Desigualdades Aritméticas

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1 Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Joves Desigualdades Aritméticas. Mostra que a + b a + b, para todos os úmeros reais a e b (desigualdade triagular). Quado é que se tem a igualdade? Geeraliza a desigualdade aterior mostrado que x + + x x + + x, e discute em que codições é que a igualdade ocorre. 2. Mostra que a b a b. 3. Mostra que as médias harmóica, geométrica e aritmética de dois úmeros a, b > 0 estão relacioadas da forma seguite: 2 a + b ab a + b 2 (desigualdade MH MG MA). Geeraliza a desigualdade aterior mostrado que para x,..., x > Para x, y, z 0, mostra que x + + x x... x x + + x, (x + y)(y + z)(x + z) 8xyz. 5. Para x, y, z > 0, mostra que 6. Para x, y, z 0, mostra que x + y + z xy + yz + zx. x 2 + y 2 + z 2 x y 2 + z 2 + y x 2 + z Sedo a,..., a > 0 e b,..., b uma permutação de a,..., a, mostra que a b + + a b.

2 Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Joves 2 8. Para IN, seja H = , o -ésimo úmero harmóico. Mostra que + < + H, Se a, b, c > 0 são tais que a + b + c =, mostra que ( a + )( b + )( c + ) Dados x,..., x úmero reais positivos, mostra que ( (x + + x ) + + ) 2. x x. Dados úmeros reais com a a 2 a e b b 2 b, cosidera uma qualquer permutação b, b 2,..., b de b, b 2,..., b. Mostra que (desigualdade do rearrajo). a b + + a b a b + + a b a b + + a b 2. Estabelece a desigualdade do Problema 7 usado a desigualdade do rearrajo. 3. Para qualquer permutação a,..., a de a,..., a mostra que 4. Dados a, b, c > 0, prova que a a 2 a a + + a a. a b + c + b a + c + c a + b Teta obter a desigualdade MH MG MA (ver Exercício 3) a partir da desigualdade do rearrajo. 6. Se a a e b b, mostra que a b + + a b (desigualdade de Tchebyshev). a + + a b + + b

3 Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Joves 3 7. Mostra que a média aritmética e a média quadrática estão relacioadas pela desigualdade x + + x 8. Se x,..., x, y,..., y são úmeros reais, mostra que x y + + x y (desigualdade de Cauchy Schwarz). x x 2. x x 2 y y 2 9. Mostra que a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca. 20. Se a, b, c são úmeros positivos com a + b + c =, mostra que ab + bc + ca Mostra que a + b 2 a 2 + b Se a,..., a são úmeros positivos com a + + a =, mostra que a a a + + a + +. a a 23. Sejam x,..., x úmeros reais tais que a soma de quaisquer deles é maior do que o úmero deixado de fora da soma. Sedo s = x + + x, mostra que 24. Para x > e IN mostra que (desigualdade de Beroulli). x 2 s 2x + + x2 s 2x ( + x) + x s 2. Uma fução f : [a, b] IR diz-se covexa se para todo o x, y [a, b] e para todo o α [0, ] se tem f(αx + ( α)y) αf(x) + ( α)f(y).

4 Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Joves Se f é uma fução covexa em [a, b], etão para todo o x,..., x [a, b] e α,..., α [0, ] com α + + α =, mostra que ( ) f α i x i (desigualdade de Jese). 26. Retoma o Problema 22 à luz da desigualdade de Jese. α i f(x i ) 27. Se x,..., x são úmeros positivos maiores ou iguais a, prova que x + x x x Sejam x, y úmeros positivos e p, q > com p + q =. Mostra que xy p xp + q yq (desigualdade de Youg). 29. Se x,..., x, y,..., y são úmeros positivos e p, q > com p + q =, mostra que ( x i y i ) /p ( x p i y q i ) /q (desigualdade de Hölder). 30. Se x,..., x, y,..., y são úmeros positivos e p, mostra que (desigualdade de Mikowski). ( ) /p ( ) /p ( (x i + y i ) p x p i + y p i ) /p

5 Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Joves 5 Pistas de Resolução Problemas, 2: Recorda que o módulo de um úmero real x, que represetamos por x, é defiido por x = x, quado x 0, e x = x, quado x < 0. Assim, é verdade que x 2 = x 2, para todo o úmero real x. Problema 3: Verifica que basta provar a seguda desigualdade. Para geeralizar a desigualdade a úmeros, usa o pricípio de idução matemática. Num primeiro passo, verifica que a desigualdade é válida para = 2. Depois, mostra que se a desigualdade é válida para o úmero atural também é válida ão só para o úmero atural 2 como também é válida para o úmero atural. Neste último caso, faz g = a... a e aplica a desigualdade aos úmeros a,..., a, g. Relativamete à ocorrêcia da igualdade, basta aalisar os passos da demostração por iduão. Problema 4: Usa a desigualdade MG MA para cada um dos factores do primeiro membro. Problema 5: Usa a desigualdade MH MG para cada par de parcelas do primeiro membro. Problema 6: Usa a desigualdade MG MA... Problema 7: Aplica a desigualdade MG MA aos úmeros a b,..., a b. Problema 8: Verifica que a soma + H pode ser escrita a forma e aplica a desigualdade MG MA. Problema 9: Desevolve o primeiro membro da desigualdade e usa a desigualdade MH MG para mostrar que ele é maior ou igual que ( + 3 abc ) 3. A seguir usa a desigualdade MG MA e mostra que 3 abc 3. Problema 0: Usa as desigualdades MH MG e MG MA... Problema : Verifica que basta aalisar o caso em que a permutação troca apeas dois dos úmeros iiciais. roblemas 2, 3: Sem perda de geeralidade, verifica que podes admitir que 0 < a a. Problema 4: Sem perda de geeralidade, podes assumir que a b c o que implica que b+c a+c a+b... Problema 5: Toma a = x /G, a 2 = x x 2 /G 2,..., a = x... x /G com G = x... x. Problema 6: Usa várias vezes a desigualdade do rearrajo... Problema 7: Olha bem para a desigualdade de Tchebyshev...

6 Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Joves 6 Problema 8: Começa por verificar que se todos os x i s ou todos os y i s forem iguais a zero, a desigualdade é válida. A seguir, aplica o Problema 3 aos úmeros x X,..., x X, y Y,..., y Y, ode X = x2 i e Y = y2 i. Problema 9: Usa a desigualdade de Cauchy Schwarz... Problema 20: Desevolve o quadrado (a + b + c) 2. Problema 2: Repara que (a + b) 2 = (a + b ) 2... Problema 22: Represeta por A o primeiro membro da desigualdade e verifica que A = ai ai. Usa agora a desigualdade MG MA o primeiro somatório e a desigualdade de Cauchy Schwarz o segudo. Problema 23: Começa por provar que s > 2x k para todo o k =,...,. A seguir cosidera a decomposição x k x k = s 2x k. s 2xk Problema 24: Aplica a desigualdade MG MA aos úmeros,...,, + x. Problema 25: Usa de forma apropriada a defiição de fução covexa. Problema 26: Usa o facto da fução f(x) = x x ser covexa para x ]0, [. Problema 27: Usa o facto da fução f(x) = +e x ser covexa para x > 0. Problema 28: Verifica que xy = e p log(xp )+ q log(yq) e usa o facto da fução expoecial ser covexa em IR. Problema 29: Começa por verificar que basta aalisar o caso em que xp i = e yp i =. A seguir aplica a desigualdade de Youg aos produtos x i y i. Problema 30: Começa por verificar que (x i +y i ) p = x i (x i +y i ) p +y i (x i +y i ) p e a seguir usa a desigualdade de Hölder. Bibliografia: Mafrio, R.B., Ortega, J.A.G., Delgado, R.V. (2005). Iequalities. Cuaderos de Olimpiadas de Matemáticas, Istituto de Matemáticas, Uiversidad Nacioal Autóoma de México.