao úmero e é: e = lim (1 + 1 )