O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA

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1 O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA Paulo César de Resede ANDRADE Lucas Moteiro CHAVES 2 Devail Jaques de SOUZA 2 RESUMO: Este trabalho apreseta a teoria do teste de Galto do poto de vista geométrico. Tal abordagem permite tratar a combiatória subjacete ao teste como um problema em passeios aleatórios uidimesioais. Com isto, a cotagem de camihos em um reticulado tora-se ferrameta suficiete para a obteção da distribuição da estatística do teste. PALAVRAS-CHAVE: Pricípio da reflexão; cotagem de camihos; distribuição uiforme. Itrodução, 2,...,, 2,..., de duas populações, e suas respectivas ordeações decrescetes a > a2 >... > a e b > b2 >... > b, em que a i represeta o i-ésimo maior elemeto da amostra X e b j represeta o j-ésimo maior elemeto da amostra Y. A estatística do teste de Galto Cosidere duas amostras idepedetes X ( x x x ) e Y ( y y y ) cosiste da cotagem do úmero de pares (, ) a b tais que a > b. Deomiaremos tais pares de pares efetivos. Supoha-se, por exemplo, que uma amostra X seja obtida de uma população, após um tratameto, e Y outra amostra da mesma população, ates do tratameto. Supodo, sem perda de geeralidade, que o tratameto aumete a média populacioal de forma cosiderável, espera-se que o úmero pares efetivos seja próximo de. No caso do tratameto ser iócuo, esse úmero deve ser próximo de 2. Essa ideia foi usada por Galto, em 876, em dados obtidos por Charles Darwi, segudo Hodges (955). O mesmo Hodges (955) cita aida que o teste de Galto foi extesivamete revisto por Fisher (945). Apesar da simplicidade desse teste, a combiatória a ele subjacete é complexa e com resultados surpreedetes. Neste artigo será desevolvida toda a teoria combiatória Uiversidade Federal dos Vales do Jequitihoha e Mucuri UFVJM, Istituto de Ciêcia e Tecologia Campus II, Rodovia MGT 367, m 583, º 5000, Alto da Jacuba, CEP: , Diamatia, MG, Brasil. paulo.adrade@ict.ufvjm.edu.br 2 Uiversidade Federal de Lavras UFLA, Departameto de Ciêcias Exatas, Caixa Postal 37, CEP: , Lavras, MG, Brasil. lucas@dex.ufla.br / DevailJaques@dex.ufla.br 24 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35, 202

2 desse teste, de um poto de vista totalmete geométrico. Uma abordagem geométrica para o estudo de problemas relacioados a passeios aleatórios simplificou de tal forma a combiatória subjacete que costituiu a pricipal motivação para a seguda edição do clássico livro de Feller, A Itroductio to Probability Theory ad Its Applicatios, segudo o próprio Feller (968), pág. 676, ota de rodapé. No etato, como visa abordar de maeira geral os passeios aleatórios, Feller (968) ão explora totalmete as possibilidades de abordar geometricamete o teste de Galto. Neste trabalho, o método geométrico é desevolvido em detalhes ausetes o livro e, como a leitura do texto de Feller (968) é difícil, os autores acreditam que este pode ser uma referêcia didática e completa da teoria subjacete ao teste de Galto. A abordagem geométrica de problemas estatísticos, em uma perspectiva geral, pode ser ecotrada em Saville (99). 2 Teste de Galto Seja W ( w, w2,..., w2 ) obtida pela uião das amostras X e Y. A sequêcia ( ) wi a amostra cojuta, ordeada de maeira decrescete, w, w2,..., w 2 é trasformada em uma sequêcia de ( + )'s e ( )'s da seguite forma: se wi X é substituído por + e, se Y, por. O resultado é uma detre todas as sequêcias possíveis, de tamaho 2, compostas com ( + )'s e ( )'s. Como a maioria das abordages ão paramétricas, os valores uméricos da amostra são irrelevates, sedo cosideradas apeas as ordeações desses valores. Nesse setido, qualquer sequêcia de tamaho 2, composta com elemetos iguais a + e elemetos iguais a, correspode a uma amostra ordeada W. Para calcular o úmero dessas sequêcias basta supor uma fila de 2 caixas vazias e escolher dessas caixas para colocar os ( + )'s, ficado assim determiadas as posições dos ( )'s. É trivial que o úmero de sequêcias possíveis é 2 ( 2 )! dado por.!! Defie-se etão uma variável aleatória discreta G, que cota, em cada sequêcia, o úmero pares efetivos. Sedo assim, G assume valores o cojuto { 0,,..., } e tem fução de probabilidade, supodo que todas as sequêcias possíveis são equiprováveis, dada por: [ ] úmero de seqüêcias com pares efetivos P G ( ) 2 0,...,. A questão que demada uma teoria combiatória complicada é o cálculo do úmero de todas as sequêcias com um determiado úmero de pares efetivos. Por exemplo, seja, +, +, +,, +,,, +,. Observe que: o primeiro a sequêcia de tamaho 0, ( ) precede o primeiro +, sigificado que b a i 2,3,4,5, o i-ésimo + precede o i-ésimo, o que sigifica que ai > bi, e, portato, G 4 como pode ser visto a Figura, caso se recompoha a sequêcia origial: > ; para todo { } () Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35,

3 b a a a b a b b a b Figura - Ordeação origial para a sequêcia (-,+,+,+,-,+,-,-,+,-). Como caracterizar todas as outras sequêcias para as quais G 4? A teoria combiatória que respode a essa perguta faz uso da seguite costrução: Deotado por u ( u, u2,..., u2 ) uma sequêcia de ( + )'s e ( )'s, defie-se a soma parcial S u ( j,...,2 ) ( ) i Se j j 2 0 iguais a i i. Observe que: S >, etão, dos 2 primeiros elemetos de u, pelo meos são + e o máximo são iguais a. Sigifica que, os 2 primeiros elemetos de u, está presete o a e ão está o correspodete ao b, ou seja, S >, segue que a b ( ) S > etão 2 0 ii É trivial que se ( ) iii A desigualdade ( 2,2 ) 2 0 a + correspodete a a > b. Como vale a iversa, se > se, e somete se, S 0 2 >. a > b etão S 0 2. > b ocorre i vezes se, e somete se, existem i pares tais que S 0 2 > e, portato, > b os pares (3, 4), (5, 6), (7, 8) e (9, 0). S 0 2. No exemplo aterior temse a Esse procedimeto para cotar o úmero de sequêcias com determiada quatidade de pares efetivos é técico e trabalhoso. Feller (968) propôs uma abordagem geométrica para o problema, que é, ao mesmo tempo, didática e possibilita um tratameto uificado a vários problemas combiatórios semelhates. 3 Abordagem geométrica A ideia é: Cosiderem, o plao cartesiao, os potos de coordeadas iteiras e P, idetifica-se uma sequêcia abscissas ão egativas. Partido do poto 0 ( 0,0) u ( u u u ), 2,..., 2 com um camiho o plao, dado pelos potos P0 P... P2, em que, ( ) e, Pj P ( u ) P, caso P, caso u u, ( ) j +, j, de modo que, o cojuto de todos os camihos possíveis, compõe um reticulado quadrado, com uma das diagoais o eixo das abscissas com,, 2,0. A Figura 2 mostra o camiho vértices em ( 0,0 ), ( ), ( ) e ( ) correspodete à sequêcia (, +, +, +,, +,,, +, ). 26 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35, 202

4 Figura 2 - Camiho dado pela sequêcia (, +, +, +,, +,,, +, ). Note que: ( ) i As coordeadas de um poto sobre o camiho são ( ) ( ) ii Se S e um camiho só pode tocar o eixo Ox as abscissas pares, uma vez que S j 0 implica em j ser par. S 0 2 > etão o segmeto de reta etre os potos coordeados S2 e ( 2, S 2 ) está, ecessariamete, acima do eixo Ox. ( ) 2, ( iii) Se um camiho toca o eixo Ox em e 2 e fica estritamete acima de Ox o itervalo (, ), 2 etão e 2 são úmeros pares, o úmero de segmetos o e o úmero de pares ( 2, 2 ) itervalo é a quatidade par 2 t t, com t, tais que S t 0 >, ou seja, o úmero de pares efetivos, é 2. 2 Coclusão: Uma sequêcia tem j pares efetivos se, e somete se, seu camiho correspodete tem 2 j segmetos acima do eixo Ox. Na cotagem dos camihos tem-se o seguite fato fudametal: Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35,

5 Teorema: O Pricípio da Reflexão (Feller, 968). O úmero de camihos de A até B que tocam ou cruzam o eixo Ox é igual ao úmero de camihos de A ' até B, em que A ' é a imagem refletida de A em relação ao eixo Ox. Demostração: Seja α um camiho de A até B e seja 0 o primeiro poto do eixo Ox pertecete a α. Refletido a parte do camiho α de A até 0 em relação ao eixo Ox obtém-se um camiho α ' de A ' até B. Após 0, α e α ' são coicidetes. Da correspodêcia biuívoca α α ' o resultado segue. Figura 3 - Pricípio da reflexão. Um outro resultado útil a cotagem de camihos é: Lema : O úmero de camihos de um poto (, ) é dado por: e c e c f d. + 2 Demostração: Como Sc d e Se f. c d até outro poto (, ) e f, com e > c, S j é a soma dos j primeiros elemetos do camiho, segue que Sejam: p c, o úmero de ( + )'s do camiho, até o c-ésimo termo; q c, o úmero de ( )'s do camiho, até o c-ésimo termo; p e, o úmero de ( + )'s do camiho, até o e-ésimo termo; q e, o úmero de ( )'s do camiho, até o e-ésimo termo. Segue que pe pc é o úmero de ( )'s c + ésimo termo e o e-ésimo termo. qe qc é o úmero de ( )'s o mesmo itervalo. + o camiho etre o ( ) 28 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35, 202

6 p e Um camiho de ( c, d ) até (, ) e f fica determiado quado se distribuem p ( ) e c c + 's em e c posições, o que pode ser feito de maeiras. pe pc Tem-se que: c + d pc 2 pc + qc c e + f pe pe + qe e 2 pc qc d c d qc pe qe f 2 e f qe 2 Logo, e c e c e c e + f c + d e c + f d. pe pc Observe que, o úmero de camihos de ( 0,0 ) até (, ) ( 2,0) é 2. Teorema: Feller (968), pág. 94: O úmero de camihos de ( 0,0 ) até ( 2,0) acima do eixo Ox é idepedete de e é igual a 2. + s é s + 2 e, de ( 0,0 ) a com exatamete 2 segmetos Demostração: ( i ) Caso, basta cotar os camihos de ( 0,0 ) até ( 2,0) que estejam acima do eixo Ox, isto é, camihos que ão tocam a reta y. A Figura 4 mostra um desses camihos. Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35,

7 Figura 4 - Camiho acima do eixo Ox. Para cotar esses camihos, faz-se uso do pricípio da reflexão. Prologa-se para a 0,0, da Figura 4, tore-se o esquerda e para baixo o reticulado de forma que o poto ( ) poto (, ), coforme Figura 5, e que a reta origial y tore-se a reta y 0. Figura 5 - Prologameto à esquerda do reticulado. 30 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35, 202

8 , tora- Com isto, um camiho acima do eixo a Figura 4, ligado ( 0,0 ) a ( 2,0) se um camiho ligado (, ) a ( 2,) ( 2, 2 ). Queremos, etão, cotar os camihos de ( 2,2 ) até ( 2 +,) + e que passa ecessariamete pelo poto, que estejam, estritamete, acima do ovo eixo Ox. Esse úmero pode ser obtido tomado-se todos os 2, 2 +, camihos de ( 2,2 ) a ( + ) e subtraido-se os camihos de ( 2,2 ) a ( ) que tocam ou cruzam o eixo Ox que, pelo pricípio da reflexão, é igual ao úmero de 2, 2 2 +,. Portato, pelo Lema, tem-se: camihos de ( ) a ( ) ( 2) ( ii ) O caso 0 correspode aos camihos que ficam abaixo do eixo Ox e, por simetria, o úmero desses camihos é igual ao caso ( i ) 2, ou seja,. + ( iii) O caso 0 < < será provado por idução em. Para o úico camiho possível é ( 0,0) (,) ( 2,0), isto é, Supoha o resultado válido para quado se cosideram camihos de comprimeto meor que 2. Deote por 2r a coordeada em que, pela primeira vez, um camiho qualquer, com exatamete 2 segmetos acima do eixo Ox, itercepta este eixo. Há duas possibilidades: ) 0,2r o camiho é estritamete positivo, isto é, possui 2r segmetos a No itervalo [ ] acima do eixo. Neste caso, como o camiho tem 2 segmetos positivos, o 2 r,2, ocorrem os 2 2r segmetos positivos restates. Pela itervalo [ ] hipótese de idução, o úmero de camihos de ( 2 r,0) até ( 2,0) segmetos acima do eixo Ox, é dado por: 2 2r r r + ( r )., com 2 2r É preciso, agora, calcular o úmero de camihos estritamete positivos, de ( 0,0) até ( 2 r,0). Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35, 202 3

9 Lema 2: O úmero de camihos estritamete positivos, de ( 0,0) até ( 2 r,0) 2r. r r, é dado por: Demostração: Tais camihos passam, ecessariamete, pelos potos (, ) e ( 2r,). Usado o pricípio da reflexão, o úmero de camihos estritamete positivos etre (, ) e ( 2r,) é dado pelo total de camihos etre (, ) e ( 2,) camihos etre (, ) e ( 2r,), ou seja, r meos o total de 2r 2r 2r 2r ( ) 2r 2r + + r r 2 2 2r 2r. 2( 2r ) r r r Segue, etão, que o úmero de camihos com 2 lados acima do eixo Ox de ( 0,0 ) até ( 2,0), e que são camihos estritamete positivos de ( 0,0 ) até ( 2 r,0), como a Figura 6, é dado pelo produto: 2 2r 2r r + r r r ( r ). Figura 6 - Camihos estritamete positivos de ( 0,0 ) até ( 2,0) r. 2 a ) No itervalo [ 0,2r ] o camiho é estritamete egativo, isto é, possui 2r segmetos abaixo do eixo Ox (Figura 7), isto é, que só tocam o eixo Ox os extremos. 32 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35, 202

10 Figura 7 - Camihos estritamete egativos de ( 0,0 ) até ( 2,0) r. Neste caso, a ocorrêcia dos 2 segmetos acima do eixo se dá o itervalo 2 r,2, o que implica em r. Pela hipótese de idução, o úmero de camihos [ ] de ( 2,0) r até ( 2,0), com 2 segmetos acima do eixo é: 2 2r r r + ( > r). Portato, o úmero total desses camihos é obtido pelo produto: 2 2r 2r. r r r r + Observe, etão, que as expressões para o primeiro caso e o segudo caso são idêticas. Sedo assim, o úmero total de camihos de ( 0,0 ) até ( 2,0), com 2 lados acima do eixo Ox, com 0 < < é obtido pela seguite soma em r : 2 2r 2r 2 2r 2r. ( ) + r r r r r r ( r ) + + r r r Fazedo ρ r + r + ρ, r + ρ, tem-se: r 2 2r 2r r ( r ) + r r 2( + ρ) 2 2( + ρ) ρ + ρ( ρ + ) + ρ ( + ρ 2 2ρ 2ρ. ρ + ρ( ρ + ) ρ ρ Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35,

11 Sedo assim, 2 2r 2r 2 2r 2r ( ) + r r r r r r ( r ) + + r r r 2 2r 2r 2 2ρ 2ρ r r ( r ) r r + ρ + ρ( ρ ) ρ ρ + + r 2 2r 2r. r ( r ) + r r Como o somatório aterior ão depede de, seu valor pode ser calculado da seguite meos o úmero de camihos acima do forma: o úmero total de camihos de ( 0,0 ) até ( 2,0) e 0, casos ( i ) e ( ) eixo Ox, com valores que assume, de até, isto é: Sedo assim, ii dividido por, que é o úmero de [ ] úmero de seqüêcias com pares efetivos P G 2 2 +, o que ecerra a prova do teorema. 2 + Tem-se etão um resultado surpreedetemete ão ituitivo que egaou até a Galto: A distribuição da estatística do teste, que cota o úmero de pares efetivos da amostra ordeada cojuta, é uiforme. Cosiderações fiais Retorado ao caso dos dados de Darwi submetidos à apreciação de Galto, os dados eram costituídos de duas amostras de mesmo tamaho, de duas populações e a perguta era se essas populações tiham a mesma média. As amostras tiham tamahos 34 Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35, 202

12 iguais a 5 e úmero de pares efetivos igual a 3. Galto cocluiu que as médias eram diferetes. No etato, caso as médias fossem iguais, a distribuição do úmero de pares efetivos seria uiforme e, a probabilidade de se ter 3, 4 ou 5 pares efetivos, puramete devidos ao acaso, seria de 3 8, 75% 6, o que tora, o míimo temerária, a coclusão de Galto. Um estudo comparativo etre os poderes dos testes de postos com sial, Ma- Whitey, Galto e Teste t, ecotrado em Adrade et al. (2003), cocluíram que, para pequeas difereças etre as médias populacioais, o teste de Galto se mostrou superior aos demais. ANDRADE, P. C. R.; CHAVES, L. M.; SOUZA, D. J. A geometric approach to Galto's ordered ras test. Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35, 202. ABSTRACT: A complete descriptio of the theory of Galto s test is preseted. The approach is geometric, i the sese of puttig the uderlyig combiatorics as oe-dimesioal radom wal problem, usig coutig paths i a grid. KEYWORDS: Reflectio priciple; coutig paths; uiform distributio. Referêcias ANDRADE, P. C. R.; CHAVES, L. M.; FERREIRA, D. F., Proposta de um teste ãoparamétrico de sial com postos para dados idepedetes de duas populações. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.2,.2, p.7-23, HODGES JR., J. L. Galto s ra-order test. Biometria, Lodo, v.42, p , 955. FELLER, W., A itroductio to probability theory ad its applicatios. New Yor: Joh Wiley, 968. v., 460p. FISHER, R. A. The desig of experimets. 4.ed. Ediburgh: Oliver ad Boyd, 945. SAVILLE, D. J.; WOOD, G. R. Statistical methods: the geometric approach. New Yor: Spriger, p. Recebido em Aprovado após revisão Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.30,., p.24-35,