Prova 3 Matemática ... GABARITO 1 NOME DO CANDIDATO:

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1 Prova 3 QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Cofira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, que costam da etiqueta fixada em sua carteira.. Cofira se o úmero do gabarito deste cadero correspode ao costate da etiqueta fixada em sua carteira. Se houver divergêcia, avise, imediatamete, o fiscal. 3. É proibido folhear o Cadero de Questões ates do sial, às 9 horas. 4. Após o sial, verifique se este cadero cotém 0 questões objetivas e/ou qualquer tipo de defeito. Qualquer problema, avise, imediatamete, o fiscal. 5. O tempo míimo de permaêcia a sala é de horas e 30 miutos após o iício da resolução da prova. 6. No tempo destiado a esta prova (4 horas), está icluso o de preechimeto da Folha de Respostas. 7. Trascreva as respostas deste cadero para a Folha de Respostas. A resposta será a soma dos úmeros associados às alterativas corretas. Para cada questão, preecha sempre dois alvéolos: um a colua das dezeas e um a colua das uidades, coforme o exemplo ao lado: questão 3, resposta 09 (soma das proposições 0 e 08). 8. Este Cadero de Questões ão será devolvido. Assim, se desejar, trascreva as respostas deste cadero o para Aotação das Respostas, costate abaixo, e destaque-o, para recebê-lo hoje, o horário das 3h5mi às 3h30mi. 9. Ao térmio da prova, levate o braço e aguarde atedimeto. Etregue ao fiscal este cadero, a Folha de Respostas e o para Aotação das Respostas. 0. São de resposabilidade do cadidato a leitura e a coferêcia de todas as iformações cotidas o Cadero de Questões e a Folha de Respostas. Corte a liha potilhada.... RASCUNHO PARA ANOTAÇÃO DAS RESPOSTAS PROVA 3 VERÃO 03 N ọ DE ORDEM: NOME: UEM Comissão Cetral do Vestibular Uificado

2 MATEMÁTICA Formulário Trigoo metria (se x) + (cos x) = se( x + y) = se x cos y+ se y cos x Geometria Plaa, Espacial e Aalítica Área do triâgulo: bh A = Área do círculo A=π r Volume do troco de coe: V = π h 3 ( R + Rr+ r ) Volume do cilidro: V =π r h Distâcia etre potos: d= (x -x ) +(y -y ) 0 0 Área do triâgulo: x y A= det x y x y 3 3 Elipse: a = b + c ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) + = ou + = a b b a Hipérbole: c = b + a ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) = ou + = a b b a e = c a Biômio de Newto ( ) a b a a b a b ab + = b 0 Fuções Progressões Fução quadrática x v y v = b a = 4a Progressão Aritmética (P. A.): a =a + (-)r S =(a +a ) Vestibular de Verão 03 Prova 3

3 MATEMÁTICA Questão 0 Com base os cohecimetos de geometria plaa, assiale o que for correto. 0) O maior âgulo itero de um triâgulo qualquer uca possui medida iferior a 60 o. 0) Se r, s e t são retas cotidas em um mesmo plao e r é paralela a s e s é paralela a t, etão r é paralela a t. 04) Se r, s e t são retas cotidas em um mesmo plao e r é perpedicular a s e s é perpedicular a t, etão r é perpedicular a t. 08) Dois triâgulos semelhates com razão de semelhaça são sempre cogruetes. 6) O perímetro de um polígoo regular de lados iscrito em uma circuferêcia de raio R é igual a R π se( ). Questão 0 Um aluo desehou, em um plao cartesiao, duas côicas (elipse ou hipérbole), uma de excetricidade 0,8 e outra de excetricidade,4, tedo ambas como foco o par de potos (, 0) e (,0). Assiale o que for correto. 0) A côica de excetricidade 0,8 é uma hipérbole. 0) A côica de excetricidade,4 passa pelo poto (5,0). 04) As côicas descritas possuem quatro potos em comum. 08) x y + = é uma equação para a côica de 5 8 excetricidade 0,8. 6) A côica de excetricidade 0,8 passa pelo poto (0,9). Vestibular de Verão 03 Prova 3 3

4 Questão 03 Em relação à sequêcia ifiita de úmeros iteiros, cujo -ésimo termo é obtido pela fórmula a = 3+ 6, para todo iteiro positivo, assiale o que for correto. 0) Essa sequêcia é uma progressão aritmética de razão 3. 0) Todos os termos dessa sequêcia são múltiplos de 3. 04) a = ) Para todo iteiro positivo, o termo a divide o termo a ) Para todo iteiro >, vale a seguite igualdade a + a + + a + a = Questão 04 A superfície de uma piscia tem o formato de um círculo de raio 4 metros. A profudidade abaixo de cada poto a superfície da piscia é descrita pela fução x + 3 se 0 x 3 px ( ) = 3 3 se 3< x 4 em que x é a distâcia, em metros, do poto a superfície da piscia até a borda da piscia. Assiale o que for correto. 0) A profudidade da piscia em um poto que está a metros da borda é de,5 metros. 0) Uma pessoa que ão deseje ir a uma parte da piscia que teha profudidade acima de,5 metro pode afastar-se, o máximo,,5 metro da borda. 04) Se dois potos estão a distâcias distitas da borda da piscia, etão as profudidades abaixo deles também são distitas. 08) O sólido que descreve a piscia é a uião de dois cilidros com um troco de coe. 6) O volume de água que cabe detro da piscia 4 π m. é 3 Vestibular de Verão 03 Prova 3 4

5 Questão 05 Cosidere, o plao cartesiao, a circuferêcia λ de raio uidade de comprimeto com cetro o poto Q de coordeadas (,0). Sedo O a origem dos eixos coordeados e A o poto de coordeadas (,0), assiale o que for correto. 0) O poto de coordeadas (, 3 3) pertece a λ. 0) Todo poto P de coordeadas ( x, y ) pertecete à circuferêcia e, com y positivo, satisfaz a equação y = ( x ). 04) A área do círculo delimitado pela circuferêcia λ é de π uidades de área. 08) Os potos P da circuferêcia para os quais o triâgulo APO possui a maior área são aqueles de abscissa (coordeada x) igual a. 6) Para qualquer poto P de coordeadas ( x, y ) pertecete à circuferêcia e com y 0, o triâgulo APO é retâgulo. Questão 06 Muitos problemas podem ser mais bem compreedidos se utilizarmos médias apropriadas. Algumas das médias comumete utilizadas etre dois úmeros reais positivos a e b são as seguites: Média Aritmética: A = a+ b ; Média Geométrica: G= a b ; Média Harmôica: H = ; + a b Média Quadrática: Q = a + b. Sobre essas médias, para quaisquer dois úmeros reais a e b, é correto afirmar que 0) G A. 0) A H. 04) Q A. 08) Q G. 6) todas as médias coicidem, se a = b. Vestibular de Verão 03 Prova 3 5

6 Questão 07 Em relação às fuções reais f e g defiidas por x f ( x) = x + x e gx= ( ), para todo x real, assiale o que for correto. 0) A fução g é ijetora. 0) Para todo x real, ( g f )( x). 4 04) ( f g )( x ) = x + x, para todo x real. 08) f ( ) = 3. 6) g( ) = 4. Questão 08 Cosidere o sistema liear com 3 equações e com 3 icógitas represetado matricialmete por AX = B, ode A 3 6 =, X x = y z e B =. 3 Sobre essas matrizes e o sistema liear associado, assiale o que for correto. 0) O produto da trasposta da matriz A pela matriz A é 0 0 igual à matriz idetidade, isto é, At. A= ) A matriz A ão possui iversa. 04) O produto da trasposta da matriz A pela matriz B é uma matriz cujas etradas forecem a úica solução do sistema AX = B. 08) Se a matriz B tivesse todas as etradas iguais a zero, etão o sistema AX = B ão teria solução. 6) O determiate da matriz A é igual a 0. Vestibular de Verão 03 Prova 3 6

7 Questão 09 Com base os cohecimetos sobre as propriedades de úmeros reais, assiale o que for correto. 0) ( x3 y3) = ( x y) 3, para quaisquer x e y reais. 0) 5 ( )( + ) = ) Se a > 0 e a < a, etão a > a. 08) O resultado da soma de um úmero racioal por um irracioal é sempre um irracioal. 6) Para todo real a, a equação x = a possui solução real. Questão 0 Uma sequêcia ifiita de quadrados é costruída da seguite forma: dado um quadrado Q, costrói-se outro i quadrado Q i +, cujos vértices estão sobre os lados de Q i e de tal forma que a distâcia de qualquer vértice de Q i + ao vértice de Q mais próximo dele é igual a /3 do lado i de Q. i Sobre essa sequêcia de quadrados, assiale o que for correto. 0) O lado do quadrado Q i + é igual a 5/9 do lado do quadrado Q. i 0) A área do terceiro quadrado costruído é meor do que a metade da área do primeiro quadrado. 04) A sequêcia formada pelas áreas dos quadrados costruídos dessa forma é uma progressão geométrica de razão 5/9. 08) A sequêcia formada pelos lados dos quadrados costruídos é uma progressão aritmética de razão 53. 6) As diagoais de todos os quadrados costruídos se itersectam o mesmo poto. Vestibular de Verão 03 Prova 3 7

8 Questão Dados os iteiros ão egativos e k, sedo k, defie-se o símbolo! =. Para cada iteiro k k!( k)! >, cosidere p ( x ) como sedo o poliômio x x x x Assiale o que for correto. 0) p ( x) = x + 4x + 6x + 4x+. 0) Para todo iteiro positivo, o poliômio p ( x ) admite raízes ão reais. 04) Para todos os valores de, o poliômio p ( x ) é divisível por x +. 08) Para todo iteiro >, existem dois úmeros racioais distitos, a e b, para os quais p ( x ) é divisível por x a e por x b. 6) Para cada iteiro positivo, a soma de todos os coeficietes de p ( x ) é. Vestibular de Verão 03 Prova 3 8

9 Questão Três lojas, A, B e C, vedem um mesmo produto cujo preço é R$ 900,00, mas oferecem formas de pagameto diferetes, coforme descrito abaixo. Loja A Dá um descoto de 0 % para pagameto a vista. Loja B Parcela o valor em meses, sem juros, com o primeiro pagameto para mês após a compra. Loja C Dá um descoto de 0 % em metade do valor, que deve ser pago a vista, e deixa o pagameto da outra metade para mês após a compra. João tem exatamete R$ 900,00 depositados em uma aplicação que lhe rede 0 % ao mês. Supoha que João preteda utilizar esse diheiro para comprar tal produto e que, feita a escolha da loja, ele irá realizar saques mesais da sua aplicação o dia de vecimeto e o valor exato da parcela que deve pagar. Nessa situação, assiale o que for correto. 0) Se João comprar a loja A, etão, meses após a compra, ele terá R$ 0,00 aplicados. 0) Se João comprar a loja B, etão, exatamete após efetuar o primeiro pagameto, ele terá R$ 540,00 aplicados. 04) Se João comprar a loja C, etão, logo após termiar de pagar pelo produto, restarão a ele R$ 94,50 aplicados. 08) Se comprar a loja B, João levará mais tempo para pagar o produto, mas, para ele, essa opção é fiaceiramete melhor do que comprar a loja C. 6) Fiaceiramete, a melhor opção de compra é sempre pagar a vista com descoto, idepedetemete de como se pode aplicar o diheiro. Vestibular de Verão 03 Prova 3 9

10 Questão 3 O desempeho de um time de futebol em cada partida depede do seu desempeho o jogo aterior. A tabela abaixo apreseta as probabilidades de esse time gahar, empatar ou perder um jogo, tedo em vista o resultado do jogo aterior. PROBABILIDADE DE GANHAR EMPATAR PERDER RESULTADO GANHOU 0,5 0,3 0, DO JOGO EMPATOU 0, 0,6 0, ANTERIOR PERDEU 0,3 0,3 0,4 Cosidere P a matriz formada pelas etradas da tabela de probabilidades dada acima e assiale o que for correto. 0) As etradas da diagoal da matriz P represetam as probabilidades de o time coseguir, o jogo atual, o mesmo resultado (vitória, empate ou derrota) do jogo aterior. 0) A probabilidade de o time gahar o seu terceiro jogo ão depede do resultado do primeiro jogo. 04) A probabilidade de o time gahar o terceiro jogo, tedo perdido o primeiro, é de 30 %. 08) Se o time tem 50 % de chace de gahar o primeiro jogo e 40 % de chace de empatá-lo, etão a probabilidade de ele perder o segudo jogo é de %. 6) As etradas da matriz P (multiplicação de P por P) represetam as probabilidades de cada resultado do time o terceiro jogo (vitória, empate ou derrota), tedo em vista o resultado do primeiro jogo. Questão 4 Cosidere z = a+ ib um úmero complexo, com a e b reais e ão ulos, e z = a ib o seu cojugado. Sobre esses úmeros complexos e a sua represetação o plao complexo, assiale o que for correto. 0) O produto z z é um úmero real positivo cuja raiz quadrada forece a distâcia de z e de z até a origem. 0) O poto do plao complexo que represeta z é obtido do poto que represeta z fazedo uma rotação de 80º em toro da origem. 04) Se z = i, etão ( z) = i. 08) Se w é um úmero complexo que está à mesma distâcia de z e de z, etão w é um úmero real. 6) O quociete z é um úmero real. z Vestibular de Verão 03 Prova 3 0

11 Questão 5 Quize cadidatos a uma vaga foram submetidos a um teste seletivo que costa de 5 questões de múltipla escolha com cico alterativas cada (de (a) a (e)), sedo que, em cada questão, há apeas uma alterativa correta. A potuação de cada cadidato a prova correspode ao úmero de questões que ele acertou. Sabedo que dois cadidatos zeraram a prova, quatro cadidatos obtiveram ota, três cadidatos obtiveram ota, três cadidatos obtiveram ota 3, um cadidato obteve ota 4 e dois cadidatos obtiveram ota 5, assiale o que for correto. 0) Escolhedo um cadidato ao acaso, a probabilidade de se escolher um que obteve ota superior a 3 é de 5. 0) A média das otas foi,. 04) A mediaa das otas foi 3. 08) Se um cadidato respode às 5 questões de forma equilibrada, isto é, escolhedo alterativas distitas para questões distitas, e se o gabarito também estiver equilibrado, etão a probabilidade de ele acertar exatamete 4 questões é. 4! 6) O úmero total de maeiras possíveis de se escolher exatamete uma alterativa de cada questão é 5!. Questão 6 Represetar um úmero atural a forma biária sigifica escrevê-lo somado potêcias de da seguite forma: = a k + k 0, k a + + k a + a em que 0 cada coeficiete a i, com 0 i k, pode ser 0 ou e a 0. Nesse caso, diz-se que k aa aa k k 0 é a represetação biária de e que os coeficietes a são os i algarismos dessa represetação. Sobre a represetação biária, assiale o que for correto. 0) A represetação biária do úmero três é []. 0) [0] + [] = [00]. 04) ( ) [00] = [000]. 08) O úmero 03, quado represetado a forma biária, tem 0 algarismos. 6) Se o úmero atural, quado represetado a forma biária, tem k algarismos, etão k log < k. Vestibular de Verão 03 Prova 3

12 Questão 7 Cosidere um triâgulo ABC retâgulo em A, a circuferêcia λ que passa pelos potos A, B e C e cosidere D o poto de BC de modo que AD é uma altura do triâgulo ABC. Sedo o poto O o cetro de λ, assiale o que for correto. 0) A mediaa relativa ao lado BC mede metade do comprimeto do lado BC. 0) O comprimeto do lado BC é igual à soma dos comprimetos dos lados AB e AC. 04) Os triâgulos ABC, DBA e DAC são semelhates. 08) O segmeto BC é um diâmetro da circuferêcia λ. 6) Se o triâgulo ABC é isósceles, sua área correspode a mais de um terço da área do círculo delimitado por λ. Questão 8 Cosidere as retas r, s e t o plao cujas equações são r: x+ y =, s:x+ y = 0, t: x y=. Sobre essas retas, assiale o que for correto. 0) A iterseção das retas r e s é o poto (,), das retas r e t é o poto (,0) e das retas s e t é o poto (/5, /5). 0) As retas s e t são perpediculares. 04) O poto de iterseção das retas r e t está a uma distâcia igual a 5 da reta s. 5 08) A área do triâgulo delimitado por essas retas é 6/5. 6) A tagete do âgulo agudo formado pelas retas r e s é 3. Vestibular de Verão 03 Prova 3

13 Questão 9 Com base os cohecimetos de trigoometria, assiale o que for correto. 0) Para todo x pertecete ao itervalo 0, π 4, se x > cos x. 0) Não existe solução para a equação se x = se x o itervalo [0,3]. 04) Para todo x real, se x cos π ( x) =. 08) Existe x 0, π satisfazedo a desigualdade x < se x. 6) Para todo x real, (se x)(cos x). Questão 0 Em um dia, em uma determiada região plaa, o Sol asce às 7 horas e se põe às 9 horas. Um observador, essa região, deseja comparar a altura de determiados objetos com o comprimeto de suas sombras durate o trascorrer do dia. Para isso, ele observa que o âgulo de icidêcia dos raios solares a região varia de 0º (o ascer do Sol) a 80º (o pôr do Sol) e aumeta de modo proporcioal ao tempo trascorrido desde o ascer do Sol. Sobre essa situação, assiale o que for correto. 0) Às horas, o âgulo de icidêcia dos raios solares a região é igual a 60º. 0) O âgulo de icidêcia dos raios solares é reto exatamete às horas. 04) Às 0 horas da mahã, o comprimeto da sombra de qualquer objeto essa região é igual à sua altura. 08) No iício do dia, o comprimeto das sombras é iversamete proporcioal à tagete do âgulo de icidêcia. 6) O comprimeto da sombra de um prédio com 0 metros de altura, às 9 horas da mahã, é 0 3 metros. Vestibular de Verão 03 Prova 3 3