Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

Transcrição

1 Aotações sobre somatórios Rodrigo Carlos Silva de Lima Uiversidade Federal Flumiese - UFF-RJ rodrigouffmath@gmailcom

2

3 Sumário Somatórios 3 Somatórios e úmeros complexos 3 O truque de Gauss para somatórios 8 3 Método da fução idetermiada 3 Somas evolvedo a x 3 3 Somas evolvedo fatorial 7 Soma evolvedo repuit 5 5 Método da difereça 6 6 Somatório e logaritmo 7 7 Somas de potêcias fatoriais 30 8 Somas de coeficietes biomiais 3 8 Soma de coeficietes biomiais por partes 3 8 Soma de coeficietes biomiais por partição 36 9 Somatórios de coeficietes biomiais por absorção 37 0 Somatórios por reversão

4 Capítulo Somatórios Somatórios e úmeros complexos Resultados sobre úmeros complexos podem os ajudar a deduzir algus resultados sobre somatórios Exemplo Da idetidade e ix cosx + isex, tomado o somatório da expressão e πi e πi e πi como e πi cosπ + iseπ e πi e πi e πi eπi e πi e πi que é igual a seguite soma ( cos π + iseπ e πi e πi cos π + i se π + 0i logo temos como corolário igualado as partes reais e imagiárias cos π se π 0 3

5 CAPÍTULO SOMATÓRIOS Exemplo Achar expressões fechadas para Temos e temos (e ix + e ix sex cosx cosx + i sex e ix + (e ix + e ix ix e ix + e ix (e ( (e ix x ix cos( (e logo ( (e ix + cos( x ( (e ix cos( x cos x ( + i cos( x se x logo igualado as partes o somatório temos Exemplo 3 Calcule a soma Da idetidade segue tomado x π ( ( cosx cos( x cos x ( ( sex cos( x se x cos π ( ( cosx cos( x cos x cos π ( ( π cos

6 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 5 Exemplo Calcular a soma se π Da idetidade tem-se ( ( ( sex cos( x se x sex ( cos( x se ( x tomado x π segue como π ( Exemplo 5 Calcular a soma se π ( cos( π se ( π se π ( ( π se cos π cos π cos π ( cos π ( ( + π cos mas cos( π + π seπ seπ seπ Exemplo 6 Calcular se π ( ( π se ( cos π ( ( cos π ( cos π ( cos π

7 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 6 ( ( Exemplo 7 Calcular cos Escrevedo + ( segue ( + π ( cos (π ( ( ( π cos cos π cos π + ( cos π ( ( ( π se ( ( π cos Exemplo 8 Calcular ( + ( + cos π Vamos calcular por pedaços ( + ( cos π ( ( ( δ (0,( (!( se ( ( π ( 3 ( π cos ( + ( + cos π ( ( ( π se ( 3 + δ (0,( (!( + ( + ( cos ( π +

8 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 7 Exemplo 9 Mostrar que i! i + δ (, + δ (, + 5 para > 0 atural Para temos i! i! i i + δ (, + δ (, + 5 i i para temos i! i! + i! i i + δ (, + δ (, + 5 i i para 3 temos i! i + i 3 i i i + δ (3, + δ (3, i agora para > 3 temos i! i + i! o expoete do segudo somatório irá aparecer e pelo meos o expoete faz i e o expoete faz (, logo temos a soma + i + i + i + + i + 5 Propriedade Sejam o poliômio etão x p(x o cojuto A das raízes desse poliômio A Demostração x + etão x + 0, (x p(x 0 as raízes de p(x são as raízes + -ésimas da uidade Se + é ímpar etão ão é raiz de p(x logo todas as raízes são complexas e como os coeficietes de p(x são reais para cada raiz complexa existe uma cojugada que também é raiz, sedo o total raízes Temos etão um cojuto B com A elemetos das raízes e um cojuto B das cojugadas e vale + x x x x ( x ( x

9 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 8 sedo x a + b i cos(p + ise(p e c vale a a Caso + seja par, é ímpar e é raiz de p(x sedo a soma o caso + O truque de Gauss para somatórios Algus somatórios podem ser resolvidos com o seguite truque: seja o somatório b f( pela mudaça de ordem temos a b f( a b f(a + b S a se somarmos ambos somatórios em ordes diferetes tem-se b b f(a + b + f( a a b (f(a + b + f( S a de ode segue Propriedade (Fórmula de Gauss S b (f(a + b + f( Exemplo 0 A soma que Gauss teria feito quado meio é a soma S, aplicado o método tem-se a S ( + + ( + ( + ( Decidi chamar esse método de fórmula de Gauss por causa da história que se cota do pequeo Gauss sobre a soma dos primeiros 00 úmeros, que pode ser deduzida por esse mesmo método

10 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 9 Exemplo Vamos, procurar a fução f(x cx c x + d f(a + b x + f(x c x c x + d + ca+b x c a+b x + d valores c, d tais que temos que ter c a+b d logo c d /(a+b, etão dado d podemos achar c d /(a+b tal que f(a + b x + f(x logo o somatório fica S b (f(a + b + f( a b a b + a Exemplo (Olimpíada Caadese de matemática 995-Problema Calcular o somatório 99 f( 995 ode f(x 9x 9 x + 3 Neste caso temos d 3, a, b 99, logo c 9 /995, assim o resultado da soma é 99 f( Exemplo 3 Seja f : N R Se é ímpar vale pois (( f ( 0 (( f ( f como é ímpar vale ( ( daí e de (( (( ( + f Exemplo Agora vamos cosiderar a fução da forma com codição f(x d c x + d f(x + f(b + a x ( segue o resultado

11 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 0 d c x + d + d c b+a x + d chegamos etão que c b+a d, etão a relação é o resultado são os mesmos que chegamos para a outra expressão um exemplo aterior Exemplo 5 Calcular o somatório 5 em graus Usado a fórmula temos 35 cos5 35 cos5 35 cos5 + cos(5(35 + mas temos cos5 + cos(5(35 + cos5 + cos(5(36 cos5 + cos(80 5 cos5 cos5 0 logo Exemplo 6 Calcular o somatório Temos Exemplo 7 Calcular 35 cos5 0 ( + ( ( Usamos o truque de Gauss ( ( [ + ( Exemplo 8 Calcular Temos ( ( ( 3 ( ] ( (

12 CAPÍTULO SOMATÓRIOS e daí ( ( ( 3 ( + aplicado o truque de Gauss essa última soma tem-se Logo ( 3 ( + ( ( ( + + ( ( ( + ( 3 ( + Exemplo 9 Calcular Vamos escrever ( m m0 m0 f(m ( ( + ( ( e vamos fazer as seguites maipulações, aplicar o método de Gauss, trocar a ordem e alterar o limite do primeiro termo da soma e aplicar simetria do coeficiete biomial assim temos m m0 f(m m0 f(m + f( m + m m m m m0 + m f(m + f( m m + m ( m ( m0 + m

13 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 3 Método da fução idetermiada O método da fução idetermiada cosiste em testar um tipo de fução como primitiva para os somatórios Podemos observar que expressões como a x, x!, ão mudam de tipo pela aplicação do operador, etão se essas expressões aparecem em somatórios, podemos testar soluções que as evolvam também, veremos isso em exemplos essa seção Se temos um poliômio g( de grau > 0 e aplicamos temos g( g( + g( g( g( + g(g( + g( g(g( + lembrado que g( g( + g( é de grau e o produto g(g( + é de grau Etão se temos uma soma com poliômio de grau s o umerador e (s + o umerador a atidifereça pode ser ode h( é de grau s + em h( Exemplo 0 Calcular ( + ( ( + Essa soma cai a descrição aterior, o umerador temos um poliômio de grau e o deomiador um de grau ( +, podemos ver que ( ( + ( + + ( ( ( + ( + logo aplicado a soma em ambos lados com variado de até segue ( + ( ( + + ( + + Podemos com isso calcular a série ( + ( ( + lim ( + + Exemplo Seja g( ( + b (, uma potêcia fatorial, etão usado a idetidade segue g( g( g(g( + ( + b ( + b (, (, ( + b (, ( + + b ( + b (, (, ( + b (, ( + + b (,

14 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 3 podemos trasformar as potêcias fatoriais em coeficietes biomiais (!( ( +b +b (! ( ( +b ++b (! ( ( +b ++b logo ( + b (, ( +b ( ++b (! ( +b ou escrevedo a primeira potêcia como coeficiete biomial cacelado o fatorial! ( +b ( +b aplicado a soma idefiida em ambos lados ( +b ( +b (! ( +b ( +b ( ++b ( +b ( +b ( ++b Aplicado limites de 0 até s ( s +b ( +b ( ++b ( +b ( +b ( ++b ( +b ( ++b ( +b s 0 ( +b + ( b ( s+b e a série ( +b ( +b ( ++b ( b 3 Somas evolvedo a x Exemplo Calcule Testado uma fução da forma ( + 8 (( + ( + ( ( (( + ( + ( f( 3 podemos chegar em f(, logo ( + ( 3 ( + ( 3 + ( + (

15 CAPÍTULO SOMATÓRIOS e a série Exemplo 3 Calcular ( ( (( + ( + ( + 6 (( + ( + 7 Da experiêcia do problema aterior testamos uma fução ecotrar c 7 logo c (( + (6 7 e podemos Tomado a soma com limites + (( + ( + + (( + ( + ( 6 7 ( (( + 7 (( + ( 6 7 ( (( + ( ( 6 7 e a série + (( + ( + ( 6 lim( 7 7 (( + ( ( Corolário Geeralizado os últimos exemplos, temos que aplicado a soma a ( a (( + a + a (( + ( + Se a a Exemplo se tem-se ( a a a (( + + a (( + ( + ( a a a, etão esse caso a série coverge + a (( + ( + ( a a ( a a a a (( + ( a a + a ( a a

16 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 5 Exemplo 5 Calcular ( + ( + Vamos supor a existêcia de uma fução a f( g( tal que a f( g( ( + a ( + a + f( + g( + tomado g( temos que ter a f( g( a ( af( + g( g( + f( g(g( + af( + ( + f( + com isso supodo f( c costate ac ( + c + ac c c c(a c + de ode podemos tirar c e a logo que implica e a série Exemplo 6 Calcular a soma ( + ( + ( + ( + ( + ( + + ( + + ( + Cosideramos uma fução da forma f(xx (x + f(xx (x + x+ f(x + (x + x x f(x x + ( + ( + x x (x + (x + x (x + (x + ( f(x + (x + f(x(x +

17 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 6 igualado a fução temos testado f(x c temos logo c e a fução é x Exemplo 7 Calcular f(x + (x + f(x(x + x x x +, etão x x (x + (x + x x cx + c cx c x x x (x + (x + x x + x + + ( ( + (( + f( Supodo uma fução do tipo ( g( temos f( ( g( f( + f( ( ( g( + g( + f( + f( ( +( g( + g( ( ( + (( + aulado os termos ( podemos tetar g( e f( c, podemos achar c + + ( + ( + (( + + (( + logo assim aplicado limites [, ] ( ( ( ( + (( + ( ( + (( + ( ( e a série ( ( + (( + ( ( ( ( + (( + + ( ( +

18 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 7 Exemplo 8 Calcular ( Testamos uma primitiva da forma g( ( a + b e podemos deduzir g( aplicado a soma temos A série ( ( + ( + ( lim( ( + pois lim ( + 0, (( é limitada e Exemplo 9 Calcular que ter + tede a zero (, ( Supodo uma soma da forma ( g(, temos ( g(+ ( g( ( g(++( g( ( [g(++g(] ( etão g( + g( +, tomado g( a + b + c a + b + c + a + a + a + b + b + c a + (a + b + a + b + c de ode tiramos a, b e c 0 logo ( ( ( ( (( ( ( + ( ( ( 3 Somas evolvedo fatorial f(! f( + ( +! f(!!(f( + ( + f(

19 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 8 Exemplo 30 Calcular a soma Vamos supor com isso achamos f( +!( + 3 +!( +!( f(!!( ( +!( + 3!(3 ( +!( Exemplo 3 Vamos tomar a difereça de um certo tipo de fução com fatorial para solução de determiado tipo de problema ( ( a f( (! a+ f( + a f(! (! a af( + f( a af(+ f( (! (! ( a f( (! a af( + f( (! Exemplo 3 (Olimpíada Caadese de matemática 99-Problema Calcule a soma Vamos calcular a soma idefiida a 99 ( ( + +! ( a f( (! a af( + f( ( ( + + (!! f( + f( + + assim f( deve ser de grau, f( b + c b + b + c + (b + c b + b + c + b + c b, c 0, assim temos a fução ( + (! ( ( + +!

20 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 9 aplicado a soma em [, ] temos o caso do problema temos a série ( ( + +! 99 Exemplo 33 Calcular a soma ( + (! ( ( + +! Usado a fórmula podemos deduzir que logo A série! Exemplo 3 Prove que + (! ( ( + +!! + + (!! + +!! 995 (99! 3 ( +! ( +! Supodo que haja f( tal que f(! ( +! temos ( + (! + 3 (! 3 +! ( +!f( + f(! ( +! dividido por! temos tomado f( a + b segue ( + f( + f( + ( +(a +b+a a b a +b +a +a +b+a a b a +(b+a +a +

21 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 0 de ode tiramos a, b, logo Exemplo 35 Calcule (! ( +! + ( +! (! (( +! x x (x +! esse caso testamos f(xx (x +! f(xx (x +! f(x + x+ (x +! ( f(xx (x +! x f(x + (x + f(x (x +! (x + logo temos que ter f(x + (x + f(x x tome f(x c c xc c x logo c Aplicado limites [, ] temos x x (x +! x (x +! x x (x +! x (x +! x + + ( +! + (! + ( +! + x x + Para calcular a série, devemos saber o limite lim, sedo uma sequêcia (x +! ( +! x de termos positivos, aplicamos o critério da razão Temos cujo limite é zero, etão lim + ( +! x + x e a série coverge x x x (x +!

22 CAPÍTULO SOMATÓRIOS Corolário Em geral vale daí aplicado limites e a série x Exemplo 36 Calcule Neste caso podemos testar e temos série xa x (x + a! a x (x + a! xa x (x + a! a x (x + a! Exemplo 37 Calcular Temos 93 3 f( ( +! + ( +! 3 +! x + xa x (x + a! a a! + ( +! a+ ( + a! + a (a! ecotrado f( implicado ( +! ( +! ( +! + 3 +! ( + 3( + + ( +! mas ( + 3( logo 9 + ( +! 9 (93! + somado ( +! 9 (93! +

23 CAPÍTULO SOMATÓRIOS Seja uma fução defiida pela recorrêcia f( + f( a + b a + c com uma codição iicial dada, queremos calcular o somatório idefiido f(, para isso vamos usar o método da fução idetermiada, vamos cosiderar uma fução do tipo f(g( tal que h( f(g( f( + h( tomado a difereça temos f( + g( + f(g( f( + h( + h( ( g( + h( + f( + f(g( h( + h( f( + a + b f( a + c g( ( h( + h( g( + h( + agora tomar h( u e g( a + b resolve o problema, pois a + b a + c a + b ( u u a + b + a u temos que ter b + a u c logo u b + a c e temos f((a + b b + a c f( + f( (a( + b b + a c f( a expressão fechada para f( podemos obter através da teoria de produtórios Qf( a + b a + c etão f( c 0Γ( b a + Γ( c a +

24 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 3 ode c 0 é uma costate, se quisermos f(0 temos f( c a b a logo logo f( Exemplo 38 Calcular f( (a( + b b + a c + 0 f((a( + b b + a c f( f((a( + b b + a c c a b + a c f((a( + b + a c b + a c x xx! (x +! f(x + x+ (x +! x x! f(x (x +! (x! x x! (x! ( f(x + (x + (x + (xf(x f( (b a b + a c x x! Nesse caso testamos uma fução da forma f(x, temos sua difereça (x! ( f(x + (x + (x + (x x x! (x! (x + (x f(x x x! (x +! (f(x+(x+ (x+(xf(x observado que se f(x o termo (f(x+(x+ (x+(xf(x x x x logo temos x x! xx! x x (x! (x +! assim Assim temos aplicado limites [, ] segue x x xx! (x +! x x x! x (x! xx! x (x +! x xx! (x +! x x! x (x! x x! (x! + + ( +! + + ( +!

25 CAPÍTULO SOMATÓRIOS Agora para calcular a série x xx! (x +! x aplicamos ovamete o teste da razão x + x + 8 logo lim x + x + ( + ( +! ( +!( + ( + 3 temos que saber o limite lim + ( + ( +! + ( +! 0 implicado lim x 0, logo a série coverge e vale Exemplo 39 Tem-se (! Logo (! (! (! x x xx! (x +! [!] ( +! pois ( + ( + (! ( + ( +! ( + (! ( +! ( + (! ( +! (! ( +! Aplicado a soma tem-se [!] ( +! (! (! + 0 ([ + ]! + ( +! [!] ( +! ([ + ]! + ( +! Podemos escrever as idetidades usado o coeficiete biomial Exemplo 0 Mostrar que Vamos mostrar que ( ( + ( ( + ( + ( + + ( ( + 3 ( + + ( ( + ( ( + ( + ( ( + 3 ( ( +!, ( +! ( + ( + ( + 8( + ( + 3 ( + 3 Defiido g( vamos mostrar que g( + g( + ( + ( + + Temos que ( e ( logo ( + 3 (

26 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 5 e g( + g( + ( ( basta mostrar etão que ( ( + ( e ( +8 +5( Da idetidade ( + ( + ( ( + 3 aplicamos a soma em ambos lados ( + + ( ( + 3 ( + + ( + (( + + Soma evolvedo repuit Exemplo Achar expressão para a soma em fução de ode o último termo têm dígitos Temos um somatório }{{} vezes devemos achar primeiros os termos a, que são dados por a 0 s 0s aplicado o somatório temos 9 s a Exemplo Achar expressão para a soma em fução de A soma será } {{ } vezes 0 ( 0 9 ( +

27 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 6 temos (já calculado o primeiro texto que calcular assim 0 0+ ( ( 0 + ( ( + Exemplo 3 Mostrar que Temos que b a b b + a + b a c b (c+ c 5 Método da difereça b a b ( a+ b + b b + a b a+ b + a b Exemplo Mostrar que ode t + t e temos a + b a + c e t 0 Sejam t (a + bt a + b c + ct + a + b c a + b c f( g( (a + bt a + b c + ct + a + b c a + b c t usado que t t + (a + c a + b f( t + g( (a + bt a + b c (a + b + at + (a + bt a + b c a + b c (a + b + at + a + b c e substituido temos (a + ct + a + b c t +(a + b + a a c a + b c t +

28 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 7 logo está provado que f( g( agora basta mostrar que f(0 g(0, pela relação t b c temos que mostrar que (b a + b c + ct + a + b c a + b c t 0 mas temos substituido t b c logo está provada a igualdade (b a + b c + b + a + b c a + b c 6 Somatório e logaritmo Vamos ver algus somatórios que evolvem logaritmos Exemplo 5 Calcular Exemplo 6 Calcule Calcule s0 p l a +s usado que l a l a + s0 l a l a + l a ( + l a l a p [( + s l a] s0 p l a +s (l a p+ s0 ( ( p, (( (0( p, (l a p+ p p (l a p+ ( p(l a p+ ( (p, (p! p(l a p+ (p, ( + p (p, p! ( +p(p, p! l a ( ( p, p (l a [( + s] p+ p p( (p, ( (p! ( (p, p! ( +p p p(p!

29 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 8 Logo e a série ( p(p!(l a p+ s0 Exemplo 7 Mostrar que ( +p p p l a +s s0 Por idução sobre, para 0 temos ( ( p!(l a p+ ( p(p!(l a p+ p l a +s p(p!(l a p+ log ( + + ( +p p ( +p p 0 supodo a validade para log log 0 ( vamos provar para + log ( log ( Abrimos o somatório + log log log ( log + log + como log é crescete temos que log com variado de + até + está o itervalo [, + pois log e log + + e temos +

30 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 9 termos somados o itervalo do somatório, vale etão log substituido a soma segue ( ( + + ( ( ( Exemplo 8 Deduzir uma expressão fechada para o somatório Supoha daí a + log a f( + a a log a log a f( a log a + } {{ } f( a + a + log a + log a a + como log é crescete e log a a e log a a + + segue que log a com de a + até a + pertece ao itervalo [, + ode log a e o somatório possui a + a (a a termos, daí a soma fica f(+ f(+(a a ++ f(+(a a +, f(+ f(+(a a + e temos a codição iicial f(0 0 como temos f( (a a +, aplicamos a soma com variado de 0 até em ambos lados de ode segue por soma telescópica a ((a ( a + a f( f(0 + (a daí a log a f( a ((a ( a + a + (a

31 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 30 7 Somas de potêcias fatoriais Usaremos o resultado: se p e a 0 (ax + b (p, a para p iteiro e a, b reais ode x (ax + b(p+, a a(p + p (ax + b (p, a (ax + b sa s0 se p positivo (ax + b ( p, a p (ax + b + sa s Exemplo 9 Calcular a soma e o valor da série Escrevemos ( + ( + 3( + 5( + 7 ( + ( + 3( + 5( + 7 ( + ( + 3( + 5( + 7 ( + s logo aplicamos a soma logo a série s ( + ( + 3( + 5( + 7 ( (, 6 ( 3 ( + s s ( (, ( ( 3, ( 3 6 ( ( + ( + 3( ( ( + ( + 3( + 5 (3(5(7 ( + ( + 3( + 5( + 7 (3(5(76

32 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 3 Exemplo 50 Calcular a série (ax + b ( p,a xc (ax + b( p+,a a(p c a(p p (ac + b + as s Corolário 3 Se a, b e c temos logo (x ( p, x (p p ( + s x s x s Exemplo 5 Calcular a soma a(p p (ax + b + as s (p p (s + s (x ( p, p (p! (p (p! p (x + s p (p! (p (p! ( ( + ( + 3 Vamos calcular por partes, primeiro escrevemos c p (p! (p (p! ( ( + ( ( 3 + s s ( 3 ( 3, ( 3 ( 3, sedo g(, temos g( e f( ( 3 ( 3, etão f( logo f( + ( (, a soma fica ( 3(, ( 3 ( 3, ( 3(, + ( (, ( 3(, + ( (, ( ( ( + + ( + ( + ( ( + + 8( + (

33 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 3 logo aplicado os limites 8 ( ( + 8( ( + ( ( + ( + 3 8( ( + ( ( + ( + 3 8( ( + + 8( + ( + 3 8(3 a série Exemplo 5 Calcular 3 8( + ( ( ( + ( ( + ( + 5( + 3( + 7( + 9( + ( + 3( + 5 Escrevemos como produtório 8 ( + s s ( ( 8, 7 7 (s + s ( + ( + 3( + 5( + 7( + 9( + ( + 3( Somas de coeficietes biomiais Sabemos a propriedade de soma de potêcias fatoriais ( + s (p, ( + s(p+, (p + que vamos usar para calcular algumas somas

34 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 33 Exemplo 53 Calcular ( Temos ( (, (3, 3 (( ( 3 Exemplo 5 Calcular (+(+ (+ (3, Exemplo 55 Calcular a soma ( + ( + ( + (, Usado propriedade de soma de coeficiete biomial temos ( ( ( + 3(, ( + + ( + 3( + ( + ( Exemplo 56 Calcular a soma Temos ( +a+ (a+, que implica porém temos que logo a soma é ( +a+ a+ ( + a + ( + a + (a+, a + (a +! a 0 a ( +a+ s ( +a++s ( ++s ( + (a+, s0 ( +a+ a+ s a (a +! ( + (a+, (( a, ( + (a+, s0 (a +! ( + (a+, (a +!( ( a, (a +! ( ( a,

35 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 3 etão temos com limites [0, ] e a série (a +!(( a, a ( +a+ a+ (a +! (a + a( + (a, a + a ( +a a 0 ( +a+ a+ a + a ( +a a a (+a(a, a! a + a ( +a a a + a ( +a + a + a ( a a + a ( +a + a + a a a a ( +a+ a+ a + a A dedução acima pode ser feita de maeira mais compacta usado propriedades da fução beta, como veremos o próximo exemplo Exemplo 57 Calcular a soma ( +!! ( +! Γ(+ Γ(Γ( ( +!(! ( +! (+! (!(! Γ( + Γ( + Γ( + + ( + 8 Soma de coeficietes biomiais por partes β(, + β(, Propriedade 3 Vale a propriedade ( ( ( Demostração Vale a propriedade para coeficietes biomiais ( ( + + tomado + segue daí + ( ( + + pela relação de Stifel ( + + ( ( ( ( ( (,

36 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 35 Exemplo 58 Mostrar que pois ( Vamos mostrar por idução e soma por partes Para 0 a propriedade é verdadeira, supodo que vale para vamos provar para + tomado g( 0 ( 0 (+ + ( temos g( + f( +, assim a soma fica (+ + ( ode usamos a propriedade aterior Exemplo 59 Calcule Temos ( + ( ( ( + ( ( ( }{{} a e f( implica f( e ( }{{} + ( }{{} a + ( + + ( ( ( }{{} ( + +

37 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 36 8 Soma de coeficietes biomiais por partição Propriedade para todo iteiro ( 0 Demostração Se < 0 > 0 e 0 0, o outro caso recai o biômio de Newto Exemplo 60 Calcular Temos x + x x + + I, ímpar I, par 0x seja f( 0 se par e f( se ímpar, etão f( ( + + (( + + x (( + x ( x Se x temos Exemplo 6 Calcular Temos + (( (0 x x x + I, par I, ímpar 0x seja f( se par e f( 0 se ímpar, etão f( ( + (( + x (( + x + ( x Se x (( + (0

38 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 37 Exemplo 6 Calcular Exemplo 63 Calcular ( + x + x Por propriedade de absorção temos ( + + Exemplo 6 Calcular Temos ( Exemplo 65 Calcular Temos que + ( (( + x + ( x ( + + ( + 0 ( ( 0 ( ( ( Somatórios de coeficietes biomiais por absorção Aqui trataremos de algus somatórios de coeficietes biomiais que podem ser resolvidos por técica de absorção As técicas de absorção do coeficiete biomial podem ser ecotradas o texto separado sobre coeficietes biomiais

39 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 38 Exemplo 66 Achar uma expressão fechada para ( ( ( + ( ( p, (p, s ( p ( + s s pela propriedade de absorção Agora o somatório p ( +p +p p s p ( + s ( ( + s +p + p +p + p ( p + p ( p + p + p +p + p assim segue s ( p ( + s s Exemplo 67 Calcular s ( p ( + s ( p +p ( p +p ( ( + ( + p ( + (p, ( + p p ( + s Usado o resultado aterior temos a resposta ( ( 0 ( + + ( + s ( + s Exemplo 68 Achar a fórmula fechada para o seguite somatório (p, x Temos que os primeiros p termos se aulam etão o somatório é (p, x (p, x e podemos usar a propriedade de absorção (p, p ( p p x (p, p p ( p s s (+ + x +p (p, x p ( + x p

40 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 39 Logo (p, x (p, x p ( + x p (p, (p, p ou escrita em forma de produtório Corolário Da idetidade p ( s s0 p [ s0 ( s] p (p, x (p, x p ( + x p dividido por p! segue ( p ( x x p ( + x p p Exemplo 69 Calcular Pelo resultado aterior Exemplo 70 Calcular ( + ( Exemplo 7 Ache expressão fechada para Usado propriedade de absorção ( (, (, ( ( (

41 CAPÍTULO SOMATÓRIOS 0 Exemplo 7 Ache uma expressão fechada para Temos + (( de ode segue + ( ( + ( + ( + ( + ( Corolário 5 Podemos usar o resultado (p, (p, p para deduzir aida outra expressão, dividido ambos lados por p! temos escrevedo como coeficiete biomial (p, p! ( ( p (p, p p! p p Exemplo 73 Podemos geeralizar os problemas acima, procurado uma fórmula fechada para o somatório a (p, (p, e para o somatório p p p a (p, p p a +p (p, a p ( + a p a ( ( + (p, ( + (p, + p a + p +p ( + (p, ( p ( + p ( + a +p a ( + (p, a p p + p a p

42 CAPÍTULO SOMATÓRIOS Observe que a fórmula ( a ( p, ( p ( ( p, a p ( + a +p ( + p a Vale para todo p iteiro, pois se p < 0 ela vale pela última propriedade e se p > 0 p + p temos p < 0 logo o somatório a 0 por ser vazio logo temos a primeira expressão do exemplo Exemplo 7 Achar expressão fechada para o somatório ( ( + ( + ( ( + (+ ( + ( ( ( + ( ( + Exemplo 75 Calcular + Exemplo 76 Calcular ( p ( ( Vale que p termos iiciais são zero ( ( ( p p ( ( (+ ( ( + ( + ( ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( + + ( + ( ( p e podemos começar a soma de p pois os ( p p p ( p p ( ( p ( p p ( p ( p ( p p ( p ( p p

43 CAPÍTULO SOMATÓRIOS Exemplo 77 Calcular Do exemplo aterior temos que ( ( p ( ( p ( p p ( p p ( p p aplicamos agora o truque de Gauss o somatório que resta ( p ( + p p ( p (+p p ( ( p p (+p +( ( + p p ( p ( ( + p logo o resultado é ( ( p ( + p ( p ( p p 0 Somatórios por reversão Exemplo 78 Calcule por reversão j j j j ( + ( j(j ( + (( ( + (( 6 (( + ( + 6